五年级高斯奥数之整除含答案
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1、第 2 讲 整除内容概述掌握整除的概念和基本性质,掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填问题,以及多位数的构成问题等。曲型问题兴趣篇1. 下面有 9 个自然数:14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125。在这些自然数中,请问:(1)有哪些数能被 2 整除?哪些能被 4 整除?哪些能被 8 整除?(2)有哪些数能被 5 整除?哪些能被 25 整除?哪些能被 125 整除?2. 有如下 9 个三位数:452,387,228,975,525,882,715,775,837。这些数中哪些能被 3 整除?哪些能被 9 整除?哪些能同时被 2 和 3
2、整除?3. 一个三位数 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值:4 6(1)如果要求这个三位数能被 3 整除, “”可能等于多少?(2)如果要求这个三位数能被 4 整除, “”可能等于多少?(3)这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除,如果有可能, “”可能等于多少?4. 新学年开始了,同学们要改穿新的校服。小悦收了 9 位同学的校服费(每人交的钱一样多)交给老师。老师给了小悦一张纸条,上面写着“交来校服费 元” ,其中有一滴墨238A水,把方格处的数字污染得看不清楚了。冬冬看了看,很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们,你们能算出这个数字是多少吗?5. 四位数 能同时被
3、 3 和 5 整除,求出所有满足要求的四位数. 926. 四位偶数 能被 11 整除,求出所有满足要求的四位数 467. 多位数 能被 11 整除,满足条件的 n 最小是多少?213个n8一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话,服务人员告诉他,目前只有形如“1234 口 6 口 8”的号码可以申请,也就是说,在申请号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余数字不得改动,王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码请问:他申请的号码可能是多少?9一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除,把它的个位数字去掉后剩下一个三位数,这个三位数能被 4 整除,这个四位数最大是多少?10(1)
4、一个多位数(两位及两位以上) ,它的各位数字互不相同,并且含有数字 0如果它能被 11 整除,那么这个多位数最小是多少?(2)一个多位数,它的各位数字之和为 13,如果它能被 11 整除,那么这个多位数最小是多少?拓展篇1判断下面 11 个数的整除性: .407,869325,61,9854,73580,687,3524(1)这些数中,有哪些数能被 4 整除?哪些数能被 8 整除?(2)哪些数能被 25 整除?哪些数能被 125 整除?(3)哪些数能被 3 整除?哪些数能被 9 整除?(4)哪些数能被 11 整除?2. 是一个四位数数学老师说:“我在其中的方框内先后填入 3 个数字,得到 3
5、个四173位数,依次能被 9、11、8 整除, ”问:数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少?3. 五位数 能同时被 11 和 25 整除,这个五位数是多少? 0734牛叔叔给 45 名工人发完工资后,将总钱数记在一张纸上,但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞,上面只剩下“ ”,其中方框表示被烧出的洞牛叔叔记得每名工人的工 867资都一样,并且都是整数元,请问:这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢?5六位数 能同时被 9 和 11 整除这个六位数是多少? 20 6请从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数,使它是 99 的倍数这个五位数最大是多少?7
6、小悦写了一个两位数 59,冬冬写了一个两位数 89,他们让阿奇写一个一位数放在 59与 89 之间拼成一个五位数 ,使得这个五位数能被 7 整除,请问:阿奇写的数是多 895少?8. 已知 能被 13 整除,中间方格内的数字是多少? 92525 个个9用数字 6、7、8 各两个,要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数请写出一个满足要求的六位数10. 冬冬和阿奇玩一个数字游戏,冬冬先将一个三位数的百位与个位填好,然后阿奇来填写这个三位数的十位,如果最后这个三位数能被 11 整除,那么阿奇获胜,否则冬冬获胜冬冬想了一会,想到了一个必胜的办法,请问:冬冬想到的办法是什么?11对于一个自然数 N,如
7、果具有以下的性质就称为 “破坏数 ”:把它添加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被 N+1 整除请问:一共有多少个不大于 10 的破坏数?12. 一个五位数,它的末三位为 999.如果这个数能被 23 整除,那么这个五位数最小是多少?超越篇1在所有各位数字互不相同的五位数中,能被 45 整除的数最小是多少?2将自然数 1,2,3,依次写下去形成一个多位数“123456789101112”当写到某个数 N 时,所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除请问:N 是多少?3小悦的爸爸买回来两箱杯子两个箱子上各贴有一张价签,分别写着“总价 117.口元”、“总价 127.元” (口、四个数字已辨
8、认不清,但是它们互不相同) 爸爸告诉小悦,其中一箱装了 99 只 A 型杯子,另一箱装了 75 只 B 型杯子,每只杯子的价格都是整数分但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱,也不记得哪个箱子装的是 A 型杯子,哪个箱子装的是 B 型杯子了,爸爸知道小悦的数学水平很厉害,于是他想考考小悦,小悦看了看,说:“这呵难不倒我,我刚好学了一些复杂的整除性质,这下可以派上用场了 ”同学们,你能像小悦一样把价签上的数分辨出来吗?4冬冬在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6、7 这 6 个数字,形成一个六位数阿奇把这张纸条撕成了三节这三节纸条上的数加起来得到的和(如图 2-1,三节纸条上的和为23 + 456
9、 +7 = 486)能被 55 整除请问:阿奇可能是在什么位置撕断的这张纸条?5将一个自然数 N 接在任一自然数的右面(例如将 2 接在 13 的右面得到 132) ,如果所得的新数都能被 N 整除,那么称 N 为“神奇数” 请求出所有的两位“神奇数”6在六位数 中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被 17 和 19 整除方框 1中的两位数是多少?7多位数 A 由数字 l、3、5、7、9 组成,每个数字都可以重复出现但至少出现一次,而且A 可以被 A 中任意一个数字整除,求这样的 A 的最小值8有一些自然数,从左向右读与从右向左读是完全一样的,我们将这样的数称作“回文数”比如 2332、18
10、1、77 都是回文数如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数,那么这个六位数是多少?第 2 讲 整除【兴趣篇】1.下面有 9 个自然数:14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125.在这些自然数中请问:(1)有哪些数能被 2 整除?哪些能被 4 整除?那些能被 8 整除?(2)有哪些数能被 5 整除?那些数能被 25 整除?哪些能被 125 整除?【分析与解】主要考察整除的性质:(1)能被 2 整除的有 14,80,152,650,434,9064;能被 4 整除的有 80,152,9064;能被 8 整除的有 80,152,9064.(2)能被 5 整除的有
11、35,80,650,4375,24125能被 25 整除的有 650,4375,24125能被 125 整除的有 4375,24125.2有如下 9 个三位数:452,387,228,975,525,882,715,775,837,这些数中那些能被 3 整除?哪些能被 9 整除?那些能同时被 2 和 3 整除?【分析与解】主要考察整除的性质:能被 3 整除的数有:387,228,975,525,882,837能被 9 整除的数有:387,882,837能同时被 2 和 3 整除的数有:228,8823.一个三位数 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值:64(1)如果要求这个三
12、位数能被 3 整除, “”可能等于多少?(2)如果要求这个三位数能被 4 整除, “”可能等于多少?(3)这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除,如果有可能, “”可能等于多少?【分析与解】(1) 这个数能被 3 整除,则 6+4=12 或 15 或 18,所以=2 或 5 或 8;(2) 若 能被四整除,则这个数的末两位能被四整除,所以=0,2,4,6,8;(3) 通过(1)和(2)得,当=2,8 时,能同时被 3 和 4 整除。4.新学年开学了,同学们要改穿新的校服。小悦收课 9 位同学的校服费(每人交的一样多)交给老师。老师给了小悦一张纸条,上面写着“交来校服费 元” ,其中有一滴
13、墨水,28把方格处的数字污染的看不清了。东东看了看,很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们,你们能算出这个数字是多少吗?【分析与解】9 位同学交的钱数一样多,共 元,说明 能被 9 整除,2383即 2+3+8=13+能被 9 整除,并且是一位数,所以=5.5.四位数 能同时被 3 和 5 整除,求出所有满足条件的四位数。2【分析与解】能被 5 整除,则个位数为 0 或者 5;当个位数为 0 时,2+9+0=11+能被 3 整除,并且为 09 的数字,所以=1,4,7;当个位数字为 5 时,2+9+5=16+能被 3 整除,并且为 09 的数字,所以=2,5,8;综上得满足题意的四位数为:21
14、90,2490,2790,2295,2595,2895。6.四位偶数 能被 11 整除,求出所有满足条件的四位数。64【分析与解】 是偶数,所以个位是 0,2,4,6,8,并且能被 11 整除,则偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差是 11 的倍数,当个位是 0 时,6+4-=10-是 11的倍数,无解;当个位是 2 时,6+4-2=8-=0,所以=8;依次验证当=4,6,8 时,得=6,4,2.所以满足题意的四位数为 6842,6644,6446,6248.7.多位数 1 能被 11 整除,满足条件的 n 的最小值是多少?32n个【分析与解】若 1 能被 11 整除,则 1+ -( )
15、=1+3n-个 n3个 n2个2n=1+n(3-2)=1+n 是 11 的倍数,若使 n 最小,则 1+n=11,所以 n=10.8.一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他,目前只有形如“123468”的号码可以申请。也就是说,在申请号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余的数字不可得改动。王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码。请问:他申请的号码可以是多少?【分析与解】 “123468”能被 8 整除,则这个数的后三位 68 能被 8 整除,则=0,4,8,当十位的=0 时,2+4+6+8-(1+3+)=16-是 11 的倍数,且为 09 的数字,则=5
16、;同理当=4,8 时,得=1,8,所以他申请的电话号码可以是 12345608,12341648,12348688。9.一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除,把它的个位数字去掉后剩下一个三位数,这个三位数字能被 4 整除。这个数字最大是多少?【分析与解】设这个四位数为 ,要使这四位数字最大,则最高位的数字应该最大,ABCD则 A=9;且 能被 4 整除,也就是 能被 4 整除,并且与 A 的数字不同,最大为 84,ABC所以 D 最大为 6,这个四位数字为 9846.10. (1)一个多位数(两位及两位以上) ,它的各位数字互不相同,并且含有数字 0.它能被 11 整除,那么这个多位数最
17、小是多少?(2)一个多位数,它的各位数字之和为 13,如果它能被 11 整除,那么这个多位数最小是多少? 【分析与解】 (1)若为两位数,且含有数字 0,则这个数只能为 10,20,3090 这样的数字,但是他们都不是 11 的倍数;若为 3 位数,且给位数字都不相同,所以 0 不能在最高位,也不能在个位(若在个位,十位与百位的数字必须相同才能被 11 整除,这样与题意不符) ,所以 0 只能在十位,既为 这种形式,A+B=11,A 最小为 2,所以 B=9,所以这个多位0B数最小为 209.(2 )这个数不可能为两位数,若为三位数,设这个数为 ,则 A+B-C=11,且ABCA+B+C=13
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