1.2(第2课时)空间向量基本定理的初步应用 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、第第 2 2 课时课时 空间向量基本定理的初步应用空间向量基本定理的初步应用 学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问 题的思想 知识点一 证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量 a,b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ,使 ab. (2) 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x,y),使 pxayb. 思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题? 答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题 知识点二 求夹角
2、、证明垂直问题 (1) 为 a,b 的夹角,则 cos a b |a|b|. (2)若 a,b 是非零向量,则 aba b0. 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题? 答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围 知识点三 求距离(长度)问题 | |a a a( | | AB AB AB ) 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题? 答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得 1四点 A,B,C,D 构成平行四边形 ABCD 的充要条件是AB DC .( ) 2若AB CD ,则 A,B,C,D 四
3、点共线( ) 3已知两个向量 NM ,MP 的夹角为 60 ,则 NMP60 .( ) 4如果OP OM ON ,则四点 O,P,M,N 一定共面( ) 一、证明平行、共面问题 例 1 如图,已知正方体 ABCDABCD,E,F 分别为 AA和 CC的中点 求证:BFED. 证明 BF BCCFBC1 2CC AD 1 2DD , ED EA AD 1 2AA AD 1 2DD AD , BF ED , BF ED , 直线 BF 与 ED没有公共点,BFED. 反思感悟 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行 (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面
4、平行 跟踪训练 1 如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别在 B1B 和 D1D 上, 且 BE1 3BB1,DF 2 3DD1. 求证:A,E,C1,F 四点共面 证明 因为AC1 ABAD AA1 AB AD 1 3AA1 2 3AA1 AB 1 3AA1 AD 2 3AA1 AB BEAD DF AE AF, 所以AC1 ,AE,AF共面, 所以 A,E,C1,F 四点共面 二、求夹角、证明垂直问题 例 2 如图所示,在三棱锥 ABCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且 DBDCDA2,E 为 BC 的中点 (1)证明:AEBC ; (2)求直线 AE 与 D
5、C 的夹角的余弦值 (1)证明 因为AE DE DA 1 2(DB DC )DA ,CB DB DC , 所以AE CB 1 2DB 1 2DC DA (DB DC ) 1 2DB 21 2DC 2DA DB DA DC , 又 DA,DB,DC 两两垂直, 且 DBDCDA2, 所以AE CB0, 故 AEBC. (2)解 AE DC 1 2DB 1 2DC DA DC 1 2DB DC 1 2DC 2DA DC 1 2DC 22, 由AE 2 1 2DB 1 2DC DA 21 4DB 21 4DC 2DA26,得| | AE 6. 所以 cosAE ,DC AE DC | |AE | |
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