1、2019-2020 学年浙江省宁波市慈溪市八年级（下）期末数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列常用手机 APP 的图标中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）二次根式有意义的条件是（ ） Ax Bx Cx Dx3 3 （3 分）用反证法证明， “在ABC 中，A、B 对边是 a、b，若AB，则 ab ”第一步应假设 （ ） Aab Bab Cab Dab 4 （3 分）图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了 10 箭，则射箭成绩的
2、方差较大的是（ ） A小明 B小华 C两人一样 D无法确定 5 （3 分）用配方法解方程 x26x40，下列配方正确的是（ ） A （x3）213 B （x+3）213 C （x6）24 D （x3）25 6 （3 分）反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而增大 B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 D图象经过点（1，1） 7 （3 分）如果关于 x 的方程 x22xk0 没有实数根，那么 k 的最大整数值是（ ） A3 B2 C1 D0 8 （3 分）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18的条 件下生长最快的新
3、品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y（）随时间 x（小 时） 变化的函数图象， 其中BC段是双曲线的一部分， 则当x16时， 大棚内的温度约为 （ ） A18 B15.5 C13.5 D12 9 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中 （1）分别以 C，D 为圆心，大于CD 长为半径作弧，两弧分别交于点 E，F； （2）作直线 EF 交边 CD 于点 M，且直线 EF 恰好经过点 A； （3）连接 BM 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） AABC60 BBC2CM CSABM2SADM D如果 AB2，那么 BM4 10 （3 分）如图，矩形 ABC
4、D 和矩形 CEFG，AB1，BCCG2，CE4，点 P 在边 GF 上，点 Q 在边 CE 上，且 PFCQ，连结 AC 和 PQ，M，N 分别是 AC，PQ 的中点，则 MN 的长为（ ） A3 B6 C D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）当 x时，二次根式的值为 12 （4 分）如图，1 角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是 13（4 分） 如图， 矩形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AB3， BC4， 则AOB 的周长为 14 （4 分）某校规定：学生
5、的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按 3：3：4 的比例计算所 得已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是 90 分、90 分和 95 分，那么他本学期数学学 期综合成绩是 分 15 （4 分）如图，边长为 1 的正方形拼成的矩形如图摆放在直角坐标系里，A，B，C，D 是格点反比例 函数 y（x0，k0）的图象经过格点 A 并交 CB 于点 E若四边形 AECD 的面积为 6.4，则 k 的值 为 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD4，M 是对角线 BD 所在直线上的一个动点，点 N 是 平面内一点若四边形 MCND 为平行四边形，且 MN8，则 BM
6、 的值为 三、解答题（第三、解答题（第 17、18 题各题各 6 分，第分，第 19、20、21、22 题各题各 8 分，第分，第 23 题题 10 分，第分，第 24 题题 12 分，共分，共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （1） （）2； （2） 18 （6 分）解方程： （1）x22x150； （2） （3x+2）23（3x+2） 19 （8 分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1） 、 （2）班根据初赛成绩，两个班各选出 5 名选手 参加复赛，两个班各选出 5 名选手的复赛成绩如图所示 （1）根据图示填写下表： 班级 中位数 众数 九（1） 85 九（2） 100 （2
7、）通过计算得知九（2）班的平均成绩为 85 分，请计算九（1）班的平均成绩 （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩好 20 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC 与BAD 的度数比为 1：2，周长是 8cm求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积 21 （8 分）2020 年 3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类 的考验，将对全球造成巨大影响新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经 过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） 求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
8、 （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 22 （8 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，B，与 x 轴交于 点 C，与 y 轴交于点 D，其中点 A（1，3）和点 B（3，n） （1）求一次函数的表达式 （2）求证：BCAD （3）根据图象回答：当 x 为何值时，kx+b0（请直接写出答案） 23 （10 分）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形” （1）如图 1，四边形 ABCD 为“对垂四边形” 求证：AB2+CD2BC2+AD2 （2） 如图 2， E 是四边形 ABCD 内一
9、点， 连结 AE， BE， CE 和 DE， AC 与 BD 交于点 O 若BEC90， BACBDC，1+23求证：四边形 ABCD 为“对垂四边形” （3）如图 3，四边形 ABCD 为“对垂四边形” ，ABAC，ADC120，AD3，BCDC，求 CD 的长 24 （12 分）如图 1，已知正方形 ABCD，E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B、C 重合） ，连结 AE，点 B 关于直线 AE 的对称点为 F，连结 EF 并延长交 CD 于点 G，连结 AG，AF （1）求EAG 的度数 （2）如图 2，连结 CF，若 CFAG，请探究线段 BE 与 DG 之间的数量关系，并说明理由
10、 （3）如图 3，过点 G 作 GHAE 于点 H，连结 BH，请探究线段 BH 与 CG 的数量关系，并说明理由 2019-2020 学年浙江省宁波市慈溪市八年级（下）期末数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列常用手机 APP 的图标中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项
11、不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合 2 （3 分）二次根式有意义的条件是（ ） Ax Bx Cx Dx3 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 3x10，再解不等式即可 【解答】解：由题意得：3x10， 解得：x， 故选：B 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 3 （3 分）用反证法证明， “在ABC 中，A、B 对边是 a、b，若AB，则 ab ”第一步应假设 （ ） Aab
12、Bab Cab Dab 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可 【解答】解：根据反证法的步骤，得 第一步应假设 ab 不成立，即 ab 故选：C 【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了， 如果有多种情况，则必须一一否定 4 （3 分）图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了 10 箭，则射箭成绩的方差较大的是（ ） A小明 B小华 C两人一样 D无法确定 【分析】根据图中的信息找出波动性大的即可 【解答】解：根据图
13、中的信息可知，小华的成绩波动性大， 故射箭成绩的方差较大的是小华 故选：B 【点评】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏 离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏 离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 5 （3 分）用配方法解方程 x26x40，下列配方正确的是（ ） A （x3）213 B （x+3）213 C （x6）24 D （x3）25 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 9 变形得到结果即可 【解答】解：方程 x26x40 变形得：x26x4， 配方得：x26x+913，即（x3）213
14、， 故选：A 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 6 （3 分）反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而增大 B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 D图象经过点（1，1） 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、k10，图象在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，故本选项说法 错误； B、k10，它的图象在第二、四象限，故本选项说法正确； C、由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数 y的图象关于 yx 对称，故本选项说法正确； D、1，点（1，1）在它的图象
15、上，故本选项正确； 故选：A 【点评】考查反比例函数的性质，当 k0 时，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大的性质、反比例函数的 图象是轴对称图象，yx 和 yx 是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上 点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性 质 7 （3 分）如果关于 x 的方程 x22xk0 没有实数根，那么 k 的最大整数值是（ ） A3 B2 C1 D0 【分析】根据题目意思可知b24ac（2）241（k）4+4k0，解即可求 k1，从而 易知 k 应取的最大值是2 【解答】解：根据题意可得 b24ac（2）
16、241（k）4+4k0， 解得 k1， 故 k 的最大值是 k2 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指0 8 （3 分）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18的条 件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y（）随时间 x（小 时） 变化的函数图象， 其中BC段是双曲线的一部分， 则当x16时， 大棚内的温度约为 （ ） A18 B15.5 C13.5 D12 【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将 x16 代入函数解析式求出 y 的值即可 【解答】解：点 B（12，18）在双
17、曲线 y上， 18， 解得：k216 当 x16 时，y13.5， 所以当 x16 时，大棚内的温度约为 13.5 故选：C 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键 9 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中 （1）分别以 C，D 为圆心，大于CD 长为半径作弧，两弧分别交于点 E，F； （2）作直线 EF 交边 CD 于点 M，且直线 EF 恰好经过点 A； （3）连接 BM 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） AABC60 BBC2CM CSABM2SADM D如果 AB2，那么 BM4 【分析】如图，连接 AC，证明ABC，ACD 都是
18、等边三角形即可解决问题 【解答】解：如图，连接 AC 由作图可知，EF 存在平分线段 CD， ACBD， 四边形 ABCD 是菱形， ADCDABBCAC， ABC，ACD 都是等边三角形， ABC60，故 A 正确， BCCD2CM，故 B 正确， ABCD2DM，ABCD， AB2DM， SABM2SADM，故 C 正确， 故选：D 【点评】本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解 题意，灵活运用所学知识解决问题 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 和矩形 CEFG，AB1，BCCG2，CE4，点 P 在边 GF 上，点 Q 在边 CE 上，且 P
19、FCQ，连结 AC 和 PQ，M，N 分别是 AC，PQ 的中点，则 MN 的长为（ ） A3 B6 C D 【分析】连接 CF，交 PQ 于 R，延长 AD 交 EF 于 H，连接 AF，则四边形 ABEH 是矩形，求出 FH1， AF，由 ASA 证得RFPRCQ，得出 RPRQ，则点 R 与点 M 重合，得出 MN 是CAF 的中位线，即可得出结果 【解答】解：连接 CF，交 PQ 于 R，延长 AD 交 EF 于 H，连接 AF，如图所示： 则四边形 ABEH 是矩形， HEAB1，AHBEBC+CE2+46， 四边形 CEFG 是矩形， FGCE，EFCG2， RFPRCQ，RPFR
20、QC，FHEFHE211， 在 RtAHF 中，由勾股定理得：AF， 在RFP 和RCQ 中， RFPRCQ（ASA） ， RPRQ， 点 R 与点 M 重合， 点 N 是 AC 的中点， MN 是CAF 的中位线， MNAF， 故选：C 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形 中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）当 x时，二次根式的值为 【分析】将 x 的值代入原式计算可得 【解答】解：当 x时， 故答案为
21、： 【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a 0）的式子叫做二次根式 12 （4 分）如图，1 角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是 140 【分析】先根据多边形内角和定理：180 （n2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数 【解答】解：该正九边形内角和180（92）1260， 则每个内角的度数140 故答案为：140 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180 （n2） ，比较简单，解答本题的关键是直接根据 内角和公式计算可得内角和 13 （4 分） 如图， 矩形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD
22、相交于点 O， AB3， BC4， 则AOB 的周长为 8 【分析】由矩形的性质可得 ACBD，AOCO，BODO，ABC90，由勾股定理可求 AC5，即 可求AOB 的周长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 ACBD，AOCO，BODO，ABC90 AB3，BC4， AC5 AOBO AOB 的周长AB+AO+BO3+58 故答案为：8 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求出 AOBO 的长是本题的关键 14 （4 分）某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按 3：3：4 的比例计算所 得已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是 90 分、90 分和
23、95 分，那么他本学期数学学 期综合成绩是 92 分 【分析】直接利用平时、期中和期末三项成绩按 3：3：4 的比例计算，进而利用平时、期中和期末成绩 分别是 90 分、90 分和 95 分，代入求出答案 【解答】解：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按 3：3：4 的比例计算所得， 某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是 90 分、90 分和 95 分， 他本学期数学学期综合成绩是：90+90+9592（分） 故答案为：92 【点评】此题主要考查了加权平均数，正确理解权的意义是解题关键 15 （4 分）如图，边长为 1 的正方形拼成的矩形如图摆放在直角坐标系里，A，B，
24、C，D 是格点反比例 函数 y（x0，k0）的图象经过格点 A 并交 CB 于点 E若四边形 AECD 的面积为 6.4，则 k 的值 为 6.6 【分析】根据四边形的面积求得 CE5.4，设 A（m，3） ，则 E（m+4.4，1） ，根据反比例函数系数 k 的 代数意义得出 k3mm+4.4，解得即可 【解答】解：由图象可知 AD1，CD2， 四边形 AECD 的面积为 6.4， （AD+CE） CD6.4，即（1+CE）26.4， CE5.4， 设 A（m，3） ，则 E（m+4.4，1） ， 反比例函数 y（x0，k0）的图象经过格点 A 并交 CB 于点 E k3mm+4.4， 解得
25、 m2.2， k3m6.6， 故答案为 6.6 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的代数意义，梯形的面积，表示点 A、E 的坐标是解题的关键 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD4，M 是对角线 BD 所在直线上的一个动点，点 N 是 平面内一点若四边形 MCND 为平行四边形，且 MN8，则 BM 的值为 7 【分析】分两种情况： 如图 1，M 在对角线 BD 上时，设四边形 MCND 对角线 MN 和 DC 交于 O，过 O 作 OGBD 于 G； 如图 2，M 在 BD 的延长线上时，过 O 作 OGBD 于 G；设 BMx，表示 MG 的长，先根据直角三角 形
26、30 度角的性质可得 OG 和 DG 的长，在直角三角形 OGM 中列方程可得结论 【解答】解：分两种情况： 如图 1，M 在对角线 BD 上时，设四边形 MCND 对角线 MN 和 DC 交于 O，过 O 作 OGBD 于 G， 四边形 MCND 为平行四边形， ODDCAB2，OMMN4， 四边形 ABCD 是矩形， A90， AB4，AD4， BD8， ABBD， ADB30， ADC90， BDC60， RtODG 中，DOG30， DG1，OG， 设 BMx，则 MG8x17x， OMG 中，MG2+OG2OM2， 42， 解得：x7+（舍）或 7； 如图 2，M 在 BD 的延长线
27、上时，过 O 作 OGBD 于 G， 同理得：DG1，OG，OM4， 设 BMx，则 MGx8+1x7， OMG 中，MG2+OG2OM2， ， 解得：x7+或 7（舍） ； 综上，BM 的长为 7； 故答案为：7 【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，设未知数 列方程是解决问题的关键 三、解答题（第三、解答题（第 17、18 题各题各 6 分，第分，第 19、20、21、22 题各题各 8 分，第分，第 23 题题 10 分，第分，第 24 题题 12 分，共分，共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （1） （）2； （2） 【分析】 （1）
28、首先计算乘方，再算乘法即可； （2）首先化简二次根式，再去括号算加减即可 【解答】解： （1）原式2； （2）原式+33 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式混合运算的计算顺序 18 （6 分）解方程： （1）x22x150； （2） （3x+2）23（3x+2） 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解： （1）x22x150， （x5） （x+3）0， 则 x50 或 x+30， 解得 x5 或 x3； （2）（3x+2）23（3x+2） （3x+2）23（3x+2）0， （3x+2） （3x1）0， 则 3x+20 或 3x10， 解得 x或 x 【点评】本题主
29、要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 19 （8 分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1） 、 （2）班根据初赛成绩，两个班各选出 5 名选手 参加复赛，两个班各选出 5 名选手的复赛成绩如图所示 （1）根据图示填写下表： 班级 中位数 众数 九（1） 85 85 九（2） 80 100 （2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为 85 分，请计算九（1）班的平均成绩 （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩好 【分析】 （1）观察图分别写出九（1）
30、班和九（2）班 5 名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平 均数的求法以及众数的定义求解即可； （2）根据平均数计算即可； （3）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好 【解答】解： （1）九（1）班的众数为 85 分， 九（2）班成绩从小到大排列为：70、75、80、100、100， 所以九（2）班成绩的中位数为 80 分， 补全表格如下： 班级 中位数 众数 九（1） 85 85 九（2） 80 100 （2）九（1）班的平均成绩为85（分） ； （3）九（1）班成绩好些 因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数高， 所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好 【点评】
31、本题考查频数分布直方图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问 题，属于中考常考题型 20 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC 与BAD 的度数比为 1：2，周长是 8cm求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积 【分析】 （1）由在菱形 ABCD 中，ABC 与BAD 的度数比为 1：2，周长是 8cm，可求得ABO 是含 30角的直角三角形，AB2cm，继而求得 AC 与 BD 的长； （2）由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ACBD，ADBC， ABC+BAD180， ABC 与
32、BAD 的度数比为 1：2， ABC18060， ABOABC30， 菱形 ABCD 的周长是 8cm AB2cm， OAAB1cm， OB， AC2OA2cm，BD2OB2cm； （2）S菱形ABCDACBD222（cm2） 【点评】此题考查了菱形的性质以及含 30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合 思想的应用 21 （8 分）2020 年 3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类 的考验，将对全球造成巨大影响新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经 过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） 求
33、： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【分析】 （1） 设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人， 根据一人患病后经过两轮传染后共有 169 人患病， 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病人数经过两轮传染后患病人数（1+12） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）169， 解得：x112，x214（不合题意，舍去） 答：每轮传染中平均每个人传染了 12 个人 （2）169（1+
34、12）2197（人） 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 2197 人患病 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 22 （8 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，B，与 x 轴交于 点 C，与 y 轴交于点 D，其中点 A（1，3）和点 B（3，n） （1）求一次函数的表达式 （2）求证：BCAD （3）根据图象回答：当 x 为何值时，kx+b0（请直接写出答案） 1x3 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）AGDG1，BHCH1，故 AD，BC，则 BCAD； （3）观察函数图象即可
35、求解 【解答】解： （1）点 A、B 在反比例函数 y上，故 m133，故点 B（3，1） ， 设直线 AB 的表达式为：ykx+b，则， 解得， 故一次函数表达式为：yx+4； （2）一次函数表达式为：yx+4，令 x0，则 y4，令 y0，则 x4， 故点 C、D 的坐标分别为（4，0） 、 （0，4） ， 过点 A 作 AGy 轴于点 G，过点 B 作 BHx 轴于点 H， 则 AGDG1，BHCH1， AD，BC， BCAD； （3）观察函数图象知，kx+b0 时，1x3， 故答案为：1x3 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方 法
36、 23 （10 分）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形” （1）如图 1，四边形 ABCD 为“对垂四边形” 求证：AB2+CD2BC2+AD2 （2） 如图 2， E 是四边形 ABCD 内一点， 连结 AE， BE， CE 和 DE， AC 与 BD 交于点 O 若BEC90， BACBDC，1+23求证：四边形 ABCD 为“对垂四边形” （3）如图 3，四边形 ABCD 为“对垂四边形” ，ABAC，ADC120，AD3，BCDC，求 CD 的长 【分析】 （1）由“对垂四边形”的定义得出 ACBD，则AODAOBBOCCOD90，由 勾股定理得 AD2+BC2AO2+D
37、O2+BO2+CO2，AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理可得3ACD，由角的数量关系可得1ACE，可得BOCBEC 90，可得结论； （3）过点 A 作 AHDC，交 CD 延长线于点 H，设 CDx，则 BCDCx，由“对垂四边形” 的定义可得 AB29+5x2x29+4x2AC2，由直角三角形的性质可求 DHAD，AHDH ，由勾股定理可求解 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 为“对垂四边形” ， ACBD， AODAOBBOCCOD90， 由勾股定理得，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2AO2+BO2+
38、CO2+DO2， AB2+CD2AD2+BC2； （2）BACBDC，AOBCOD， 3ACD， 31+2，ACDACE+2， 1ACE， BOCBEC90， ACBD， 四边形 ABCD 为“对垂四边形” ； （3）过点 A 作 AHDC，交 CD 延长线于点 H， 设 CDx，则 BCDCx， 四边形 ABCD 为“对垂四边形” ，AD3， AB2+CD2AD2+BC2， AB29+5x2x29+4x2， ABAC， AC29+4x2， ADC120， ADH60，DAH30， DHAD，AHDH， AC2AH2+CH2， 9+4x2+（x+）2， x10（舍去） ，x21， CD 的长度
39、 1 【点评】本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，理解“对垂四边形”的定义，并 能运用是本题的关键 24 （12 分）如图 1，已知正方形 ABCD，E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B、C 重合） ，连结 AE，点 B 关于直线 AE 的对称点为 F，连结 EF 并延长交 CD 于点 G，连结 AG，AF （1）求EAG 的度数 （2）如图 2，连结 CF，若 CFAG，请探究线段 BE 与 DG 之间的数量关系，并说明理由 （3）如图 3，过点 G 作 GHAE 于点 H，连结 BH，请探究线段 BH 与 CG 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）由轴对称的性质可
40、知EABEAF，利用全等三角形的性质证明DAGFAG 即可解 决问题 （2） 易证FGDGCG， 设BEx， DGy， 则CD2y， 推出EGx+y， EC2yx， 根据EG2EC2+CG2， 构建关系式即可解决问题 （3）如图 3 中，过点 H 作直线 MNAD 交 AB，CD 于 M，N证明AMHHNG（AAS） ，推出 MH GN，AMHN，设 MHGNaAMHNb，推出 BHa，CG2a 即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形，点 B 关于 AE 对称， ABAFAD，BAEEAFBAF，BAFED90， AGAG， RtAFGRtADG（HL）
41、， FAGDAGFAD， EAGEAF+GAFBAF+DAFBAD45 （2）如图 2 中， CFAG， AGFCFG，AGDFCG， AFGADG， AGFAGD， GFCFCG， FGDGCG， 设 BEx，DGy，则 CD2y， EGx+y，EC2yx， EG2EC2+CG2， （x+y）2（2yx）2+y2， 6xy4x20， 3x2y0， yx，即 DGBE （3）结论：CGBH 理由：如图 3 中，过点 H 作直线 MNAD 交 AB，CD 于 M，N EAG45，GHAE， AHHG， MAH+AHM90，AHM+NHG90， MAHNHG， AMHHNG90， AMHHNG（AAS） ， MHGN，AMHN， 设 MHGNaAMHNb， MNa+b， AMDNb， NCBMa， BHa，CGNC+GN2a， CGBH 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题
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