1、2020-2021 学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期中数学试卷学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期中数学试卷 一、精心选一选（本大题共一、精心选一选（本大题共 16 小题，小题，1-6 题，每题题，每题 2 分，分，7-16 题，每题题，每题 3 分，共分，共 24 分）每小题给出的分）每小题给出的 4 个选项中只有一个符号题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内。个选项中只有一个符号题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内。 1抛物线 yx2+4x+2 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直线 x2 C直线 x1 D直线 x1 2x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b0
2、 的解，则a2b（ ） A1 B1 C2 D2 3下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A圆 B菱形 C正十边形 D等边三角形 4已知点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线 y（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 5一元二次方程 x24x10 配方后可化为（ ） A （x+2）23 B （x+2）25 C （x2）23 D （ x2）25 6 如图所示， 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置， 旋转角为 （090） 若 1110，则 （ ） A20 B30 C40 D50 7把抛物线 y3x2+1
3、 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（ ） Ay3（x+3）22 By3（x+2）2+3 Cy3（x3）22 Dy3（x3）2+3 8已知 m1，则关于 x 的一元二次方程 x22x+m+30 根的情况为（ ） A无实数根 B有两个相等实数根 C有两个不相等实数根 D无法确定 9某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同设每次降价的百 分率为 x，根据题意列方程得（ ） A168（1+x）2108 B168（1x）2108 C168（12x）108 D168x2（1x2）108 10已知关于 x 的一元二次方程（a+
4、1）x22x+a2+a0 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B0 或1 C1 D1 11如图，在ABC 中，AB8，AC6，BAC30，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， 连接 BC1，则 BC1的长为（ ） A6 B8 C10 D12 12二次函数 yx2ax+b 的图象如图所示，对称轴为直线 x2，下列结论不正确的是（ ） Aa4 B当 b4 时，顶点的坐标为（2，8） C当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 D当 x1 时，b5 13在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE，连 接 ED，若 B
5、C5，BD4则下列结论错误的是（ ） AAEBC BADEBDC CBDE 是等边三角形 DADE 的周长是 9 14二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表，下列结论： x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 ac0；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小；3 是方程 ax2+（b1）x+c0 的一个根；当 1x3 时，ax2+bx+cx其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 15如图，从某建筑物 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面 垂直） 如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离
6、地面m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是（ ） A2m B3m C4m D5m 16如图，一段抛物线：yx（x3） （0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A3；，如此进行下去，直至 得 C13若 P（32，m）在第 11 段抛物线 C11上，则 m 值为（ ） A2 B1.5 C2 D2.25 二、细心填一填（本大题共二、细心填一填（本大题共 4 小题，小题，17-19 每小题每小题 3 分，分，20 题每空题每空 2 分，共分，共 13 分）把答案直
7、接写在题中的分）把答案直接写在题中的 横线上横线上. 17方程 2（x+3）2x+3 的解为 18抛物线 yax2+bx+c 的部分图象如图，则当 y3 时，x 的取值范围是 19如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的直角顶点 C 的坐标为 （1，0） ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC 2 将ABC先绕点C逆时针旋转90， 再向左平移3个单位， 则变换后点A的对应点的坐标为 20二次函数 yx2+2x3 （1）当 2x5 时，函数值 y 的取值范围是 ； （2）当 0 x3 时，函数值 y 的取值范围是 三、专心解一解（本题满分三、专心解一解（本题满分 65 分）请认真读题，冷静思考分
8、）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、解答过程解答题应写出文字说明、解答过程. 21定义新运算：对于任意实数 m，n 都有 mnm2mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方 运算例如：32（3）2（3）2+217根据以上知识解决问题： （1）若 x31，求 x 的值； （2）求抛物线 y（2x）（1）的顶点坐标； （3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转 180，写出得到的新的抛物线解析式 22如图，在平面直角坐标系中，AOB 是边长为 3 的等边三角形，将AOB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 得到DCB，使得点 D 落在 x 轴的正半轴上，连接 OC，AD （1）求证：OCAD；
9、 （2）求 OC 的长 23探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1 次 （1）若参加聚会的人数为 3，则共握手 次；若参加聚会的人数为 6，则共握手 次； （2）若参加聚会的人数为 n（n 为正整数） ，则共握手 次； （3）若参加聚会的人共握手 45 次，请求出参加聚会的人数 拓展： 嘉嘉给琪琪出题： “若在直角AOB 的内部由顶点 O 引出 m 条射线（不含 OA、OB 边） ，角的总数为 20，求 m 的值 ” 琪琪的思考： “在这个问题上， 角的总数不可能为 20 ” 琪琪的思考对吗？若对， 请求出 m 的值； 若不对， 请说明理由 24如图是实验室中的一种摆动装置
10、，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD13，DM5 （1）在旋转过程中 当 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的长； 当 A，D，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长； （2） 若摆动臂 AD 顺时针旋转 90， 点 D 的位置由ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处， 连接 D1D2 如 图，此时AD2C135，CD220，求 BD2的长 25某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为 25 万元，市场调研表明：当销售价为 29 万元时，平均 每周能售出 8 辆，而当销售价每降
11、低 0.5 万元时， 平均每周能多售出 4 辆如果设每辆汽车降价 x 万元， 每辆汽车的销售利润为 y 万元 （销售利润销售价进货价） （1）求 y 与 x 的函数关系式：在保证商家不亏本的前提下，写出 x 的取值范围； （2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于 48 万元，那么销售价应定在哪个范围？ 26如图，已知抛物线 yax2+bx+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶 点为 D，连结 CD （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B、C 不
12、重合） ，设点 P 的横坐标为 t 当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求PBC 的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点 P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 2020-2021 学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期中数学试卷学年河北省唐山市丰南区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1抛物线 yx2+4x+2 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直线 x2 C直线 x1 D直线 x1 【分析】将题目中的抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y
13、x2+4x+2（x2）2+6， 该抛物线的对称轴是直线 x2， 故选：A 2x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解，则a2b（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】将 x1 代入原方程即可求出（a+2b）的值 【解答】解：将 x1 代入原方程可得：12+a+2b0， a+2b1， a2b（a+2b）1， 故选：B 3下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A圆 B菱形 C正十边形 D等边三角形 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形，据此可得结论 【解答】解：A圆属于中心对称图形，不合题意； B菱形属于
14、中心对称图形，不合题意； C正十边形属于中心对称图形，不合题意； D等边三角形不属于中心对称图形，符合题意； 故选：D 4已知点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线 y（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 【分析】分别计算自变量为 1 和 2 对应的函数值，然后对各选项进行判断 【解答】解：当 x1 时，y1（x+1）2+2（1+1）2+22； 当 x2 时，y1（x+1）2+2（2+1）2+27； 所以 2y1y2 故选：A 5一元二次方程 x24x10 配方后可化为（ ） A （x+2）23 B （x+2）25 C （
15、x2）23 D （ x2）25 【分析】移项，配方，即可得出选项 【解答】解：x24x10， x24x1， x24x+41+4， （x2）25， 故选：D 6 如图所示， 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置， 旋转角为 （090） 若 1110，则 （ ） A20 B30 C40 D50 【分析】 根据矩形的性质得BDBAD90， 根据旋转的性质得DD90， 4， 利用对顶角相等得到12110，再根据四边形的内角和为 360可计算出370，然后利用 互余即可得到 的度数 【解答】解：如图，四边形 ABCD 为矩形， BDBAD90， 矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋
16、转得到矩形 ABCD， DD90，4， 12110， 3360909011070， 4907020， 20 故选：A 7把抛物线 y3x2+1 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（ ） Ay3（x+3）22 By3（x+2）2+3 Cy3（x3）22 Dy3（x3）2+3 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可 【解答】解：y3x2+1 先向上平移 2 个单位，得到 y3x2+3，再向右平移 3 个单位 y3（x3）2+3 故得到抛物线的解析式为 y3（x3）2+3 故选：D 8已知 m1，则关于 x 的一元二次方程 x22x+m+30 根的情况为（
17、 ） A无实数根 B有两个相等实数根 C有两个不相等实数根 D无法确定 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出m8，再由 m1 可得出m80， 由此得出方程无解 【解答】解：在方程 x22x+m+30 中，（2）241（m+3）m8 m1， m80， 关于 x 的一元二次方程 x22x+30 无实数根 故选：A 9某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同设每次降价的百 分率为 x，根据题意列方程得（ ） A168（1+x）2108 B168（1x）2108 C168（12x）108 D168x2（1x2）108 【分析】设每次降价的百分率为
18、 x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率） ，则第一次 降价后的价格是 168（1x） ，第二次后的价格是 168（1x）2，据此即可列方程求解 【解答】解：设每次降价的百分率为 x，根据题意得： 168（1x）2108 故选：B 10已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x22x+a2+a0 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B0 或1 C1 D1 【分析】直接把 x0 代入进而方程，再结合 a+10，进而得出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（a+1）x22x+a2+a0 有一个根为 x0， a2+a0，且 a+10， 则 a 的值为：a0 故选：A 11如图
19、，在ABC 中，AB8，AC6，BAC30，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， 连接 BC1，则 BC1的长为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】根据旋转的性质得出 ACAC1，BAC190，进而利用勾股定理解答即可 【解答】解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1， ACAC1，CAC160， AB8，AC6，BAC30， BAC190，AB8，AC16， 在 RtBAC1中，BC1的长， 故选：C 12二次函数 yx2ax+b 的图象如图所示，对称轴为直线 x2，下列结论不正确的是（ ） Aa4 B当 b4 时，顶点的坐标为（2，8） C当 x3 时
20、，y 随 x 的增大而增大 D当 x1 时，b5 【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可 【解答】解：二次函数 yx2ax+b 对称轴为直线 x2 a4，故 A 选项正确； 当 b4 时，yx24x4（x2）28 顶点的坐标为（2，8） ，故 B 选项正确； 对称轴为直线 x2 且图象开口向上 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，故 C 选项正确； 当 x1 时，由图象知此时 y0 即 1+4+b0 b5，故 D 选项不正确； 故选：D 13在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE，连 接 ED，若 BC5，B
21、D4则下列结论错误的是（ ） AAEBC BADEBDC CBDE 是等边三角形 DADE 的周长是 9 【分析】首先由旋转的性质可知EBDABCC60，所以看得 AEBC，先由ABC 是等边三 角形得出 ACABBC5，根据图形旋转的性质得出 AECD，BDBE，故可得出 AE+ADAD+CD AC5，由EBD60，BEBD 即可判断出BDE 是等边三角形，故 DEBD4，故AED 的周 长AE+AD+DEAC+BD9，问题得解 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABCC60， 将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE， EABCABC60， AEBC，故选项 A 正确； ABC
22、是等边三角形， ACABBC5， BAEBCD 逆时针旋旋转 60得出， AECD，BDBE，EBD60， AE+ADAD+CDAC5， EBD60，BEBD， BDE 是等边三角形，故选项 C 正确； DEBD4， AED 的周长AE+AD+DEAC+BD9，故选项 D 正确； 而选项 B 没有条件证明ADEBDC， 结论错误的是 B， 故选：B 14二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表，下列结论： x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 ac0；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小；3 是方程 ax2+（b1）x+c0 的一
23、个根；当 1x3 时，ax2+bx+cx其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判 断即可得解 【解答】解：由图表中数据可知，x0 和 x3 时，函数值相同，都是 3， 对称轴为直线 x， x1 时，y5， a0， x0 时，y3， c3， ac0，故正确， 抛物线的对称轴 x， 当 x时，y 的值随 x 值的增大而减小，故错误， x3 时，y3， 9a+3b+c3， 9a+3（b1）+c0， x3 是方程 ax2+（b1）x+c0 的一个根，故正确 x1 时，y1， ab+c1， a（b1）+
24、c0， x1 是方程 ax2+（b1）x+c0 的一个根， 当1x3 时，ax2+（b1）x+c0，故错误 故选：C 15如图，从某建筑物 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面 垂直） 如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离地面m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是（ ） A2m B3m C4m D5m 【分析】由题意可以知道 M（1，） ，A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当 y0 时就可以求出 x 的值，这样就可以求出 OB 的值 【解答】解：设抛物线的解析式为 ya（x1）2+，由题意，得 10a+， a 抛物线的解析式为
25、：y（x1）2+ 当 y0 时， 0（x1）2+， 解得：x11（舍去） ，x23 OB3m 故选：B 16如图，一段抛物线：yx（x3） （0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A3；，如此进行下去，直至 得 C13若 P（32，m）在第 11 段抛物线 C11上，则 m 值为（ ） A2 B1.5 C2 D2.25 【分析】求出抛物线 C1与 x 轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在 x 轴上方，然后求出到抛 物线 C13平移的距离，再根据向右平移
26、横坐标加表示出抛物线 C11的解析式，然后把点 P 的坐标代入计 算即可得解 【解答】解：令 y0，则x（x3）0， 解得 x10，x23， A1（3，0） ， 由图可知，抛物线 C11在 x 轴上方， 相当于抛物线 C1向右平移 6530 个单位得到， 抛物线 C11的解析式为 y（x30） （x303）（x30） （x33） ， P（32，m）在第 11 段抛物线 C11上， m（3230） （3233）2 故选：A 二填空题二填空题 17方程 2（x+3）2x+3 的解为 x13，x22.5 【分析】利用因式分解法求解即可 【解答】解：2（x+3）2x+3， 2（x+3）2（x+3）0，
27、 则（x+3） （2x+5）0， x+30 或 2x+50， 解得 x13，x22.5， 故答案为：x13，x22.5 18抛物线 yax2+bx+c 的部分图象如图，则当 y3 时，x 的取值范围是 0 x2 【分析】根据抛物线与 y 轴的交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点， 然后根据图象即可求得结论 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴的交点坐标为（0，3） ，对称轴为 x1， 点（0，3）关于对称轴的对称点为（2，3） ， 由图象可知，当 y3 时，x 的取值范围是 0 x2 故答案为：0 x2 19如图，在平面直角坐标系中，RtABC
28、 的直角顶点 C 的坐标为 （1，0） ，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC 2 将ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90， 再向左平移 3 个单位， 则变换后点 A 的对应点的坐标为 （ 2，2） 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点 A 的对应点坐标，根据平移的性质解答即可 【解答】解：点 C 的坐标为（1，0） ，AC2， 点 A 的坐标为（3，0） ， 如图所示，将 RtABC 先绕点 C 逆时针旋转 90， 则点 A的坐标为（1，2） ， 再向左平移 3 个单位长度，则变换后点 A的对应点坐标为（2，2） ， 故答案为： （2，2） 20二次函数 yx2+2x3 （1）当 2x
29、5 时，函数值 y 的取值范围是 18y3 ； （2）当 0 x3 时，函数值 y 的取值范围是 6y2 【分析】 （1） （2）根据二次函数的性质即可求得 【解答】解： （1）yx2+2x3（x1）22， 对称轴为直线 x1，有最大值2， 把 x2 代入 yx2+2x3 得，y3；把 x5 代入 yx2+2x3 得，y18， 当 2x5 时，函数值 y 的取值范围是18y3， 故答案为18y3； （2）把 x3 代入 yx2+2x3 得，y6， 当 0 x3 时，函数值 y 的取值范围是6y2， 故答案为6y2 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 21定义新运算：对于任意实数 m，n
30、 都有 mnm2mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方 运算例如：32（3）2（3）2+217根据以上知识解决问题： （1）若 x31，求 x 的值； （2）求抛物线 y（2x）（1）的顶点坐标； （3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转 180，写出得到的新的抛物线解析式 【分析】 （1）利用新定义运算法则列出方程 x23x+31，然后解方程即可； （2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案； （3）根据关于原点对称的函数性质解答 【解答】解： （1）根据题意，得 x23x+31， 移项、合并同类项，得 x23x+20， 整理，得（x，1） （x
31、2）0， 解得：x11，x22； （2）根据题意知，y（2x）2（2x） （1）+（1）x25x+5（x）2 所以，顶点坐标（） ； （3）根据题意知，新的抛物线解析式为 y（x+）2+ 22如图，在平面直角坐标系中，AOB 是边长为 3 的等边三角形，将AOB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 得到DCB，使得点 D 落在 x 轴的正半轴上，连接 OC，AD （1）求证：OCAD； （2）求 OC 的长 【分析】 （1）根据旋转的性质和等边三角形的性质可以证明OBCABD，进而可得结论； （2）结合（1）可得OCD90，根据勾股定理即可求出 OC 的长 【解答】 （1）证明：AOB 是边长为 3
32、 的等边三角形， OAOBAB3，AOBBAOOBA60， 又DCB 是由AOB 绕着点 B 按顺时针方向旋转得到的， DCB 也是边长为 3 的等边三角形， OBACBD60，OBAB，BCBD， 又OBCOBA+ABCCBD+ABCABD120， OBCABD（SAS） ， OCAD（全等三角形的对应边相等） ； （2）解：OCB 中 OBOC，OBC120， BOCOCB30， OCD90， 在 RtODC 中，由勾股定理得： OC 23探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1 次 （1）若参加聚会的人数为 3，则共握手 3 次；若参加聚会的人数为 6，则共握手 15
33、次； （2）若参加聚会的人数为 n（n 为正整数） ，则共握手 n（n1） 次； （3）若参加聚会的人共握手 45 次，请求出参加聚会的人数 拓展： 嘉嘉给琪琪出题： “若在直角AOB 的内部由顶点 O 引出 m 条射线（不含 OA、OB 边） ，角的总数为 20，求 m 的值 ” 琪琪的思考： “在这个问题上， 角的总数不可能为 20 ” 琪琪的思考对吗？若对， 请求出 m 的值； 若不对， 请说明理由 【分析】探究： （1）根据握手次数参会人数（参会人数1）2，即可求出结论； （2）由（1）的结论结合参会人数为 n，即可得出结论； （3）由（2）的结论结合共握手 45 次，即可得出关于 n
34、 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 拓展：根据题意即可得出关于 m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对 【解答】解： （1）参加聚会的人数为 3，则共握手323（次） ； 若参加聚会的人数为 6，则共握手6515（次） ； 故答案为：3，15； （2）参加聚会的人数为 n（n 为正整数） ，则共握手n（n1）次 故答案为：； （3）设有 x 人参加聚会，根据题意得， ， 解得：x110 x29（不合题意，舍去） ， 答：参加聚会的有 10 人 拓展：解：琪琪的思考对，理由如下： 设从点 O 共引出 a 条射线，若共有 20 个角， 则有：， 解得：a，与 a
35、 为正整数矛盾， 所以不可能有 20 个角 24如图是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD13，DM5 （1）在旋转过程中 当 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的长； 当 A，D，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长； （2） 若摆动臂 AD 顺时针旋转 90， 点 D 的位置由ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处， 连接 D1D2 如 图，此时AD2C135，CD220，求 BD2的长 【分析】 （1）分两种情况讨论，由线段和差关系可求解； 分两种
36、情况讨论，由勾股定理可求解； （2）由旋转的性质可得 AD1AD213，D2AD190，由勾股定理可求 D1C 的长，由“SAS”可证 BAD2CAD1，可得 D1CBD2 【解答】解： （1）由题意可知：当点 M 在线段 AD 的延长线上时，AMAD+DM13+518， 当点 M 在线段 AD 上时，AMADDM1358； 综上所述：AM8 或 18； 若 AM 为斜边，则 AM， 若 AD 为斜边，则 AM， 综上所述：AM12 或； （2）如图，连接 CD1， 由旋转 90可知：AD1AD213，D2AD190， AD2D1AD1D245， D1D213， D1D2CAD2CAD2D19
37、0， 在 RtD1D2C 中 由勾股定理得：D1C， 由ABC 为等腰直角三角形可知：ABAC，BAC90D2AD1， BACD2ACD2AD1D2AC， 即：BAD2CAD1， 又AD2AD1， BAD2CAD1（SAS） ， D1CBD2 25某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为 25 万元，市场调研表明：当销售价为 29 万元时，平均 每周能售出 8 辆，而当销售价每降低 0.5 万元时， 平均每周能多售出 4 辆如果设每辆汽车降价 x 万元， 每辆汽车的销售利润为 y 万元 （销售利润销售价进货价） （1）求 y 与 x 的函数关系式：在保证商家不亏本的前提下，写出 x 的取值范围
38、； （2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于 48 万元，那么销售价应定在哪个范围？ 【分析】 （1）根据利润等于（29进货价降价）可得出 y 关于 x 的函数关系式，化简即可； （2） 假设这种汽车平均每周的销售利润为 S 万元， 根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘 以销售量，可得出 S 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （3）当 S48 时，可得关于 x 的一元二次方程，求得方程的解，再根据二次函数的性质可得出符合题意 的 x 值，再由实际售价等于（29x）万元，可
39、得出销售价的范围 【解答】解： （1）由题意得：y2925x， yx+4（0 x4） ； （2）假设这种汽车平均每周的销售利润为 S 万元， 则 S（x0.54+8） （x+4） 8x2+24x+32 8（x1.5）2+50， x1.5 时，S 最大为 50 291.527.5（万元） ， 每辆汽车的定价为 27.5 万元时，利润最大，最大利润为 50 万元； （3）当 S48 时， 8x2+24x+3248， 解得：x11 x22， S8（x1.5）2+50，二次项系数为80， S 为开口向下的二次函数， 对称轴为直线 x1.5， 当 1x1.5 时，S 随 x 的增大而增大；当 1.5x2
40、 时，S 随 x 的增大而减小， 当 1x2 时，S48 实际售价等于（29x）万元， 2729x28 时，S48 销售价格在 27 万元至 28 万元之间时（含 27 万、28 万元）该汽车城平均每周的利润不低于 48 万元 26如图，已知抛物线 yax2+bx+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶 点为 D，连结 CD （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B、C 不重合） ，设点 P 的横坐标为 t 当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求PBC 的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点 P，使得PBCBCD？若存在，求
41、出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 【分析】 （1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）SPBCPG（xCxB） ，即可求解；分点 P 在直线 BC 下方、上方两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+6x+5， 令 y0，则 x1 或5， 即点 C（1，0） ； （2）如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G， 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：yx+1， 设点 G（t，t+1） ，则点 P（t，t2+6t+5） ， SPBCP
42、G（xCxB）（t+1t26t5）t2t6， 0，SPBC有最大值，当 t时，其最大值为； 设直线 BP 与 CD 交于点 H， 当点 P 在直线 BC 下方时， PBCBCD，点 H 在 BC 的中垂线上， 线段 BC 的中点坐标为（，） ， 过该点与 BC 垂直的直线的 k 值为1， 设 BC 中垂线的表达式为：yx+m，将点（，）代入上式并解得： 直线 BC 中垂线的表达式为：yx4， 同理直线 CD 的表达式为：y2x+2， 联立并解得：x2，即点 H（2，2） ， 同理可得直线 BH 的表达式为：yx1， 联立并解得：x或4（舍去4） ， 故点 P（，） ； 当点 P（P）在直线 BC 上方时， PBCBCD，BPCD， 则直线 BP的表达式为：y2x+s，将点 B 坐标代入上式并解得：s5， 即直线 BP的表达式为：y2x+5， 联立并解得：x0 或4（舍去4） ， 故点 P（0，5） ； 故点 P 的坐标为 P（，）或（0，5）
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