第43讲 用综合法求角与距离(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 43 讲:用综合法求角与距离讲:用综合法求角与距离 一、课程标准 1、 理解空间角的概念,理解空间内的平行与垂直关系 2、掌握用传统方法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的常见方法 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 异面直线所成的角 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与 b所成的锐角(或直 角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围: 0, 2 . 2. 线面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,当一条直 线垂直于平面时,规定它们所成的
2、角是直角 3. 二面角 以二面角的公共直线上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角 4. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离 三、自主热身、归纳总结 1、已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) A. 1 6 B. 3 6 C. 1 3 D. 3 3 【答案】 B 【解析】 如图,取 AD 的中点 F,连结 EF,CF.因为 E 为 AB 的中点,所以 EFDB,则CEF 为异面直 线 BD 与 CE 所成的角在正四面体
3、ABCD 中,因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点,所以 CECF.设正四面 体的棱长为 2a,则 EFa,CECF (2a)2a2 3a.在CEF 中,由余弦定理得 cosCEF 第 2 页 / 共 18 页 CE2EF2CF2 2CE EF a2 2 3a2 3 6 . 2、如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2,则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 【答案】 D. 【解析】 如图,连接 BC1,易证 BC1AD1,则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的
4、角 连接 A1C1,由 AB1,AA12,易得 A1C1 2,A1BBC1 5, 故 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5,即异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 4 5. 故选 D. 3、 在长方体ABCDA1B1C1D1中, ABBC2, AA11, 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( ) 第 3 页 / 共 18 页 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 2 3 【答案】 A 【解析】 连接 A1C1,则AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1 所成的角. ABBC2,A1C1AC2 2,又 AA11,AC13,sinAC1A1AA1 AC
5、1 1 3. 故选 A. 4、如图,已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC4,CC12,则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的 正弦值为( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 10 5 D. 10 10 【答案】 C 【解析】 设 A1C1交 B1D1于点 O,连结 BO.因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC4,所以 C1O B1D1.又因为 DD1平面 A1B1C1D1,所以 DD1C1O.因为 DD1D1B1D1,DD1平面 DBB1D1,D1B1平面 DBB1D1,所以 C1O平面 DBB1D1,所以直线 BC1和平面 DBB1D1所成角为OBC1.在 R
6、tBOC1中,C1O 2 2,BC12 5,所以 sinOBC1 10 5 ,即直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的正弦值为 10 5 .故选 C. 5、 如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,各棱长都相等,则二面角 A1BCA 的平面角的正切值为_ 【答案】 2 3 3 第 4 页 / 共 18 页 【解析】 设棱长为 a,BC 的中点为 E,连结 A1E,AE,由正三棱柱 ABCA1B1C1中,各棱长都相等,可得 A1EBC,AEBC,故二面角 A1BCA 的平面角为A1EA.在 RtABE 中,AE 3 2 a,所以 tanA1EA AA1 AE a 3 2 a 2 3 3 ,即二
7、面角 A1BCA 的平面角的正切值为2 3 3 . 四、例题选讲 考点一 异面直线所成的角 例1 在长方体ABCDA1B1C1D1中, ABBC1, AA1 3, 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 【答案】 C 【解析】 用一个与原长方体相同的长方体拼到原来长方体的前面,如图所示,则 B1PAD1,则DB1P 是 异面直线 AD1, DB1所成的角 连结 DP, 易求得 DB1DP 5, B1P2, 在B1DP 中过 D 作 B1P 上的高, 可得 cosDB1P 1 5 5 5 . 变式 1、如图,在底面为正方形的四棱锥
8、PABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,PAAD,PAAD,则 异面直线 PB 与 AC 所成的角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 C 【解析】 因为平面 PAD底面 ABCD,PAAD,平面 PAD平面 ABCDAD,PA平面 PAD,所以 PA 第 5 页 / 共 18 页 平面 ABCD.分别过点 P,D 作 AD,AP 的平行线交于点 M,连结 CM,AM.因为 PMAD,ADBC, PMAD,ADBC,所以四边形 PBCM 是平行四边形,所以 PBCM,所以ACM(或其补角)就是异面直 线 PB 与 AC 所成的角因为四边形 PADM,底面 AB
9、CD 均为正方形,设 PAADa,在三角形 ACM 中, AM 2a,AC 2a,CM 2a,所以三角形 ACM 是等边三角形,所以ACM 等于 60 ,即异面直 线 PB 与 AC 所成的角为 60 .故选 C. 方法总结:用平移法求异面直线所成的角的步骤:一作,即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二 证,即证明作出的角是异面直线所成的角;三求,解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角, 则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 考点二 直线与平面所成的角 例 2 如图,在三棱锥 ABCD 中,侧面 ABD底面 BCD,BCCD,ABAD4,BC6,BD4
10、3, 则直线 AC 与底面 BCD 所成角的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 A 【解析】 因为平面 ABD底面 BCD,ABAD,取 DB 的中点 O,连结 AO,CO,则 AOBD,则 AO 平面 BCD,所以ACO 就是直线 AC 与底面 BCD 所成的角因为 BCCD,BC6,BD4 3,所以 CO2 3.在 RtADO 中,OA AD2OD22,在 RtAOC 中,tanACOAO OC 3 3 ,故直线 AC 与底面 BCD 所成角的大小为 30 .故选 A. 第 6 页 / 共 18 页 变式 1、在正方体 ABCDA1B1C1D1中,BB1
11、与平面 ACD1所成角的正弦值为( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 【答案】 B 【解析】 因为 BB1DD1, 所以 BB1与平面 ACD1所成角即为 DD1与平面 ACD1所成角 设点 D 到平面 ACD1 的距离为 h,正方体的边长为 a,则 VD1ADC1 3 1 2 a a a 1 6a 3,VDAD 1C1 3 3 4 2a 2 h 3 6 a2h,所 以1 6a 3 3 6 a2h,得 h 3 3 a.设 BB1与平面 ACD1所成角为 ,则 sin h DD1 3 3 .故选 B. 变式 2、 2019 杭州模拟在三棱锥 PABC 中,PA底面 AB
12、C,BAC120 ,ABAC1,PA 2, 则直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为( ) A. 2 5 5 B. 2 2 3 C. 5 5 D. 1 3 【答案】D 【解析】 PA底面 ABC,PAAB,PAAC,即PABPAC90 , 又ABAC1,PAPA 2, PABPAC, PBPC. 取 BC 的中点 D,连接 AD,PD, 第 7 页 / 共 18 页 PDBC,ADBC,又 PDADD,BC平面 PAD,BC平面 PBC,平面 PAD平面 PBC,过 A 作 AOPD 于 O, 易得 AO平面 PBC,APD 就是直线 PA 与平面 PBC 所成的角. 在 RtPAD 中
13、,AD1 2,PA 2,则 PD PA2AD23 2,则 sinAPD AD PD 1 3. 故选 D. 变式 3、 如图, 在三棱台 ABCDEF 中, 平面 BCFE平面 ABC, ACB90 , BEEFFC1, BC2, AC3. (1)求证:BF平面 ACFD; (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 【证明】 (1)证明:延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示 平面 BCFE平面 ABC,且 ACBC,AC平面 BCK, BFAC. 又EFBC,BEEFFC1,BC2, BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点,则 BFCK. BF平面 ACFD. (
14、2) BF平面 ACK,BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角 在 RtBFD 中,BF 3,DF3 2,得 cosBDF 21 7 , 直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 21 7 . 方法总结:求直线与平面所成角的关键是寻找斜线在平面上的射影,要善于根据题意寻找平面的垂线,通 常方法:一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直;二、找已知平面的垂面,再利用面面垂直的性 质转化为线面垂直有时作面的垂线较繁杂,可以不作面的垂线,利用空间的数量关系直接求点到面的距 离,进而在直角三角中直接求线面角 常见求解步骤是先作图,证明垂直关系,交代所求角,再在直角三角形中求得所求角
15、第 8 页 / 共 18 页 其易错点是平面的斜线与平面所成角是锐角 考点三 二面角 例 3 如图,已知在三棱锥 SABC 中,SASBCACB 3,AB2,SC 2,则二面角 SABC 的 平面角的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 C 【解析】 取 AB 的中点 O,连结 SO,CO.由 SASBCACB 可得 ABSO,ABCO.又 SOCOO, 所以 AB平面 SOC,所以二面角 SABC 的平面角是SOC.在SOA 中,SO SA2AO2 2,同理 CO 2.在SOC 中,SOCOSC 2,所以SOC60 ,即二面角 SABC 的平面角的大小为 6
16、0 . 变式 1、如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,BB1平面 ABC,BAC90 ,ACABAA1,E 是 BC 的中 点 (1) 求证:AEB1C; (2) 求异面直线 AE 与 A1C 所成的角的大小; (3) 若 G 为 C1C 的中点,求二面角 CAGE 的正切值 【解析】 (1) 因为 BB1平面 ABC,AE平面 ABC,所以 AEBB1. 由 ABAC,E 为 BC 的中点,得 AEBC. 因为 BCBB1B,BC,BB1平面 BB1C1C, 所以 AE平面 BB1C1C. 又因为 B1C平面 BB1C1C, 所以 AEB1C. (2) 取 B1C1的中点 E1,连结 A1
17、E1,E1C,则 AEA1E1, 第 9 页 / 共 18 页 所以E1A1C 是异面直线 AE 与 A1C 所成的角 设 ACABAA12, 则由BAC90 ,可得 A1E1AE 2,A1C2 2,E1C1EC1 2BC 2, 所以 E1C E1C21C1C2 6. 在E1A1C 中,cosE1A1C 286 2 2 2 2 1 2, 所以异面直线 AE 与 A1C 所成的角为 3. (3) 设 P 是 AC 的中点,过点 P 作 PQAG 于点 Q,连结 EP,EQ,则 EPAC. 又因为平面 ABC平面 ACC1A1,平面 ABC平面 ACC1A1AC,EP平面 ABC, 所以 EP平面
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