第43讲 用综合法求角与距离(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 43 讲讲 用综合法求角与距离用综合法求角与距离 一、课程标准 1、 理解空间角的概念,理解空间内的平行与垂直关系 2、掌握用传统方法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的常见方法 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 异面直线所成的角 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与 b所成的锐角(或直 角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围: 0, 2 . 2. 线面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,当一条直 线垂直于平面时,规定它们所成的角
2、是直角 3. 二面角 以二面角的公共直线上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角 4. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离 三、自主热身、归纳总结 1、已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) A. 1 6 B. 3 6 C. 1 3 D. 3 3 2、如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2,则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 2 5
3、C. 3 5 D. 4 5 第 2 页 / 共 10 页 3、 在长方体ABCDA1B1C1D1中, ABBC2, AA11, 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 2 3 4、如图,已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC4,CC12,则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的 正弦值为( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 10 5 D. 10 10 5、 如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,各棱长都相等,则二面角 A1BCA 的平面角的正切值为_ 四、例题选讲 考点一 异面直线所成的角 例1 在长方体AB
4、CDA1B1C1D1中, ABBC1, AA1 3, 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 变式 1、如图,在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,PAAD,PAAD,则异 面直线 PB 与 AC 所成的角为( ) 第 3 页 / 共 10 页 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 方法总结:用平移法求异面直线所成的角的步骤:一作,即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二 证,即证明作出的角是异面直线所成的角;三求,解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角, 则它就是要求的角,如果
5、求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 考点二 直线与平面所成的角 例 2 如图,在三棱锥 ABCD 中,侧面 ABD底面 BCD,BCCD,ABAD4,BC6,BD4 3, 则直线 AC 与底面 BCD 所成角的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 变式 1、在正方体 ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 变式 2、 2019 杭州模拟在三棱锥 PABC 中,PA底面 ABC,BAC120 ,ABAC1,PA 2,则直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为( ) A. 2
6、 5 5 B. 2 2 3 C. 5 5 D. 1 3 第 4 页 / 共 10 页 变式 3、 如图, 在三棱台 ABCDEF 中, 平面 BCFE平面 ABC, ACB90 , BEEFFC1, BC2, AC3. (1)求证:BF平面 ACFD; (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 方法总结:求直线与平面所成角的关键是寻找斜线在平面上的射影,要善于根据题意寻找平面的垂线,通 常方法:一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直;二、找已知平面的垂面,再利用面面垂直的性 质转化为线面垂直有时作面的垂线较繁杂,可以不作面的垂线,利用空间的数量关系直接求点到面的距 离,进而在直
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