1、 1 第 12 讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念 2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质 3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题 4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题 5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数 2 yaxbxc，配方为 2 2 4 24 bacb ya x aa ，顶点坐标是( 2 b a ， 2 4 4 acb a )，对称 轴是a 2 b a ，与y轴交点坐标是(0，c)，与x轴交点的横坐标是 2 0axbxc的根，当a0时，抛物线开
2、 口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a0时，抛物线开 口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系， 再结合对称轴 x a b 2 ，确定 a、b 之间等量关系，判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b24ac 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为： （1）上下平移：抛物线 y=a(xh)2
3、+k 向上平移 m（m0）个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+k+m； 抛物线 y=a(xh)2+k 向下平移 m（m0）个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+km （2）左右平移：抛物线 y=a(xh)2+k 向左平移 n（n0）个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(xh+n)2+k； 抛物线 y=a(xh)2+k 向右平移 n（n0）个单位，所得的抛物线的解析式为 y=a(xhn)2+k. 特别地，要 注意其中的符号处理 【解题策略】 1. （1）二次函数y 2 axbxc（0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系： ， ， 的代数式 决定图象特征 说明
4、 决定抛物线的开口方向 0 开口向上 0 开口向下 决定抛物线与y轴交点 0 与y轴交点在轴上方 2 的位置，交点坐标为 （0， ） 0 抛物线过原点 0 与y轴交点在轴下方 2 b a 决定对称轴的位置，对 称轴为直线 2 b a ab0 对称轴在y轴左侧 ab0 对称轴在y轴右侧 0 对称轴是y轴 2 4bac 决定抛物线与轴交点的 个数 2 4bac0 与轴有两个交点 2 4bac0 与轴有一个交点 2 4bac0 与轴没有交点 （2）二次函数y 2 axbxc（0）的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程 2 axbxc0（0） 的两个根 2. 在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一
5、个全面、全程的答案，弄清楚运动过程中的变量和常量，其 次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是 x=2，根据不 同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间 t 或者自变量 x 的代数式表示出来，然后 考虑构建方程、不等式或函数关系式； 3. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系， 再结合对称轴 x a b 2 ，确定 a、b 之间等量关系，判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b
6、24ac 4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种： （1）把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性 进行比较大小； （2）当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小； （3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对 称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小. 【典例精析】 类型一：二次函数的图象及性质 【例 1】( 2019 甘肃省兰州市) （5 分）已知，点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线 y（x+1）2 +2 上， 则下列结论正
7、确的是（ ） A. 2 y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 【答案】A 3 【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线 x1，顶点坐标（1，2 ） ，根据函数 增减性可以得到，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小.因为11 y1 y2 .故选 A. 【点评】比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断 类型二：利用二次函数图象判断 a，b，c 的符号 【例 2】(2019，四川成都，3 分）如图，
8、二次函数cbxaxy 2 的图象经过点 A（1，0） ，B（5，0） ，下 列说法正确的是（ ） A.0c B.04 2 acb C.0cba D.图象的对称轴是直线3x 【答案】D 【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。A 选项中，C 表示的是二 次函数cbxax 2 y 与 x 轴的交点，由图象可知图象与 y 轴交点位于 y 轴正半轴，故 c0. B 选项中，表 示，函数图象与 x 轴有两个交点，所以0，即。C 选项中，令 x 曲-1，可得 y=abc，即 x=1 时函 数的取值。观察图象可知 x1 时 y0，所以 abc0. 最后 D 选项中，根据图象与 x 轴交点可知，
9、对 称轴是（1，0）.（5，0）两点的中垂线， 2 51 x，x3 即为函数对称轴。故选 D。 类型三：二次函数图象的平移 【例 3】 （2019黑龙江哈尔滨3 分）将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所 得到的抛物线为（ ） Ay2（x+2）2+3 By2（x2）2+3 Cy2（x2）23 Dy2（x+2）23 【答案】B 【解答】解：将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式 4 为 y2（x2）2+3， 故选：B 类型四：确定二次函数的解析式 【例 4】.(2019，山西，3 分）北中环桥是省城太原的一
10、座跨汾河大桥（如图 1） ，它由五个高度不同，跨径 也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱（近似看成二次函数 的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米（即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米） ， 跨径为 90 米 （即 AB=90 米） ， 以最高点 O 为坐标原点， 以平行于 AB 的直线为x轴 简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ） A. 2 675 26 xy B. 2 675 26 xy C. 2 1350 13 xy D. 2 1350 13 xy 图 1 图 2 【答案】
11、B 【解析】设抛物线的解析式为, 2 axy 将)78,45(B代入得： 675 26 ,4578 2 aa 抛物线解析式为： 2 675 26 xy，故选 B 类型五：二次函数的实际应用 【例 5】 （2019贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康， 某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋 的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 y（袋） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求： （1）日销售量 y（袋）与销售价
12、 x（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 5 【答案】 （1）yx+40 （2）当 x2 时，w 取得最大值，最大值为 225 【解答】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 ykx+b 得 ，解得 故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：yx+40 （2）依题意，设利润为 w 元，得 w（x10） （x+40）x2+50 x+400 整理得 w（x25）2+225 10 当 x2 时，w 取得最大值，最大值为 2
13、25 故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元 类型六：二次函数与几何图形的综合应用 【例 6】 （2019山东省滨州市 14 分）如图，抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B， C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 ，所得直线与 x 轴交于点 D （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）如图，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sinPAD 的值 【答案】 （1）yx+4； （2
14、）点 P 的坐标是（6，） ，最大距离是； ，sinPAD 的值是或 6 【解答】解： （1）当 x0 时，y4，则点 A 的坐标为（0，4） ， 当 y0 时，0 x2+x+4，解得，x14，x28，则点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（8，0） ， OAOB4， OBAOAB45 ， 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 得到直线 AD， BAD90 ， OAD45 ， ODA45 ， OAOD， 点 D 的坐标为（4，0） ， 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b， ，得， 即直线 AD 的函数解析式为 yx+4； （2）作 PNx 轴交直线 AD 于点 N，如右图所
15、示， 设点 P 的坐标为（t，t2+t+4） ，则点 N 的坐标为（t，t+4） ， PN（t2+t+4）（t+4）t2+t， PNx 轴， PNy 轴， OADPNH45 ， 作 PHAD 于点 H，则PHN90 ， PH（t2+t）t（t6）2+， 当 t6 时，PH 取得最大值，此时点 P 的坐标为（6，） ， 即当点 P 到直线 AD 的距离最大时，点 P 的坐标是（6，） ，最大距离是； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，如右图所示， 则t， 解得，t12，t210， 7 则 P1的坐标为（2，） ，P2的坐标为（10，） ， 当 P1的坐标为（2，） ，则 P1A， sinP1A
16、D； 当 P2的坐标为（10，） ，则 P2A， sinP2AD； 由上可得，sinPAD 的值是或 【真题检测】 1. （2019浙江衢州3 分）二次函数 y=（x-1）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】 A 【解析】二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质，y=（x-1）2+3， 二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A. 2. （2019山东省济宁市 3 分） 将抛物线 yx26x+5 向上平移两个单位长度， 再向右平移一个单位长度后， 得到的抛物线解析式是（ ） Ay（x4）26 By（x1）
17、23 Cy（x2）22 Dy（x4）22 【答案】D 【解答】解：yx26x+5（x3）24，即抛物线的顶点坐标为（3，4） ， 把点（3，4）向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为（4，2） 所以平移后得到的抛物线解析式为 y（x4）22故选：D 8 3. （2019广西河池3 分） 如图， 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1， 则下列结论中， 错误的是 （ ） Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 【答案】C 【解答】解：A.由抛物线的开口向下知 a0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，可得 c0，因此 ac0，故 本选项正确，不
18、符合题意； B.由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b24ac0，故本选项正确，不符合题意； C.由对称轴为 x 2 b a 1，得 2ab，即 2a+b0，故本选项错误，符合题意； D.由对称轴为 x1 及抛物线过（3，0） ，可得抛物线与 x 轴的另外一个交点是（1，0） ，所以 ab+c0， 故本选项正确，不符合题意 故选：C 4. （2019山东省德州市 4 分） 在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1， y1） 、 P2（x2， y2） ， 一定能使 21 21 yy xx 0 成立的是（ ） Ay3x1（x0） Byx2+2x1（x0） Cy 3 x （x0） Dyx24x1（x
19、0） 【答案】D 【解答】解：A.k30 y 随 x 的增大而增大，即当 x1x2时，必有 y1y2 当 x0 时， 21 21 yy xx 0， 故 A 选项不符合； B.对称轴为直线 x1， 9 当 0 x1 时 y 随 x 的增大而增大，当 x1 时 y 随 x 的增大而减小， 当 0 x1 时：当 x1x2时，必有 y1y2 此时 21 21 yy xx 0， 故 B 选项不符合； C.当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， 即当 x1x2时，必有 y1y2 此时 21 21 yy xx 0， 故 C 选项不符合； D.对称轴为直线 x2， 当 x0 时 y 随 x 的增大而减小，
20、即当 x1x2时，必有 y1y2 此时 21 21 yy xx 0， 故 D 选项符合； 故选：D 5. （2019江苏连云港3 分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中C120 若新 建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A18m2 B18 3m2 C24 3m2 D 45 3 2 m2 【答案】C 【解答】解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CDAEx，DCECEB90 ， 10 则BCEBCDDCE30 ，BC12x， 在 RtCBE 中，CEB90 ， BE 1 2 BC6 1 2 x
21、， ADCE3BE63 3 2 x，ABAE+BEx+6 1 2 x 1 2 x+6， 梯形 ABCD 面积 S 1 2 （CD+AB）CE 1 2 （x+ 1 2 x+6）（63 3 2 x） 3 3 8 x2+33x+183 3 3 88 （x4）2+243， 当 x4 时，S最大243 即 CD 长为 4m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 243m2； 故选：C 6. （2019甘肃武威4 分）将二次函数 yx24x+5 化成 ya（xh）2+k 的形式为 y（x2）2+1 【答案】y（x2）2+1 【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1， 所以，y（x2）2
22、+1 故答案为：y（x2）2+1 7. （2019湖北天门3 分）矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是 100 【答案】100 【解答】解：设矩形的宽为 x，则长为（20 x） ， Sx（20 x）x2+20 x（x10）2+100， 当 x10 时，S 最大值为 100 故答案为 100 11 8. （2019四川省凉山州5 分）当 0 x3 时，直线 ya 与抛物线 y（x1）23 有交点，则 a 的取值范围 是 3a1 【答案】3a1 【解答】解： 法一：ya 与抛物线 y（x1）23 有交点 则有 a（x1）23，整理得 x22x2a0 b24ac4+4（2+a）0 解得 a3
23、， 0 x3，对称轴 x1 y（31）231 a1 法二：由题意可知， 抛物线的 顶点为（1，3） ，而 0 x3 抛物线 y 的取值为3y1 ya，则直线 y 与 x 轴平行， 要使直线 ya 与抛物线 y（x1）23 有交点， 抛物线 y 的取值为3y1，即为 a 的取值范围， 3a1，故答案为：3a1 9. 在平面直角坐标系中，抛物线 yx2的图象如图所示已知 A 点坐标为（1，1） ，过点 A 作 AA1x 轴交 抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2OA 交抛物线于点 A2，过点 A2作 A2A3x 轴交抛物线于点 A3，过点 A3作 A3A4OA 交抛物线于点 A4，依次进行下去
24、，则点 A2019的坐标为 （1010，10102） 【答案】 （1010，10102） 12 【解答】解：A 点坐标为（1，1） ， 直线 OA 为 yx，A1（1，1） ， A1A2OA， 直线 A1A2为 yx+2， 解 2 2yx yx 得 1 1 x y 或 2 4 x y ， A2（2，4） ， A3（2，4） ， A3A4OA， 直线 A3A4为 yx+6， 解 2 6yx yx 得 2 4 x y 或 3 9 x y ， A4（3，9） ， A5（3，9） ， A2019（1010，10102） ， 故答案为（1010，10102） 10. （2019湖北省鄂州市10 分）“互
25、联网+”时代上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其成本 为每条 40 元，当售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据 市场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为 x 元（x 为正整数） ，每月 的销售量为 y 条 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2） 设该网店每月获得的利润为 w 元， 当销售单价降低多少元时， 每月获得的利润最大， 最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不 低于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该
26、如何确定休闲裤的销售单价？ 【答案】 （1）y5x+500； （2）当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元； （3）当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 【解答】解： （1）由题意可得：y100+5（80 x）整理得 y5x+500； 13 （2）由题意，得： w（x40） （5x+500） 5x2+700 x20000 5（x70）2+4500 a50w 有最大值 即当 x70 时，w最大值4500 应降价 807010（元） 答：当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元； （3）由题意，得： 5（x70）2+45004220+200
27、解之，得：x166，x2 74， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x70， 当 66x74 时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故 x66 当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 11. （2019湖北省咸宁市12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，
28、当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直 接写出所有符合条件的 E 点的坐标 14 【答案】 （1） （2）点 D 的坐标为（2，3） （3）E 点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或 （） 【解答】解： （1）在中，令 y0，得 x4，令 x0，得 y2 A（4，0） ，B（0，2） 把 A（4，0） ，B（0，2） ，代入，得 ，解得 抛物线得解析式为 （2）如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F BEx 轴，BACABE ABD2BAC，ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为（x，） ，则 BFx，DF tanDBE，tanBAC ，即 15 解得 x10（舍去） ，x22 当 x2 时，3 点 D 的坐标为（2，3） （3） 当 BO 为边时，OBEF，OBEF 设 E（m，） ，F（m，） EF|（）（）|2 解得 m12， 当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB，直线 OF交抛物线于点 F（）和（） 求得直线 EF 解析式为或 直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为或 E 点的坐标为 （2， 1） 或 （，） 或 （） 或 （） 或 （）
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