2022高考数学一轮总复习课件:3.2 利用导数研究函数的单调性
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1、32 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 【教材梳理】 1函数的单调性与导数 (1)在某个区间(a,b)内,如果 f(x)0,那么函数 yf(x)在这个区间内_;如果 f(x)0(f(x)k(k0),构造函数 g(x)f(x)kxb (2)对于不等式 xf(x)f(x)0,构造函数 g(x)xf(x); 对于不等式 xf(x)f(x)0,构造函数 g(x)f(x) x (x0) (3)对于不等式 xf(x)nf(x)0,构造函数 g(x)xnf(x); 对于不等式 f(x)nf(x)0,构造函数 g(x)f(x) xn (x0) (4)对于不等式 f(x)f(x)0,构造函数 g
2、(x)exf(x); 对于不等式 f(x)f(x)0,构造函数 g(x)f(x) ex (5)对于不等式 f(x)sinxf(x)cosx0(或 f(x)f(x)tanx0),构造函数 g(x)f(x)sinx; 对于不等式 fcosxf(x)sinx0(或 f(x)f(x)tanx0),构造函数 g(x)f(x)cosx (6)对于不等式f(x) f(x) 0,构造函数 g(x)lnf(x); 对于不等式 f(x)lnxf(x) x 0,构造函数 g(x)f(x) lnx 【自查自纠】 1(1)单调递增 单调递减 (2)常数函数 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1
3、)若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有 f(x)0 ( ) (2)若函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0, 则 f(x)在此区间内没有单调性 ( ) (3)在(a,b)内,f(x)0 且 f(x)0 的根有有限个,则 f(x)在(a,b)内是减函 数 ( ) (4)函数 f(x)xlnx 的单调递增区间为(,0)和(1,) ( ) (5)若函数 f(x)x3ax2 在区间(1, )内是增函数, 则实数 a 的取值范围是( 3,) ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 如图所示为 yf(x)的图象,则函数 yf(x)的单调递减区间是 ( ) A(,1) B
4、(2,0) C(2,0),(2,) D(,1),(1,) 解:由导函数图象,知2x2 时,f(x)f(3)f() Bf(3)f(2)f() Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2) 解:f(x)1cosx,当 x(0,时,f(x)0,所以 f(x)在(0,上是增函数, 所以 f()f(3)f(2)故选 D 若函数 f(x)x3bx2cxd 的单调减区间为(1,3),则 bc _ 解:f(x)3x22bxc,由题意知1x3 是不等式 3x22bxc0, 则其在区间(,)上的解集为 , 2 和 0, 2 , 即 f(x)的单调递增区间为 , 2 和 0, 2 故填 , 2 和 0, 2
5、【点拨】 确定函数单调区间的步骤:第一步,确定函数 f(x)的定义 域第二步,求 f(x)第三步,解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部 分为单调递增区间;解不等式 f(x)0 且 x1 所以 f(x) lnx1 (lnx)2, 令 f(x)0,解得 0 x1 或 1xe 所以 f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e) 故填(0,1),(1,e) (2)(2020届上海市进才中学高三上期中)函数 f(x)1 2x 2x3 2在区间 I 上是 增函数,且函数 y f(x) x 在区间 I 上又是减函数,那么区间 I 可以是 ( ) A1,) B 3,) C1,3 D1, 3 解: f(x
6、)1 2x 2x3 2在区间1, )上是增函数, y f(x) x x 21 3 2x, 由 y 1 2 3 2 1 x2 x 23 2x2 0,解得 x 3,0)(0, 3 故 yf(x) x 1 2x1 3 2x在 3,0)及(0, 3上是减函数 综上知, 区间 I 可以为1, 3故选 D 命题角度 2 含参函数单调性的讨论 (1)(2020届河南新乡高三上一模)已知函数 f(x)x3eax1(a0),讨论 f(x)的单调性 解:f(x)3x2eaxax3eaxx2eax(ax3) 当 a0 时,令 f(x)0,得 x3 a;令 f(x)0,得 x 3 a所以 f(x)的单调递减区间为 3
7、 a, ,单调递增区间为 ,3 a 当 a0 时,令 f(x)0,得 x3 a;令 f(x)0,得 x 3 a所以 f(x)的单调递减区间为 ,3 a ,单调递增区间为 3 a, (2)(2020届益阳市湘潭市高三9月质检)已知函数 f(x)lnxax2(a2)x2(a 为常数), 讨论函数 f(x)的单调性 解:f(x)1 x2axa2 2ax2(a2)x1 x (2x1)(ax1) x (x0), 当 a0 时,f(x)0,则函数 f(x)在(0,)上单调递增 当a0时, 由f(x)0, 得0 x1 a, 由f(x)0得x 1 a 所以f(x)在 0,1 a 上单调递增,在 1 a, 上单
8、调递减 【点拨】 利用导数研究含参函数的单调性是高考热点问题, 通过重点 考查分类与整合思想来检测考生思维的严谨性与周密性, 一个是标准统一, 另一个是不重不漏研究含参数函数的单调性,要依据参数对不等式解集 的影响进行分类讨论划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论, 还要确定导数为 0 的点和函数的间断点 (1)(2020届山东省高三九月摸底)已知函数 f(x)(ax2)e2x,讨论 f(x) 的单调性 解:因为 f(x)(ax2)e2x,所以 f(x)(2axa4)e2x, 当 a0 时,f(x)4e2x0,所以 f(x)在 R 上单调递减 当 a0 时,令 f(x)0,得 x4a 2a
9、 ; 令 f(x)0,得 x4a 2a , 所以 f(x)的单调递减区间为 ,4a 2a ,单调递增区间为 4a 2a , 当 a0 时,令 f(x)0,得 x4a 2a ;令 f(x)0,得 x4a 2a 所以 f(x)的单调递减区间为 4a 2a , ,单调递增区间为 ,4a 2a (2)(2020届山东滨州市高三期初考试)已知函数 f(x)1 2x 2(a1)lnxax,其中 aR,讨论函 数 f(x)的单调性 解:函数 f(x)的定义域为(0,), f(x)xa1 x a(x1)(xa1) x 若 a1,则当 x(0,1)时,f(x)0,所以函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减;当
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