1、第二章 2.2 椭圆,2.2.1 椭圆及其标准方程(一),学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 椭圆的定义,给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？,在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.,答案,思考2,在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？,笔尖到两图钉的距
2、离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.,答案,梳理,(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|.,焦距,常数,椭圆,焦点,(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：,知识点二 椭圆的标准方程,思考1,在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？,不一定，只需ab，ac即可，b，c的大
3、小关系不确定.,答案,思考2,若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？,答案,梳理,(1)椭圆标准方程的两种形式,(c，0),(0，c),(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系,(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.,题型探究,类型一 椭圆的定义解读,例1 点P(3，0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.,解答,方程x2y26x550化标准形式为：(x3)2y264，圆心为(3，0)，半径r8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定义，动点M到两定点
4、C，P的距离之和为定值86|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.,引申探究 若将本例中圆C的方程改为：x2y26x0且点P(3，0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.,解答,设M(x，y)，据题，圆C：(x3)2y29， 圆心C(3，0)，半径r3. 由|MC|MP|r，故|MC|MP|r3，,椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.,反思与感悟,跟踪训练1 下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)
5、 已知定点F1(1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|PF2| 的点P的轨迹为椭圆； 已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段； 到定点F1(3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆., b0知不合题意，故舍去.,方法二 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).所以所求椭圆的方程为5x24y21，,引申探究,解答,(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).,反思与感悟,跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F
6、1(4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；,据题2a10，c4，故b2a2c29，,解答,(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；,设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，,解答,(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).,解答,命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程 例3 已知一动圆M与圆C1：(x3)2y21外切，与圆C2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.,据题C1(3，0)，r11，C2(3，0)，r29， 设M(x，y)，半径为R， 则|MC1|1R，|MC2|9R， 故|MC1|MC2|10， 据椭圆定义知，点
7、M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a5，c3，故b2a2c216.,解答,用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.,反思与感悟,解答,设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，由|PF1|PF2|知，PF2垂直于长轴.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，,类型三 椭圆中焦点三角形问题,例4 (1)已知P是椭圆 1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积.,解答,在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2
8、， 即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，,|PF2|2a|PF1|2，F1PF2120.,解答,在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.,反思与感悟,证明,在PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a. 两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1
9、|PF2|4a2. 根据余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 4c2. ，得(1cos )|PF1|PF2|2b2，,解答,从而|F1F2|2c2. 在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2， 即|PF2|2|PF1|24. 又由椭圆定义知|PF1|PF2|224， 所以|PF2|4|PF1|.,当堂训练,2,3,4,5,1,1.已知A(5，0)，B(5，0).动点C满足|AC|BC|10，则点C的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点,因为|AC|BC|10|AB|， 所以点C的轨迹是线段AB，故选C.,答案,解析,2,3,4,5,
10、1,2.若方程3x2ky21表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为 A.1 B.3 C.0 D.2,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,由椭圆的定义，得|PF1|2a|PF2|， 即|PF1|10|PF2|， 所以|PF1|PM|10|PM|PF2|. 由三角形中“两边之差小于第三边”可知， 当P，M，F2三点共线时，|PM|PF2|取得最大值|MF2|，最小值|MF2|.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.椭圆8x23y224的焦点坐标为_.,答案,解析,2,3,4,5,1,解答,同理得a24，b28，此时a20，B0，AB).,2,3,4,5,1,规律与方法,1.椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|).在解题过程中将|PF1|PF2|看成一个整体，可简化运算. 2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决. 3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|MF2|2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.,
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