1、2017 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，则 zi +i2+i3+i2017（ ）A0 B1 Ci Di2 （5 分）满足1，2P 1，2，3，4的集合 P 的个数是（ ）A2 B3 C4 D53 （5 分）某公司某件产品的定价 x 与销量 y 之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归直线方程为： 6.5 +17.5，则表格中 n 的值应为（ ） x 2 4 5 6 8y 30 40 n 50 70A45 B50 C55 D6
2、04 （5 分）已知a n是等差数列，且公差 d0，S n 为其前 n 项和，且 S5S 6，则 S11（ ）A0 B1 C6 D115 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个数 a，b，c， （a 2+b20）要求判断直线ax+by+c0 与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（ ）第 2 页（共 21 页）Ac0？ Bb0？ Ca0？ Dab0？6 （5 分）某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A2 B C2 D37 （5 分）在0，内任取一个实数 x，则 sinx 的概率为（ ）A B C
3、 D8 （5 分）设 M 为边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 的中点，N 为正方形区域内任意一点（含边界） ，则 的最大值为（ ）A32 B24 C20 D169 （5 分）经过双曲线的左焦点 F1 作倾斜角为 30的直线，与双曲线的右支交于点 P，若以 PF1 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D10 （5 分）设 SA 为球的直径，B、C 、D 三点在球面上，且 SA面 BCD，三角形 BCD 的第 3 页（共 21 页）面积为 3，V SBCD 3V ABCD 3，则球的表面积为（ ）A16 B64 C
4、D3211 （5 分）设命题 p：若 yf （x）的定义域为 R，且函数 yf（x2）图象关于点（2，0）对称，则函数 yf（ x）是奇函数，命题 q： x0， ，则下列命题中为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq12 （5 分）过点 M（ ， ）作圆 x2+y21 的切线 l，l 与 x 轴的交点为抛物线E：y 22px（p0）的焦点， l 与抛物线 E 交于 A、B 两点，则 AB 中点到抛物线 E 的准线的距离为（ ）A B3 C D4二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知 3，则 tan2 &nbs
5、p; 14 （5 分）函数 f（x ）x 2 在 x1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 15 （5 分）我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在九章算术圆田术注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术” ，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率） 刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径 R，此时圆内接正六边形的周长为 6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于
6、圆的周长，可得圆周率为 3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为 （参考数据：cos150.966， 0.26）16 （5 分）已知数列a n满足：2a 1+22a2+23a3+2nann（nN *） ，数列的前 n 项和为 Sn，则 S1S2S3S10 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsin （A+C） ，cos（A C ）+cosB c（1）求角 A 的大小；第 4 页（共 21 页）（2）求 b+c 的取值范围18 （12
7、分）2017 年 1 月 1 日，作为贵阳市打造“千园之城”27 个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查，统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列 22 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意 不愿意 总计男生女生总计（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取 7 名挑战者，再从中抽取 2 人参加挑战，求抽取的 2 人中至少有一名男生的
8、概率参考公式与数据：P（K 2k 0） 0.1 0.05 0.025 0.01k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2 19 （12 分）底面为菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1B1、A 1D1 的中点，（1）在图中作一个平面 ，使得 BD，且平面 AEF（不必给出证明过程，只要求做出 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面）（2）若 ABAA 12，BAD60，求点 C 到所作截面 的距离第 5 页（共 21 页）20 （12 分）已知圆 F1：（x+ ） 2+y29 与圆 F2：（x ） 2+y21，以圆 F1、F 2 的圆心分别为左
9、右焦点的椭圆 C： + 1（ab0）经过两圆的交点（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 x2 上有两点 M、N（M 在第一象限）满足 0，直线 MF1 与NF2 交于点 Q，当|MN| 最小时，求线段 MQ 的长21 （12 分）设 f（x ）xe x，g（x ） x2+x（1）令 F（x） f（x）+g（x） ，求 F（x）的最小值；（2）若任意 x1，x 21，+）且 x1x 2 有 mf（x 1）f（x 2）g（x 1）g（x 2）恒成立，求实数 m 的取值范围四、请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在
10、直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin + 0，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为（3，3） ，求| PA|+|PB|的值选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） |x+1|x4|（1）若 f（x） m 2+6m 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）设 m 的最大值为 m0，a，b，c 均为正实数，当 3a+4b+5cm 0 时，求 a2+b2+c2 的最小值第 6 页（共 21 页）2017 年贵州省贵阳市高考数学一模试
11、卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，则 zi +i2+i3+i2017（ ）A0 B1 Ci Di【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出【解答】解：z i，故选：D【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分）满足1，2P 1，2，3，4的集合 P 的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】集合 A 一定要含有 1、2 两个元素，可能含有 3、4，但不能包含全部，即可得出结论【解答】解：P 可以为1，2，1，2，
12、3 ，1，2，4 ，个数为 3故选：B【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合 M 的子集问题一般来说，若 M 中有 n 个元素，则集合 M 的子集共有 2n 个，真子集 2n1 个3 （5 分）某公司某件产品的定价 x 与销量 y 之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归直线方程为： 6.5 +17.5，则表格中 n 的值应为（ ） x 2 4 5 6 8y 30 40 n 50 70A45 B50 C55 D60【分析】求出 、 ，根据回归直线方程经过样本中心点，求出 n 的值【解答】解：由题意可知： （2+4+5+6+8）5
13、， （30+40+n+50+70 ）38+ ，回归直线方程经过样本中心，第 7 页（共 21 页）38+ 6.55+17.5解得 n60故选：D【点评】本题考查了平均数与回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目4 （5 分）已知a n是等差数列，且公差 d0，S n 为其前 n 项和，且 S5S 6，则 S11（ ）A0 B1 C6 D11【分析】先求出 a6S 6S 50，由此利用 S11 （a 1+a11）11a 6，能求出结果【解答】解：a n是等差数列，且公差 d0，S n 为其前 n 项和，且 S5S 6，a 6S 6S 50，S 11 （a 1+a11）11a 6
14、0故选：A【点评】本题考查数列两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个数 a，b，c， （a 2+b20）要求判断直线ax+by+c0 与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（ ）第 8 页（共 21 页）Ac0？ Bb0？ Ca0？ Dab0？【分析】根据直线 ax+by+c0 与单位圆 x2+y21 的位置关系，当 c2a 2+b2，且 c0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解【解答】解：根据直线 ax+by+c0 与单位圆 x2+y21 的位置关系，当 c2a 2+
15、b2，且 c0 时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写 c0？故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题6 （5 分）某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A2 B C2 D3【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长第 9 页（共 21 页）【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形 OABC，直角梯形的上底是 BC1，下底是 AO2，垂直于底边的腰是 OP2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为 PB 3故选：D【点评】本题考查
16、了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题7 （5 分）在0，内任取一个实数 x，则 sinx 的概率为（ ）A B C D【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为 ，满足 sinx ，可得 0x 或 ，区间长度为 ，由几何概型公式解答【解答】解：在区间0，上，长度为 ，当 x0，时， sinx ，可得 0x 或 ，区间长度为由几何概型知，符合条件的概率为 故选：C第 10 页（共 21 页）【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的 x 区间长度，利用几何概型关系求之8 （5 分）设 M 为边长为 4 的正方形 AB
17、CD 的边 BC 的中点，N 为正方形区域内任意一点（含边界） ，则 的最大值为（ ）A32 B24 C20 D16【分析】以 A 为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系，则 A（0，0） ，M（4，2） ，则 （4，2） ，设 N 点坐标为（x ，y） ，则 （x，y） ， ， 4x+2y ，设 z4x+2y，平移目标函数，则过点 C（4，4）时有最大值，此时最大值为z16+8 24
18、，故选：B【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题9 （5 分）经过双曲线的左焦点 F1 作倾斜角为 30的直线，与双曲线的右支交于点 P，若以 PF1 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）第 11 页（共 21 页）A B2 C D【分析】由题意，PF 2x 轴，将 xc 代入双曲线方程求出点 P 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 a，b，c 的关系，求出离心率的值【解答】解：由题意，PF 2x 轴，将 xc 代入双曲
19、线的方程得 y ，即P（c， ）在PF 1F2 中 tan30 ，即 ，解得 e 故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题10 （5 分）设 SA 为球的直径，B、C 、D 三点在球面上，且 SA面 BCD，三角形 BCD 的面积为 3，V SBCD 3V ABCD 3，则球的表面积为（ ）A16 B64 C D32【分析】利用 SA面 BCD，三角形 BCD 的面积为 3，V SBCD 3V ABCD 3，求出球的直径，即可得出结论【解答】解：设三棱锥 ABCD 的高为 h，则三棱锥 SBCD 的高为 3h，球的直径为2R，三角形 BCD 的面积为 3，V ABC
20、D 1， 1，h1，R2，球的表面积为 42216，故选：A【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题11 （5 分）设命题 p：若 yf （x）的定义域为 R，且函数 yf（x2）图象关于点（2，0）对称，则函数 yf（ x）是奇函数，命题 q： x0， ，则下列命题中为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq第 12 页（共 21 页）【分析】函数 yf（x2）图象关于点（2，0）对称函数 yf（x2）图象关于点（0，0）对称，则函数 yf（x）是奇函数，故命题 p 为真命题；当 x 时， ， ，此时， ，故命题 q 是假命题所以 p
21、q为真命题【解答】解：若 yf（x）的定义域为 R，且函数 yf（x2）图象关于点（2，0）对称函数 yf（x ）图象关于点（0，0）对称，则函数 yf（x）是奇函数，故命题 p 为真命题；当 x 时， ， ，此时， ，故命题 q 是假命题所以 pq 为真命题，故选：C【点评】本题考查了复合命题真假的判定，属于基础题12 （5 分）过点 M（ ， ）作圆 x2+y21 的切线 l，l 与 x 轴的交点为抛物线E：y 22px（p0）的焦点， l 与抛物线 E 交于 A、B 两点，则 AB 中点到抛物线 E 的准线的距离为（ ）A B3 C D4【分析】利用已知条件求出切线方程，求出
22、抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点的横坐标，然后求解结果【解答】解：过点 M（ ， ）作圆 x2+y21 的切线 l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，切线方程为：y+ x ，可得 xy 0，直线与 x 轴的交点坐标（ ，0） ，可得抛物线方程为：y 24 x，可得 x26 +20，l 与抛物线 E 交于 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，可得：x 1+x2 6 ，则 AB 中点到抛物线 E 的准线的距离为：3 4 故选：D第 13 页（共 21 页）【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力二、填空题（共
23、 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知 3，则 tan2 【分析】由已知及同角三角函数间的基本关系式即可求出 tan 的值，由二倍角的正切公式即可求值【解答】解：由 ，可得：tan4 ，那么：tan2 【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系式，二倍角的正切公式的应用，属于基本知识的考查14 （5 分）函数 f（x ）x 2 在 x1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 【分析】根据求导公式求出函数的导数，把 x1 代入求出切线的斜率，求出切点，代入点斜式方程，分别令 x0 和 y0 求出切线与坐标轴的交点
24、坐标，再代入三角形的面积公式求解【解答】解：函数 f（x ）x 2 的导数为 f（x ）2x，可得在 x1 处的切线斜率为 2，切点为（1，1） ，即有在 x1 处的切线方程为 y12（x 1） ，令 x0，可得 y1；y 0 ，可得 x 则围成的三角形的面积为 1 故答案为： 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题15 （5 分）我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在九章算术圆田术注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术” ，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正
25、多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率） 刘徽计算圆周率是从第 14 页（共 21 页）正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径 R，此时圆内接正六边形的周长为 6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为 3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为 3.12 （参考数据：cos150.966， 0.26）【分析】求出边长为 0.26R，周长为 0.2624R2R，即可得出结论【解答】解：正二十四边形的圆心角为 15，圆的半径 R，边长为0.26R，周长为 0.262
26、4R2R，3.12，故答案为 3.12【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础16 （5 分）已知数列a n满足：2a 1+22a2+23a3+2nann（nN *） ，数列的前 n 项和为 Sn，则 S1S2S3S10 【分析】根据 2a1+22a2+23a3+2nann，求出 an ，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到 ，裂项求和得到 Sn，代值计算即可【解答】解：2a 1+22a2+23a3+2nann，2a 1+22a2+23a3+2n1 an1 n1，2 nan1，a n ， ，S n1 + + 1 ，S 1S2S3S10 ，故答案为
27、：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题第 15 页（共 21 页）三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsin （A+C） ，cos（A C ）+cosB c（1）求角 A 的大小；（2）求 b+c 的取值范围【分析】 （1）由已知利用正弦定理可得：asinA，c sinC ，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinAsinC ，从而可求 a sinA，结合 A 为锐角，可求 A 的值（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 b+c sin（B+ ） ，由 B（，
28、 ） ，可求范围 B+ （ ， ） ，利用正弦函数的性质即可得解【解答】解：（1）bsin（ A+C） ，可得：bsinB，由正弦定理 ，可得：asinA，c sinC ，cos（A C ）+cosB c，可得：cos（AC）cos（ A+C） c，可得：cosA cosC+sinAsinC（cos AcosCsin AsinC） ，2sinAsinC ，2ac ，可得：a sin A，A 为锐角，A （2）a ，A ，b+csinB+sin （ B ） sin（B+ ） ，B+ C ， B，C 为锐角，可得 B（ ， ） ，B+ （ ， ） ，b+c sin（B+ ）（ ， 【点评】本题主要
29、考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理的综合应用，考查了转化思想，属于中档题18 （12 分）2017 年 1 月 1 日，作为贵阳市打造“千园之城”27 个示范性公元之一的泉湖第 16 页（共 21 页）公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查，统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列 22 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意 不愿意 总计男生女生总计
30、（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取 7 名挑战者，再从中抽取 2 人参加挑战，求抽取的 2 人中至少有一名男生的概率参考公式与数据：P（K 2k 0） 0.1 0.05 0.025 0.01k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2 【分析】 （1）根据所给数据得出 22 列联表，求出 K2，即可得出结论；（2）利用古典概型的概率公式求解即可【解答】解：（1）22 列联表愿意 不愿意 总计男生 15 45 60女生 20 20 40 总计 35 65 100 K2 6.596.635第 17 页（共 21
31、 页）不能在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关；（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取 7 名挑战者，男生 3 名，女生4 名，从中抽取 2 人参加挑战，共有 21 种方法，全是女生的方法有 6 种，抽取的 2 人中至少有一名男生的概率为 【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生对数据处理的能力，属于中档题19 （12 分）底面为菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1B1、A 1D1 的中点，（1）在图中作一个平面 ，使得 BD，且平面 AEF（不必给出证明过程，只要求做出 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1
32、 的截面）（2）若 ABAA 12，BAD60，求点 C 到所作截面 的距离【分析】 （1）取 B1C1 的中点 G，D 1C1 的中点 H，连结 BG，GH ，DH，则平面 BDHG就是所求的平面 （2）取 BC 中点 M，以 D 为原点， DA 为 x 轴，DM 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 C 到所作截面 的距离【解答】解：（1）取 B1C1 的中点 G，D 1C1 的中点 H，连结 BG，GH ，DH，则平面 BDHG 就是所求的平面 ， 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面即为平面BDHG（2）取 BC 中点 M，AB AA 12，
33、BAD 60，以 D 为原点，DA 为 x 轴， DM 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，C（1， ，0） ，D（0，0，0） ，B（1， ，0） ，G（0， ，2） ，（1， ，0） ， （0， ，2） ， （1， ，0） ，第 18 页（共 21 页）设平面 BDG 的法向量 （ x，y，z） ，则 ，取 y1，得 （2 ，2， ） ，点 C 到所作截面 的距离：d 【点评】本题主要考查满足条件的平面的作法，考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合
34、的数学思想20 （12 分）已知圆 F1：（x+ ） 2+y29 与圆 F2：（x ） 2+y21，以圆 F1、F 2 的圆心分别为左右焦点的椭圆 C： + 1（ab0）经过两圆的交点（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 x2 上有两点 M、N（M 在第一象限）满足 0，直线 MF1 与NF2 交于点 Q，当|MN| 最小时，求线段 MQ 的长【分析】 （1）设两圆的交点，在根据交点到椭圆左右焦点的距离等于长轴长，求出a，c，即可得到椭圆方程；（2）求出 M，N 的坐标，利用基本不等式求出|MN| 的最小值，即可得出结论【解答】解：（1）设圆 F1 和圆 F2 的其中一个交点为 P，则|PF1
35、|+|PF2|R 1+R242aa2，cb 2a 2c 21第 19 页（共 21 页）椭圆 C 的方程为 1；（2）设直线 MF1 的方程为 yk （x+ ） （k0） ，可得 M（2 ，3 k） ，同理 N（2 ， ） ，|MN | | （3k+ ）|6，当且仅当 k 时，|MN|取得最小值 6，此时 M（2 ，3） ，|MF 1|6，|QF 1|3，|MQ| 3【点评】本题考查椭圆方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，属于中档题21 （12 分）设 f（x ）xe x，g（x ） x2+x（1）令 F（x） f（x）+g（x） ，求 F（x）的最小值；（2）若任意 x1，x 21，+
36、）且 x1x 2 有 mf（x 1）f（x 2）g（x 1）g（x 2）恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）求出函数 F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）问题转化为任意 x1，x 21，+ ）且 x1x 2 有 mf（x 1）g（x 1）mf（x 2）g（x 2）0 恒成立，令 h（x）mf（x ）g（x）mxe x x2x，x1，+） ，根据函数的单调性求出 m 的范围即可【解答】解：（1）F（x ）f （x）+g（x）xe x+ x2+x，F（x ）（x+1） （e x+1） ，令 F（x） 0，解得：x 1，令 F（x）0，
37、解得： x1，故 F（x ）在（ ，1）递减，在（1，+）递增，故 F（x ） min F（1）1 ；（2）若任意 x1，x 21，+）且 x1x 2 有 mf（x 1）f（x 2）g（x 1）g（x 2）恒成立，则任意 x1，x 21，+）且 x1x 2 有 mf（x 1）g（x 1）mf（x 2）g（x 2）0 恒成立，第 20 页（共 21 页）令 h（x）mf（x ）g（x ） mxex x2x，x 1， +） ，即只需 h（x）在 1，+ ）递增即可；故 h（x）（x +1） （me x 1）0 在 1，+）恒成立，故 m ，而 e，故 me【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，
38、考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题四、请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin + 0，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为（3，3） ，求| PA|+|PB|的值【分析】 （1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可（2）把直线方程代入圆的方程化简可得 t 的二次方程，利用根与系数的关系，以
39、及|PA| t1|，|PB| t2|求出|PA|PB| 【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin+ 0，可得： 22 cos6sin +10，可得 x2+y22x6y+1 0，曲线 C 的普通方程：x 2+y22x6y+10（2）由于直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 把它代入圆的方程整理得 t2+2t50，t 1+t22，t 1t25，|PA| t1|，|PB| t2|，|PA|+|PB| t1|+|t2| 2 |PA|+|PB|的值 2 第 21 页（共 21 页）【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数 t 的几
40、何意义，是基础题选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） |x+1|x4|（1）若 f（x） m 2+6m 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）设 m 的最大值为 m0，a，b，c 均为正实数，当 3a+4b+5cm 0 时，求 a2+b2+c2 的最小值【分析】 （1）求出 f（x ）|x+1| x4|的最大值，f （x） maxm 2+6m 即可（2）由柯西不等式（a 2+b2+c2） （3 2+42+52）（3a+4b+5 c） 225【解答】解（1）5|x +1| |x4| 5 ，由于 f（x） m2+6m 的解集为 R，m 2+6m5，即 1m5 （2）由（1）得 m 的最大值为 5，3a+4 b+5c5由柯西不等式（a 2+b2+c2） （3 2+42+52）（3a+4b+5c） 225（5分）故 a2+b2+c2 （当且仅当 a ，b c 时取等号）a 2+b2+c2 的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题
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