1、第 2 讲 整除内容概述掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。曲型问题兴趣篇1. 下面有 9 个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？（2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？2. 有如下 9 个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3
2、整除？3. 一个三位数 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：4 6（1）如果要求这个三位数能被 3 整除， “”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被 4 整除， “”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能， “”可能等于多少？4. 新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费 元” ，其中有一滴墨238A水，把方格处的数字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5. 四位数 能同时被
3、 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数. 926. 四位偶数 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数 467. 多位数 能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？213个n8一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234 口 6 口 8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码请问：他申请的号码可能是多少？9一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被 4 整除，这个四位数最大是多少？10(1)
4、一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？(2)一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？拓展篇1判断下面 11 个数的整除性： .407,869325,61,9854,73580,687,3524(1)这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？(2)哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？(3)哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？(4)哪些数能被 11 整除？2. 是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3
5、个四173位数，依次能被 9、11、8 整除， ”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？3. 五位数 能同时被 11 和 25 整除，这个五位数是多少？ 0734牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“ ”，其中方框表示被烧出的洞牛叔叔记得每名工人的工 867资都一样，并且都是整数元，请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？5六位数 能同时被 9 和 11 整除这个六位数是多少？ 20 6请从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数这个五位数最大是多少？7
6、小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59与 89 之间拼成一个五位数 ，使得这个五位数能被 7 整除，请问：阿奇写的数是多 895少？8. 已知 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？ 92525 个个9用数字 6、7、8 各两个，要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数请写出一个满足要求的六位数10. 冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三位数的十位，如果最后这个三位数能被 11 整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜冬冬想了一会，想到了一个必胜的办法，请问：冬冬想到的办法是什么？11对于一个自然数 N，如
7、果具有以下的性质就称为 “破坏数 ”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被 N+1 整除请问：一共有多少个不大于 10 的破坏数？12. 一个五位数，它的末三位为 999.如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？超越篇1在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？2将自然数 1，2，3，依次写下去形成一个多位数“123456789101112”当写到某个数 N 时，所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除请问：N 是多少？3小悦的爸爸买回来两箱杯子两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价 117.口元”、“总价 127.元” （口、四个数字已辨
8、认不清，但是它们互不相同） 爸爸告诉小悦，其中一箱装了 99 只 A 型杯子，另一箱装了 75 只 B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是 A 型杯子，哪个箱子装的是 B 型杯子了，爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦，小悦看了看，说：“这呵难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了 ”同学们，你能像小悦一样把价签上的数分辨出来吗？4冬冬在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6、7 这 6 个数字，形成一个六位数阿奇把这张纸条撕成了三节这三节纸条上的数加起来得到的和（如图 2-1，三节纸条上的和为23 + 456
9、 +7 = 486）能被 55 整除请问：阿奇可能是在什么位置撕断的这张纸条？5将一个自然数 N 接在任一自然数的右面（例如将 2 接在 13 的右面得到 132） ，如果所得的新数都能被 N 整除，那么称 N 为“神奇数” 请求出所有的两位“神奇数”6在六位数 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除方框 1中的两位数是多少？7多位数 A 由数字 l、3、5、7、9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A 可以被 A 中任意一个数字整除，求这样的 A 的最小值8有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”比如 2332、18
10、1、77 都是回文数如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？第 2 讲 整除【兴趣篇】1.下面有 9 个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中请问：（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？那些能被 8 整除？（2）有哪些数能被 5 整除？那些数能被 25 整除？哪些能被 125 整除？【分析与解】主要考察整除的性质：（1）能被 2 整除的有 14，80，152，650，434，9064；能被 4 整除的有 80，152，9064；能被 8 整除的有 80，152，9064.（2）能被 5 整除的有
11、35，80，650，4375，24125能被 25 整除的有 650，4375，24125能被 125 整除的有 4375，24125.2有如下 9 个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837，这些数中那些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？那些能同时被 2 和 3 整除？【分析与解】主要考察整除的性质：能被 3 整除的数有：387，228，975，525，882，837能被 9 整除的数有：387，882，837能同时被 2 和 3 整除的数有：228，8823.一个三位数 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：64（1）如果要求这个三
12、位数能被 3 整除， “”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被 4 整除， “”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能， “”可能等于多少？【分析与解】（1） 这个数能被 3 整除，则 6+4=12 或 15 或 18，所以=2 或 5 或 8；（2） 若 能被四整除，则这个数的末两位能被四整除，所以=0，2，4，6，8；（3） 通过（1）和（2）得，当=2，8 时，能同时被 3 和 4 整除。4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。小悦收课 9 位同学的校服费（每人交的一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费 元” ，其中有一滴
13、墨水，28把方格处的数字污染的看不清了。东东看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？【分析与解】9 位同学交的钱数一样多，共 元，说明 能被 9 整除，2383即 2+3+8=13+能被 9 整除，并且是一位数，所以=5.5.四位数 能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足条件的四位数。2【分析与解】能被 5 整除，则个位数为 0 或者 5；当个位数为 0 时，2+9+0=11+能被 3 整除，并且为 09 的数字，所以=1，4，7；当个位数字为 5 时，2+9+5=16+能被 3 整除，并且为 09 的数字，所以=2，5，8；综上得满足题意的四位数为：21
14、90，2490，2790，2295，2595，2895。6.四位偶数 能被 11 整除，求出所有满足条件的四位数。64【分析与解】 是偶数，所以个位是 0，2，4，6，8，并且能被 11 整除，则偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差是 11 的倍数，当个位是 0 时，6+4-=10-是 11的倍数，无解；当个位是 2 时，6+4-2=8-=0，所以=8；依次验证当=4，6，8 时，得=6，4，2.所以满足题意的四位数为 6842，6644，6446，6248.7.多位数 1 能被 11 整除，满足条件的 n 的最小值是多少？32n个【分析与解】若 1 能被 11 整除，则 1+ -（ ）
15、=1+3n-个 n3个 n2个2n=1+n（3-2）=1+n 是 11 的倍数，若使 n 最小，则 1+n=11，所以 n=10.8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余的数字不可得改动。王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码。请问：他申请的号码可以是多少？【分析与解】 “123468”能被 8 整除，则这个数的后三位 68 能被 8 整除，则=0，4，8，当十位的=0 时，2+4+6+8-（1+3+）=16-是 11 的倍数，且为 09 的数字，则=5
16、；同理当=4，8 时，得=1，8，所以他申请的电话号码可以是 12345608，12341648，12348688。9.一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数字能被 4 整除。这个数字最大是多少？【分析与解】设这个四位数为 ，要使这四位数字最大，则最高位的数字应该最大，ABCD则 A=9;且 能被 4 整除，也就是 能被 4 整除，并且与 A 的数字不同，最大为 84，ABC所以 D 最大为 6，这个四位数字为 9846.10. (1)一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0.它能被 11 整除，那么这个多位数最
17、小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？ 【分析与解】 （1）若为两位数，且含有数字 0，则这个数只能为 10，20，3090 这样的数字，但是他们都不是 11 的倍数；若为 3 位数，且给位数字都不相同，所以 0 不能在最高位，也不能在个位（若在个位，十位与百位的数字必须相同才能被 11 整除，这样与题意不符） ，所以 0 只能在十位，既为 这种形式，A+B=11，A 最小为 2，所以 B=9，所以这个多位0B数最小为 209.（2 ）这个数不可能为两位数，若为三位数，设这个数为 ，则 A+B-C=11,且ABCA+B+C=13
18、,所以 B=1,A+B=12,A 最小为 3，所以这个数为 319.【拓展篇】1. 判断下面 11 个数的整除性:23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.(1)这些数中，有哪些数能被 4 整除？有哪些数能被 8 整除？(2)哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？(3)哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？(4)哪些数能被 11 整除？【分析与解】本题主要考察数整除的性质。数整除的性质一定要牢记。（1）能被 4 整除的数（末两位能被 4 整除则这个数就能被 4 整除）有：3568，5880，6512，86
19、4；能被 8 整除的数（末三位能被 8 整除则这个数就能被 8 整除）有：3568，5880，6512，864；（2）能被 25 整除的数（末两位能被 25 整除则这个数就能被 25 整除）有：8875，93625；能被 125 整除的数（末三位能被 125 整除则这个数就能被 125 整除）有：8875，93625；（3）能被 3 整除的数（各位数字之和能被 3 整除则这个数就能被 3 整除）有：23487，6765，5880，198954，864；能被 9 整除的数（各位数字之和能被 9 整除则这个数就能被 9 整除）有：198954，864；（4）能被 11 整除的数（奇数位数字之和与偶
20、数位数字之和的差是 11 的倍数）有：6765，6512，407.2. 是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方格内先后填入 3 个数字，得到 3 个173四位数，依次能被 9，11，8 整除。 ”问：数学老师在方格中先后填入的 3 个数字之和是多少？【分析与解】能被 9 整除，则 1+7+3+=11+是 9 的倍数则=7，则这个四位数是 1737；173能被 11 整除，则 7+-1-3=3+是 11 的倍数则=8，则这个四位数是 1738；能被 8 整除，则 是 8 的倍数，则=6，则这个四位数是 1736；17373所以内填入的三个数分别是 7，8，6，和为 21.3. 五位数 能同时被
21、 11 和 25 整除。这个五位数是多少？【分析与解】能被 25 整除，则后两位 能被 25 整除，则 为 75，这个五位数为 ，同3时这个数能被 11 整除，则+7-3-5-0=-1=0，=1，所以这个五位数是 31075.4. 牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了了两个洞，上面只剩下“ ”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析与解】通过题意得， 能被 45 整除，45=59，所以 能同时被 5 和 9 整除；这个数能被 5 整除，则这个数的末位能被 5 整
22、除，所以末位可以是 0 或者是 5；当末位是 0 时，6+7+8+=21+能被 9 整除，则=6；当末位是 5 时，6+7+8+5=26+能被 9 整除，则=1，这 45 名工人的总工资有可能是 67680 或 67185.5. 六位数 能同时被 9 和 11 整除。这个六位数是多少？【分析与解】设这个六位数为 ，这个数能被 9 整除，则 A+2+8+B=10+A+B=18 或 27，既 A+B=8A或 17 （1） ，同时这个数能被 11 整除，则 A+8-2-B=A+6-B=0 或 11 （2） ；（1）与（2）联立得 A=1，B=7，所以这个六位数为 120087.6. 请从 1，2，3
23、，4，5，6，7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数。这个五位数最大是多少？【分析与解】因为 99=911，所以这个五位数能同时被 9 和 11 整除；首先要看能被 9 整除数的特点：选出五位数使得他们的和是 9 的倍数，7+5+3+2+1=18 （1）或者 6+5+4+2+1=18 （2）;当为（1）时，同时这五个数满足能被 11 整除，所以技术为上的数字和与偶数位的数字和之差为 0，符合条件的最大的五位数为 57321；同理满足条件（2）的最大的五位数为65241，所满足条件的最大的五位数为 65241.7. 小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89
24、，他们让阿奇写了一个一位数放在59 和 89 之间拼成一个五位数 ，使得这个五位数能被 7 整除。请问：阿奇写的598数是多少？【分析与解】考察能被 7 整除的数的特点。因为五位数 能被 7 整除，所以 59= 是 7 的59889倍数，所以=6，这个五位数为 59689.8. 已知 51 位数 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？25259 个 个【分析与解】先看前 25 个 5，我们可以先把它看做 25 位数，则这个数字除以 13 的余数是多少呢？我们可以把六个 5 看做一组，则 555555=5551001，所以 555555 一定能被 13 整除，256=41，剩下一个 5 所以
25、此时原书转化为 ，同理最后的 24 个 9 也能被 13 整259个除，所以要是这个 51 位数能被 13 整除，则 能被 13 整除，所以=5，既中间方格内的数字是 5.9. 用数字 6，7，8 各两个数，要组成能同时被 6，7，8 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。【分析与解】能被 8 整除的数字为末三位数字能被 8 整除，则由这三个数字首先能想到的数字是 678，并且能被 7 整除，则末三位与前几位数字的差能被 7 整除，所以为 678678，且这个数字能被 6 整除。10. 东东和阿奇玩一个数字游戏。冬冬先将一个三位数的百位数与个位数填好，然后阿奇来填这个三位数的十位。如果最后
26、这个三位数能被 11 整除，那么阿奇获胜，否则东东获胜。东东想了一会，想到一个必胜的办法。请问：冬冬想到的办法是什么？【分析与解】考察被 11 整除数的特点。设这个三位数为 ，A+B C=0 或者是 11，若差为 0，则ABCA+B=C既 A+B=C=19，若差为 11 时，A+B=C+11，则 A+B=1120，通过观察发现这两种情况没有出现的是 A+B=10 的情况，所以东东想要获胜，只要让 A+B 的和是 10 就可以了。11. 对于一个自然数 ，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自N然数的右端，形成的新数都不能被 整除。请问：一共有多少个不大于 10 的破坏+1数？
27、【分析与解】我们找的数是从 110 中的破坏数，只有 10 个数字，所以我们可以采取逐一尝试的方法。当 =0 时，则形成的新数个位数字是 0，是个奇数，而 =1，任意数都能被 1 整除，N+1所以 0 不是一个破坏数； 当 =1 时，则形成的新数个位数字是 1，是个奇数，而 =2， 奇数一定不能被 2 整除，N所以 1 是一个破坏数；同理得到 10 以内的所有的破坏数为 1，3，4，5，7，9，共 6 个。12. 一个五位数，它的末三位为 999.如果这个五位数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？【分析与解】首先推导一下能被 23 整除的数的特点：因为：2343510005，29345
28、=10005，由此得到一个末四位隔开的方法由于 N=GFEDCBA10DCBAGFE105FEDCBA所以 （mod23）5因此，判定一个数可否被 23 整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5 倍的差（大减小）是否被 23 整除。设这个数最小为 ， -5B 是 23 的倍数，验证得当 B=2，A=0 时是 23 的倍数，9BA所以这个五位数最小是 20999.【超越篇】1. 在所有个位数字互不同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？【分析与解】五个数字互不相同的五位数最小是 10234，但是还要考虑这个数能被 45 整除，因为45=59，所以这个数能同时被 5 和 9
29、整除，所以个位应为 5，这个数字可以为 10235，又因为能被 9 整除，则数字和最小为 18，而 10235 为 11，则还应该是某些数字变大，但还要让这个数尽可能的小，则只能改变十位和百位，十位和百位的数字和应为 12，最小的组合为 39。所以这个五位数最小为 10395.2. 将自然数 1，2，3，一次写下去形成一个多位数“123456789101112” 。当写到某个数 时，形成的多位数恰好第一次能被 90 整除。请问： 是多少？NN【分析与解】这个数能被 90 整除，既 90=910 这个数的个位一定是 0，当这个数是 12345678910 时，这个数不能被 9 整除；当这个数是
30、1234567891011121314151617181920 时，各位数字和为102，不是 9 的倍数；当这个数为 123456282930，各位数字和为 165，仍不是 9 的倍数；同理，当这个数为 123456787980 时，各位数字和为 648 是 9 的倍数，所以 是 80.3. 小悦的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上个贴有一张价签，分别写着“总价 117.元” ， “总价 127.元” （，四个数字已辨认不清，但是他们互不相同） 。爸爸告诉小悦，其中一箱装了 99 只 A 型杯子，另一箱子装了 75 只 B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分。但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不
31、记得那个箱子装的是 A 型杯子，哪个箱子装的是 B 型杯子了。爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦。小悦看了看，说：“这课难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了。 ”同学们，你能像小悦一样把价签的数分辨出来吗？【分析与解】由题意知，1+1+7+=9+是 9 的倍数，所以+是 9 的倍数，既+可能为0+9=1+8=2+7=3+6=4+5，又 1+7+-（1+）=7+-=0 综合这两个条件得=1，=8；127. 是 75 的倍数，75=253，所以=00 或者 25 或者 50 或者 75，又因为 127. 是 3 的倍数，所以 1+2+7+=10+是 3 的倍数，也
32、就是 1+是 3 的倍数，所以=50，这两个数分别是 117.81，127.50.4. 冬冬在一张纸上依次写下 2，3，4，5，6，7 这 6 个数字，形成一个六位数，阿奇把这张纸条撕成三节。这三节纸上的数相加起来得到的和（如图 2-1，三条纸条上的和为23+456+7=486）能被 55 整除。请问：阿奇可能是在什么位置撕段的这张纸条？【分析与解】这 3 个数的和是 55 的倍数，55=511，所以这 3 个数的和同时是 5 和 11 的倍数，若为 5的倍数，则这个数的末尾为 0 或者是 5，所以这 3 个数可能为 2，3456，7 或者23，45，67。2+3456+7=3465，并且 3
33、465 是 11 的倍数；23+45+67=135 不是 11 的倍数，所以阿奇可能是在 2，3456，7 撕段的这张纸条。5. 将一个自然数 接在任一自然数的右边（例如将 2 接在 13 的右边得到 132） ，如果所N得的新数都能被 整除，那么称 为“神奇数” 。请求出所有的两位“神奇数” 。【分析与解】本题考察数整除的特点，主要是末两位数的整除的特点。2，5 都是看数的末位，所以25=10，10 是个神奇数；4，5 看末两位，45=20，若一个数的末两位是 20，则这个数一定能被 4 和 5 同时整除，所以 20 也是一个神奇数；55=25，若一个数的末两位是 25 则这个数一定能被 2
34、5 整除，所以 25 也是一个神奇数；255=50，也是一个神奇数；而能被 3，7，11 整除的数的特点则不能确定，所以两位的神奇数只有 10，20，25，50 这四个数。6. 在六位数 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除。1【分析与解】这个六位数能同时被 17 和 19 整除，所以这个数能被 1719=323 整除，我们可以把这个题转化为数字迷问题，也就是问 323？= ，把这个数字迷给写成竖式的形式，此题1就更容易了。首先看个位，积得个位是 1，只有 37=21，个位为 1，3237=2261，十位的 6 加上 5 和的个位才为 1，所以乘数的十位应为 5，又因为乘积的最高位是 1，所以乘数2 3 4 5 6 7图 2-1的百位为 3，既 323357=115311,方框内填的数应为 53.7. 多位数 由数字 1，3，5，7，9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而A且 可以被 中任意一个数字整除。求这样的 的最小值。A【分析与解】1179358. 有一些自然数，从左向右读与从右往左读史完全一样的，我们 将这样的数称作“回文数” 。比如 2332，181，77 都是回文数。如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？【分析与解】527725
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