1、 第 1 页 / 共 16 页 第第 42 讲：空间几何体的表面积与体积讲：空间几何体的表面积与体积 一、课程标准 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结构 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 空间几何体 (1)多面体 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面所围成的几何体叫棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱 底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱 棱锥： 有一个面是多边形， 其
2、余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些所围成的几何体叫棱锥 如 果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥底面与截面之间的部分，叫棱台棱台的各侧棱延 长后交于一点 (2)旋转体 旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 旋转体：封闭的旋转面围成的几何体 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱不 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成
3、的曲面所围成的几何体叫 做圆锥 圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体叫做圆台(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥底面与截面之间的部分，叫做圆台) 圆台的母线延长后交于一点 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球经过 球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离 2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积 第 2 页 / 共 16 页 面积 体积 圆柱 S侧2rh VShr2h 圆锥 S侧rl V 1 3Sh 1 3r 2h1 3r 2 l2r2 圆台 S侧(r1r2)l V 1 3(S上S下 S上S下)h
4、 1 3(r 2 1r 2 2r1r2)h 直棱柱 S侧Ch VSh 续表 面积 体积 正棱锥 S侧 1 2Ch V 1 3Sh 正棱台 S侧 1 2(CC)h V 1 3(S上S下 S上S下)h 球 S球面4R2 V 4 3R 3 3. 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之 和 三、自主热身、归纳总结 1、已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 3 2 cm 【答案】B 【解析
5、】 S表r2rlr2r 2r3r212， r24，r2. 故选 B. 2、 正四棱锥底面正方形的边长为 4，高与斜高的夹角为 30 ，则该四棱锥的侧面积( ) A. 32 B. 48 C. 64 D. 32 3 第 3 页 / 共 16 页 【答案】 A 【解析】 如图，正四棱锥的高 PO，斜高 PE，底面边心距 OE 组成直角三角形 POE. 因为 OE2cm，OPE 30 ，所以斜高 PE OE sin304，所以 S正棱锥侧 1 2 4 4 432.故选 A. 3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的 半径为( ) A. 6
6、B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r.由 S(r3r) 384， 解得 r7. 故选 B. 4、 如图， 在正三棱柱ABCA1B1C1中， 已知ABAA13， 点P在棱CC1上， 则三棱锥PABA1的体积为_ 【答案】 9 3 4 【解析】 因为 SABA1 1 2 3 3 9 2，点 P 到平面 ABA1的距离 h 为ABC 的高 3 3 2 ，所以三棱锥 PABA1的 体积 V 1 3 SABA1 h 9 3 4 . 5、 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若各棱长均为 2，且 M 为 A1C1的中点，则三棱锥 MAB1
7、C 的体积为 _ 【答案】 2 3 3 【解析】 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，则 AA1B1M.因为 B1M 是正三角形 A1B1C1的 第 4 页 / 共 16 页 中线，所以 B1MA1C1.因为 A1C1AA1A1，所以 B1M平面 ACC1A1，则 VMAB1CVB1ACM1 3 1 2 AC AA1 B1M 1 3 1 2 2 2 3 2 3 3 . 四、例题选讲 考点一 空间几何体的的表面积 例 1、（南京师大附中 2020 届高三模拟）在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2.将 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形
8、成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A4 B.(4 2) C6 D(5 2) 【答案】D 【解析】在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1，高为 BC2 的圆柱减去一个底面半径为 AB1， 高为 BCAD211 的圆锥的组合体， 几何体的表面积 S12212 1 221 1 212 (5 2). 变式1、 (1)正六棱柱的底面边长为4， 高为 6， 则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为_ (2)已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表
9、面积为_ 【答案】 （1）100（2）6 【解析】 (1)依题意， 该正六棱柱的外接球的球心应是上、 下底面中心连线的中点， 其半径等于42 6 2 2 5，其表面积等于 4 25100. (2)该圆柱的侧面积为 2 1 24，一个底面圆的面积是 ，该圆柱的表面积为 426. 变式 2、(1)(2019 四川泸州一诊)在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A(5 2) B(4 2) C(52 2) D.(3 2) 第 5 页 / 共 16 页 (2)(2020 河南周口模拟)如图
10、，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA1底面 ABC，ABBC，AA1AC2，直 线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30 ，则该三棱柱的侧面积为( ) A44 2 B44 3 C12 D.84 2 【答案】 (1)A (2)A 【解析】 (1)在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1，高为 BC2 的圆柱挖去一个底面 半径为 AB1，高为 BCAD211 的圆锥，该几何体的表面积 S 122 1 2 1 1212(5 2).故选 A. (2)连接 A1B.因
11、为 AA1底面 ABC，则 AA1BC，又 ABBC，AA1ABA，所以 BC平面 AA1B1B，所以 直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为CA1B30 .又 AA1AC2，所以 A1C2 2，BC 2.又 ABBC， 则 AB 2，则该三棱柱的侧面积为 2 2 22 244 2. 变式 3、 （1） （江苏省南通市西亭高级中学 2019- 2020 学年高三下学期学情调研）若圆柱的底面直径和高都 与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为 1 S、 2, S则有 12 :SS （2） （江苏省南通市海安高级中学 2019- 2020 学年高三下学期阶段考试）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底
12、面 半径为 1，高为 4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_. 【答案】 （1）3:2（2）4 【解析】 （1）设球的直径为 2R，则 22 12 :(222 ):43:2.SSRRRR （2）由题意知,圆锥的体积为 2 14 14 33 .设球的半径为r 第 6 页 / 共 16 页 则 3 44 33 r,解得1r .所以表面积为 2 44r. 故答案为:4. 方法总结：几何体的表面积的求法 (1) 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的 主要出发点 (2) 求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，
13、先求这些柱、锥、台 体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积 考点二 空间几何体的体积 例2 (1)直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2， E为棱CC1的中点， 则三棱锥A1B1C1E的体积为_ (2)在ABC 中，AB2，BC1.5，ABC120 (如图所示)，若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则形 成的旋转体的体积是( ) A. 9 2 B. 7 2 C. 5 2 D. 3 2 （3） (2019 江苏南通联考)已知正三棱柱ABC- A1B1C1的各棱长均为2， 点D在棱AA1上， 则三棱锥D- BB1C1 的体积为_ 【解析】 （1） 3 3 （2）D （3） 2 3 3
14、【解析】 (1)由题意得 SA1B1C1 1 2 2 3 3，又E 为棱 CC1的中点，EC11， V三棱锥A1B1C1EV 三棱锥EA1B1C1 1 3EC1 SA1B1C1 3 3. 第 7 页 / 共 16 页 (2)依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OAAB cos 30 2 3 2 3，旋 转体的体积为 1 3 ( 3) 2 (OCOB)3 2.故选 D. （3）如图，取 BC 中点 O，连接 AO.正三棱柱 ABC- A1B1C1的各棱长均为 2，AC2，OC1，则 AO 3. AA1平面 BCC1B1，点 D 到平面 BCC1B1的距离为 3. 又 SBB1
15、C1 1 2 2 22，VD- BB1C1 1 3 2 3 2 3 3 . 变式 1、 （1） （江苏省南通市海安高级中学 2019- 2020 学年高三阶段测试）如图正四棱柱 1111 ABCDABC D 的体积为 27，点 E，F 分别为棱 11 ,B B CC上的点（异于端点）且/EFBC，则四棱锥 1 AAEFD的体积 为_. （2）（江苏省南通市海安高级中学2019- 2020学年高三9月月考） 已知长方体 1111 ABCDABC D的体积为72， 则三棱锥 1 ABCD的体积为_. 【答案】 （1）9 （2）12 【解析】 （1）连接DE， 第 8 页 / 共 16 页 正四棱柱
16、 1111 ABCDABC D的体积为 27， 点 E，F 分别为棱 11 ,B B CC上的点（异于端点） ，且/EFBC， 11 AAEDAFED VV ， 111111 11 1119 3662 AAEDE A ADA ADA ADDABCD AC D VVSABSABV ， 四棱锥 1 AAEFD的体积 1 9 AAEFD V 故答案为：9 （2）设长方体 1111 ABCDABC D的底面积为S，高为h， 则长方体 1111 ABCDABC D的体积为72Sh， 由题意可知，三棱锥 1 ABCD的底面积为 1 2 S，高为h， 因此，三棱锥 1 ABCD的体积为 1 1111 721
17、2 3266 ABCD VShSh ，故答案为12. 方法总结：本题考查空间几何体的体积运算应注意：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几 何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不 规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 考点三 与球有关的切、接问题 例 1、 （2017 江苏高考）如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆 柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2 ，则 V1 V2的值是_ (2)已知四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形
18、，所有侧棱长相等且等于 2a，若其外接球的半径 为 R，则 a R_ 第 9 页 / 共 16 页 【答案】 （1） 3 2. （2） 14 4 . 【解析】 (1)设球 O 的半径为 R， 球 O 与圆柱 O1O2的上、 下底面及母线均相切， 圆柱的底面半径为 R、 高为 2R， V1 V2 R2 2R 4 3R 3 3 2. (2)如图，设四棱锥的外接球的球心为 E，半径为 R，则 OBOC 2 2a，PO 14 2 a， R2 2 2a 2 14a 2 R 2 ，解得 R 4 14 a， a R a 4 14a 14 4 . 变式 1、（甘肃兰州一中 2019 届高三调研）把一个皮球放入
19、如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的 四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( ) A10 3 cm B.10 cm C10 2 cm D30 cm 【答案】B 【解析】依题意，在四棱锥 S- ABCD 中，所有棱长均为 20 cm，连接 AC，BD 交于点 O，连接 SO，则 SO AOBOCODO10 2 cm， 易知点 O 到 AB， BC， CD， AD 的距离均为 10 cm， 在等腰三角形 OAS 中， AOSO10 2 cm，SA20 cm，所以 O 到 SA 的距离 d10 cm，同理可证 O 到 SB，SC，SD 的
20、距离也为 10 cm，所以球心为四棱锥底面 ABCD 的中心 O，所以皮球的半径 r10 cm. 变式 2、（陕西工业大学附中 2019 届高三模拟）(1)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下 第 10 页 / 共 16 页 底面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 V1 V2的值是_ (2)已知正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 3，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 _ 【答案】(1) 3 2 (2) 21 【解析】(1)设圆柱内切球的半径为 R， 则由题设可得圆柱 O1O2的底面圆的半径为 R，高为 2R， 故 V1 V
21、2 R2 2R 4 3R 3 3 2. (2)如图，过点 P 作 PD平面 ABC 于点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E，连接 PE， ABC 是正三角形， AE 是 BC 边上的高和中线，D 为ABC 的中心 AB2 3，SABC3 3，DE1，PE 2. S表3 1 2 2 3 23 33 63 3. PD1，三棱锥的体积 V 1 3 3 3 1 3. 设球的半径为 r，以球心 O 为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥， 则 r 3 3 3 63 3 21. 变式 3、 （1）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4
22、，ABAC， AA112，则球 O 的半径为( ) A. 3 17 2 B. 2 10 C. 13 2 D. 3 10 （2）已知 A，B，C 是球 O 的球面上三点，且 ABAC3，BC3 3，D 为该球面上的动点，球心 O 到 第 11 页 / 共 16 页 平面 ABC 的距离为球半径的一半，求三棱锥 DABC 体积的最大值 【答案】 （1）C （2） 27 4. 【解析】 （1） 如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM 1 2BC 1 2 3 2425 2， OM 1 2AA16，所以球 O 的半径 ROA 5 2 2 62 13 2. （2） 如图，
23、在ABC 中，因为 ABAC3，BC3 3， 所以由余弦定理可得 cosA 3232（3 3）2 2 3 3 1 2， 所以 sinA 3 2. 设ABC 外接圆 O的半径为 r， 则 3 3 3 2 2r，解得 r3. 设球的半径为 R，连结 OO，BO，OB，则 R2 R 2 2 32，解得 R2 3. 由图可知，当点 D 到平面 ABC 的距离为 3 2R 时，三棱锥 DABC 的体积最大 因为 SABC 1 2 3 3 3 2 9 3 4 ， 所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 1 3 9 3 4 3 3 27 4. 方法总结：解决与球相关的切、接问题的解题要领：(1)球的内切问题主
24、要是指球内切多面体与旋转体，解 答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对 角面来作(2)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的 特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 五、优化提升与真题演练 第 12 页 / 共 16 页 1、 （2020 年全国 1 卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四 棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正 方形的边长的比值为（ ） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D.
25、 51 2 【答案】C 【解析】如图，设,CDa PEb，则 2 222 4 a POPEOEb ， 由题意 2 1 2 POab，即 2 2 1 42 a bab，化简得 2 4( )210 bb aa ， 解得 15 4 b a （负值舍去）. 故选：C. 2、 （2020 年全国 1 卷）已知, ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外接圆，若 1 O的面积 为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 【答案】A 【解析】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意， 第 13 页 / 共 16 页 得 2 4 ,2
26、rr ，ABC为等边三角形， 由正弦定理可得2 sin602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据球的截面性质 1 OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr， 球O的表面积 2 464SR . 故选：A 3、 （2020 年全国 2 卷）.已知ABC是面积为 9 3 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O的球面上.若球 O的表 面积为 16，则 O到平面 ABC的距离为（ ） A. 3 B. 3 2 C. 1 D. 3 2 【答案】C 【解析】 设球O的半径为R，则 2 416R，解得：2R . 设ABC外接圆半径为r，边长为a， ABC是面积为 9 3
27、 4 的等边三角形， 2 139 3 224 a，解得：3a ， 2 2 229 93 3434 a ra ， 第 14 页 / 共 16 页 球心O到平面ABC的距离 22 4 31dRr . 故选：C. 4、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试） 如图， 在体积为 V 的圆柱 12 OO中， 以线段 12 OO上的点 O 为项点， 上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 1 V， 2 V，则 12 VV V 的值是_. 【答案】 1 3 【解析】由题得， 121 121212 1111 3333 OOO VVSOOSOOSOOV，得 12 1 3 VV V . 故答案为： 1 3 5、
28、（江苏省南通市、泰州市 2019- 2020 学年高三上学期期末）在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1AB2 ， 则三枝锥 A1 BB1C1 的体积为_. 【答案】 2 3 3 【解析】因为正三棱柱 111 ABCABC,则 1 BB 底面 111 ABC, 111 A B C 是等边三角形 又因为 1 2AAAB,则三棱柱各棱长均为 2, 则 11 11 1 1 2 112 3 2sin602 323 ABBCB A BC VV , 故答案为： 2 3 3 6、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）现有一个半径为3cm的实心铁球，将其高温 融化后铸成一个底面圆半
29、径为3cm的圆柱状实心铁器（不计损耗） ，则该圆柱铁器的高为_cm. 【答案】4. 【解析】根据题意V球V圆锥，设圆柱铁器的高为h( )cm 第 15 页 / 共 16 页 整理得 32 4 33 3 h， 解得4h. 故答案为：4. 7、（2019 年高考天津卷）已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面 的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _ 【答案】 4 【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高 为5 12 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底
30、面的圆心为四棱锥底面的中心， 故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为 1 2 ，故圆柱的体积为 2 1 1 24 . 8、 （2019 年高考江苏卷） 如图， 长方体 1111 ABCDABC D的体积是 120， E 为 1 CC的中点， 则三棱锥 EBCD 的体积是 . 【答案】10 【解析】因为长方体 1111 ABCDABC D的体积为 120，所以 1 120AB BC CC， 因为E为 1 CC的中点，所以 1 1 2 CECC， 由长方体的性质知 1 CC 底面ABCD， 所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高， 所以三棱锥EBCD的体积 11 32 VAB BC CE 1 111
31、1 12010 32212 AB BCCC. 9、(2018 全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 7 8，SA 与圆锥底面所成角为 45 ， 第 16 页 / 共 16 页 若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】40 2 【解析】如图，SA 与底面成 45 角， SAO 为等腰直角三角形 设 OAr，则 SOr，SASB 2r. 在SAB 中，cos ASB 7 8， sin ASB 15 8 ， SSAB 1 2SA SB sin ASB 1 2 ( 2r) 2 15 8 5 15， 解得 r2 10， SA 2r4 5，即母线长 l4 5， S圆锥侧rl2 10 4 540 2.
浙公网安备33030202001339号