第12讲 二次函数(教师版)备战2020年中考考点讲练案
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1、 1 第 12 讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念 2会用描点法画二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质 3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并会求解二次函数的最值问题 4熟练掌握二次函数解析式的求法,并能用它解决有关的实际问题 5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数 2 yaxbxc,配方为 2 2 4 24 bacb ya x aa ,顶点坐标是( 2 b a , 2 4 4 acb a ),对称 轴是a 2 b a ,与y轴交点坐标是(0,c),与x轴交点的横坐标是 2 0axbxc的根,当a0时,抛物线开
2、 口向上,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a0时,抛物线开 口向下,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小 2. 解答有关二次函数图象问题时,要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点,解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发,通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系, 再结合对称轴 x a b 2 ,确定 a、b 之间等量关系,判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b24ac 3. 抛物线的平移遵循“左加右减,上加下减”的原则,具体为: (1)上下平移:抛物线 y=a(xh)2
3、+k 向上平移 m(m0)个单位,所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+k+m; 抛物线 y=a(xh)2+k 向下平移 m(m0)个单位,所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+km (2)左右平移:抛物线 y=a(xh)2+k 向左平移 n(n0)个单位,所得抛物线的解析式为 y=a(xh+n)2+k; 抛物线 y=a(xh)2+k 向右平移 n(n0)个单位,所得的抛物线的解析式为 y=a(xhn)2+k. 特别地,要 注意其中的符号处理 【解题策略】 1. (1)二次函数y 2 axbxc(0)的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系: , , 的代数式 决定图象特征 说明
4、 决定抛物线的开口方向 0 开口向上 0 开口向下 决定抛物线与y轴交点 0 与y轴交点在轴上方 2 的位置,交点坐标为 (0, ) 0 抛物线过原点 0 与y轴交点在轴下方 2 b a 决定对称轴的位置,对 称轴为直线 2 b a ab0 对称轴在y轴左侧 ab0 对称轴在y轴右侧 0 对称轴是y轴 2 4bac 决定抛物线与轴交点的 个数 2 4bac0 与轴有两个交点 2 4bac0 与轴有一个交点 2 4bac0 与轴没有交点 (2)二次函数y 2 axbxc(0)的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程 2 axbxc0(0) 的两个根 2. 在探讨动态问题时,首先要对运动过程做一
5、个全面、全程的答案,弄清楚运动过程中的变量和常量,其 次,要分清运动过程中不同的位置关系,找到相邻两种状态的分界点,例如这道题的分界点是 x=2,根据不 同的情况分类讨论,画出图形,然后把图中的线段用含有运动时间 t 或者自变量 x 的代数式表示出来,然后 考虑构建方程、不等式或函数关系式; 3. 解答有关二次函数图象问题时,要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点,解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发,通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系, 再结合对称轴 x a b 2 ,确定 a、b 之间等量关系,判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b
6、24ac 4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种: (1)把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等,把各点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性 进行比较大小; (2)当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时,可先求出相应点的纵坐标,然后比较大小; (3)利用“开口向上,抛物线上的点距离对称轴越近,点的纵坐标越小,开口向下,抛物线上的点距离对 称轴越近,点的纵坐标越大”也可以比较大小. 【典例精析】 类型一:二次函数的图象及性质 【例 1】( 2019 甘肃省兰州市) (5 分)已知,点 A(1,y1) ,B(2,y2)在抛物线 y(x+1)2 +2 上, 则下列结论正
7、确的是( ) A. 2 y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 【答案】A 3 【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下,对称轴为直线 x1,顶点坐标(1,2 ) ,根据函数 增减性可以得到,当 x1 时,y 随 x 的增大而减小.因为11 y1 y2 .故选 A. 【点评】比较两个二次函数值大小的方法: (1)直接代入自变量求值法;(2)当自变量在对称轴两侧时,看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断; (3)当自变量在对称轴同侧时,根据函数值的增减性判断 类型二:利用二次函数图象判断 a,b,c 的符号 【例 2】(2019,四川成都,3 分)如图,
8、二次函数cbxaxy 2 的图象经过点 A(1,0) ,B(5,0) ,下 列说法正确的是( ) A.0c B.04 2 acb C.0cba D.图象的对称轴是直线3x 【答案】D 【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。A 选项中,C 表示的是二 次函数cbxax 2 y 与 x 轴的交点,由图象可知图象与 y 轴交点位于 y 轴正半轴,故 c0. B 选项中,表 示,函数图象与 x 轴有两个交点,所以0,即。C 选项中,令 x 曲-1,可得 y=abc,即 x=1 时函 数的取值。观察图象可知 x1 时 y0,所以 abc0. 最后 D 选项中,根据图象与 x 轴交点可知,
9、对 称轴是(1,0).(5,0)两点的中垂线, 2 51 x,x3 即为函数对称轴。故选 D。 类型三:二次函数图象的平移 【例 3】 (2019黑龙江哈尔滨3 分)将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所 得到的抛物线为( ) Ay2(x+2)2+3 By2(x2)2+3 Cy2(x2)23 Dy2(x+2)23 【答案】B 【解答】解:将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,得到的抛物线的解析式 4 为 y2(x2)2+3, 故选:B 类型四:确定二次函数的解析式 【例 4】.(2019,山西,3 分)北中环桥是省城太原的一
10、座跨汾河大桥(如图 1) ,它由五个高度不同,跨径 也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图 2 所示,此钢拱(近似看成二次函数 的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两点,拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米) , 跨径为 90 米 (即 AB=90 米) , 以最高点 O 为坐标原点, 以平行于 AB 的直线为x轴 简历平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( ) A. 2 675 26 xy B. 2 675 26 xy C. 2 1350 13 xy D. 2 1350 13 xy 图 1 图 2 【答案】
11、B 【解析】设抛物线的解析式为, 2 axy 将)78,45(B代入得: 675 26 ,4578 2 aa 抛物线解析式为: 2 675 26 xy,故选 B 类型五:二次函数的实际应用 【例 5】 (2019贵州毕节 12 分)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康, 某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋 的销售价 x(元)与该士特产的日销售量 y(袋)之间的关系如表: x(元) 15 20 30 y(袋) 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,试求: (1)日销售量 y(袋)与销售价
12、 x(元)的函数关系式; (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 多少元?每日销售的最大利润是多少元? 5 【答案】 (1)yx+40 (2)当 x2 时,w 取得最大值,最大值为 225 【解答】解: (1)依题意,根据表格的数据,设日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为 ykx+b 得 ,解得 故日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为:yx+40 (2)依题意,设利润为 w 元,得 w(x10) (x+40)x2+50 x+400 整理得 w(x25)2+225 10 当 x2 时,w 取得最大值,最大值为 2
13、25 故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 25 元,每日销售的最大利润是 225 元 类型六:二次函数与几何图形的综合应用 【例 6】 (2019山东省滨州市 14 分)如图,抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B, C,将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 ,所得直线与 x 轴交于点 D (1)求直线 AD 的函数解析式; (2)如图,若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时,求点 P 的坐标和最大距离; 当点 P 到直线 AD 的距离为时,求 sinPAD 的值 【答案】 (1)yx+4; (2
14、)点 P 的坐标是(6,) ,最大距离是; ,sinPAD 的值是或 6 【解答】解: (1)当 x0 时,y4,则点 A 的坐标为(0,4) , 当 y0 时,0 x2+x+4,解得,x14,x28,则点 B 的坐标为(4,0) ,点 C 的坐标为(8,0) , OAOB4, OBAOAB45 , 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 得到直线 AD, BAD90 , OAD45 , ODA45 , OAOD, 点 D 的坐标为(4,0) , 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b, ,得, 即直线 AD 的函数解析式为 yx+4; (2)作 PNx 轴交直线 AD 于点 N,如右图所
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