第42讲 空间几何体的表面积与体积(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 16 页 第第 42 讲:空间几何体的表面积与体积讲:空间几何体的表面积与体积 一、课程标准 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,并能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结构 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 空间几何体 (1)多面体 棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由 这些面所围成的几何体叫棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱 底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱 棱锥: 有一个面是多边形, 其
2、余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些所围成的几何体叫棱锥 如 果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥底面与截面之间的部分,叫棱台棱台的各侧棱延 长后交于一点 (2)旋转体 旋转面:一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 旋转体:封闭的旋转面围成的几何体 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱不 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做母线 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成
3、的曲面所围成的几何体叫 做圆锥 圆台:以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体叫做圆台(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥底面与截面之间的部分,叫做圆台) 圆台的母线延长后交于一点 球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体,简称球经过 球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离 2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积 第 2 页 / 共 16 页 面积 体积 圆柱 S侧2rh VShr2h 圆锥 S侧rl V 1 3Sh 1 3r 2h1 3r 2 l2r2 圆台 S侧(r1r2)l V 1 3(S上S下 S上S下)h
4、 1 3(r 2 1r 2 2r1r2)h 直棱柱 S侧Ch VSh 续表 面积 体积 正棱锥 S侧 1 2Ch V 1 3Sh 正棱台 S侧 1 2(CC)h V 1 3(S上S下 S上S下)h 球 S球面4R2 V 4 3R 3 3. 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环;它们的表面积等于侧面积与底面面积之 和 三、自主热身、归纳总结 1、已知圆锥的表面积等于 12 cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 3 2 cm 【答案】B 【解析
5、】 S表r2rlr2r 2r3r212, r24,r2. 故选 B. 2、 正四棱锥底面正方形的边长为 4,高与斜高的夹角为 30 ,则该四棱锥的侧面积( ) A. 32 B. 48 C. 64 D. 32 3 第 3 页 / 共 16 页 【答案】 A 【解析】 如图,正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成直角三角形 POE. 因为 OE2cm,OPE 30 ,所以斜高 PE OE sin304,所以 S正棱锥侧 1 2 4 4 432.故选 A. 3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84,则圆台较小底面的 半径为( ) A. 6
6、B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 设圆台较小底面半径为 r,则另一底面半径为 3r.由 S(r3r) 384, 解得 r7. 故选 B. 4、 如图, 在正三棱柱ABCA1B1C1中, 已知ABAA13, 点P在棱CC1上, 则三棱锥PABA1的体积为_ 【答案】 9 3 4 【解析】 因为 SABA1 1 2 3 3 9 2,点 P 到平面 ABA1的距离 h 为ABC 的高 3 3 2 ,所以三棱锥 PABA1的 体积 V 1 3 SABA1 h 9 3 4 . 5、 如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,若各棱长均为 2,且 M 为 A1C1的中点,则三棱锥 MAB1
7、C 的体积为 _ 【答案】 2 3 3 【解析】 在正三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1平面 A1B1C1,则 AA1B1M.因为 B1M 是正三角形 A1B1C1的 第 4 页 / 共 16 页 中线,所以 B1MA1C1.因为 A1C1AA1A1,所以 B1M平面 ACC1A1,则 VMAB1CVB1ACM1 3 1 2 AC AA1 B1M 1 3 1 2 2 2 3 2 3 3 . 四、例题选讲 考点一 空间几何体的的表面积 例 1、(南京师大附中 2020 届高三模拟)在梯形 ABCD 中,ABC 2,ADBC,BC2AD2AB2.将 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形
8、成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A4 B.(4 2) C6 D(5 2) 【答案】D 【解析】在梯形 ABCD 中,ABC 2,ADBC,BC2AD2AB2,将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1,高为 BC2 的圆柱减去一个底面半径为 AB1, 高为 BCAD211 的圆锥的组合体, 几何体的表面积 S12212 1 221 1 212 (5 2). 变式1、 (1)正六棱柱的底面边长为4, 高为 6, 则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为_ (2)已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表
9、面积为_ 【答案】 (1)100(2)6 【解析】 (1)依题意, 该正六棱柱的外接球的球心应是上、 下底面中心连线的中点, 其半径等于42 6 2 2 5,其表面积等于 4 25100. (2)该圆柱的侧面积为 2 1 24,一个底面圆的面积是 ,该圆柱的表面积为 426. 变式 2、(1)(2019 四川泸州一诊)在梯形 ABCD 中,ABC 2,ADBC,BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A(5 2) B(4 2) C(52 2) D.(3 2) 第 5 页 / 共 16 页 (2)(2020 河南周口模拟)如图
10、,在三棱柱 ABC- A1B1C1中,AA1底面 ABC,ABBC,AA1AC2,直 线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30 ,则该三棱柱的侧面积为( ) A44 2 B44 3 C12 D.84 2 【答案】 (1)A (2)A 【解析】 (1)在梯形 ABCD 中,ABC 2,ADBC,BC2AD2AB2,将梯形 ABCD 绕 AD 所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1,高为 BC2 的圆柱挖去一个底面 半径为 AB1,高为 BCAD211 的圆锥,该几何体的表面积 S 122 1 2 1 1212(5 2).故选 A. (2)连接 A1B.因
11、为 AA1底面 ABC,则 AA1BC,又 ABBC,AA1ABA,所以 BC平面 AA1B1B,所以 直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为CA1B30 .又 AA1AC2,所以 A1C2 2,BC 2.又 ABBC, 则 AB 2,则该三棱柱的侧面积为 2 2 22 244 2. 变式 3、 (1) (江苏省南通市西亭高级中学 2019- 2020 学年高三下学期学情调研)若圆柱的底面直径和高都 与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为 1 S、 2, S则有 12 :SS (2) (江苏省南通市海安高级中学 2019- 2020 学年高三下学期阶段考试)现有一个橡皮泥制作的圆锥,底
12、面 半径为 1,高为 4.若将它制作成一个总体积不变的球,则该球的表面积为_. 【答案】 (1)3:2(2)4 【解析】 (1)设球的直径为 2R,则 22 12 :(222 ):43:2.SSRRRR (2)由题意知,圆锥的体积为 2 14 14 33 .设球的半径为r 第 6 页 / 共 16 页 则 3 44 33 r,解得1r .所以表面积为 2 44r. 故答案为:4. 方法总结:几何体的表面积的求法 (1) 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何的 主要出发点 (2) 求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,
13、先求这些柱、锥、台 体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积 考点二 空间几何体的体积 例2 (1)直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2, E为棱CC1的中点, 则三棱锥A1B1C1E的体积为_ (2)在ABC 中,AB2,BC1.5,ABC120 (如图所示),若将ABC 绕直线 BC 旋转一周,则形 成的旋转体的体积是( ) A. 9 2 B. 7 2 C. 5 2 D. 3 2 (3) (2019 江苏南通联考)已知正三棱柱ABC- A1B1C1的各棱长均为2, 点D在棱AA1上, 则三棱锥D- BB1C1 的体积为_ 【解析】 (1) 3 3 (2)D (3) 2 3 3
14、【解析】 (1)由题意得 SA1B1C1 1 2 2 3 3,又E 为棱 CC1的中点,EC11, V三棱锥A1B1C1EV 三棱锥EA1B1C1 1 3EC1 SA1B1C1 3 3. 第 7 页 / 共 16 页 (2)依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,如图所示,OAAB cos 30 2 3 2 3,旋 转体的体积为 1 3 ( 3) 2 (OCOB)3 2.故选 D. (3)如图,取 BC 中点 O,连接 AO.正三棱柱 ABC- A1B1C1的各棱长均为 2,AC2,OC1,则 AO 3. AA1平面 BCC1B1,点 D 到平面 BCC1B1的距离为 3. 又 SBB1
15、C1 1 2 2 22,VD- BB1C1 1 3 2 3 2 3 3 . 变式 1、 (1) (江苏省南通市海安高级中学 2019- 2020 学年高三阶段测试)如图正四棱柱 1111 ABCDABC D 的体积为 27,点 E,F 分别为棱 11 ,B B CC上的点(异于端点)且/EFBC,则四棱锥 1 AAEFD的体积 为_. (2)(江苏省南通市海安高级中学2019- 2020学年高三9月月考) 已知长方体 1111 ABCDABC D的体积为72, 则三棱锥 1 ABCD的体积为_. 【答案】 (1)9 (2)12 【解析】 (1)连接DE, 第 8 页 / 共 16 页 正四棱柱
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- 第42讲 空间几何体的表面积与体积教师版备战2021年新高考数学微专题讲义 42 空间 几何体 表面积 体积 教师版 备战 2021 高考 数学 专题 讲义
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