1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 39 讲：平面的性质与点线面的位置关系讲：平面的性质与点线面的位置关系 一、课程标准 1、了解平面的基本性质 2、掌握空间两条直线的位置关系 3、会求异面直线所成的角 二、基础知识回顾 1、 平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面) 推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个
2、公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2、 空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)两条异面直线不能确定一个平面 (3)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线. (4)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直 角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围： 0， 2 . (5)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 如果一个角的两边与另一个
3、角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这 两个角互补 第 2 页 / 共 10 页 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等 知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况 (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 3、知识必备 1唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平
4、面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的两个结论 (1)平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线 (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面 三、自主热身、归纳总结 1、下列命题中，真命题的个数为( ) 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面； 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； 若 M，M，l，则 Ml. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、 已知 l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A. 若 l1l2，l2l3，则 l1l3 B. 若 l1l2
5、，l2l3，则 l1l3 C. 若 l1l2l3，则 l1，l2，l3共面 D. 若 l1，l2，l3共点，则 l1，l2，l3共面 3、设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 若 ab，bc，则 ac； 若 ab，bc，则 ac； 若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； 第 3 页 / 共 10 页 若 a平面 ，b平面 ，则 a，b 一定是异面直线 上述命题中正确的命题是_(填序号) 4、 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为_ 5、如图，在三棱锥 A- BCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则 (1)当
6、AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形； (2)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为正方形 6、如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角 的大小为_ 四、例题选讲 考点一 平面的基本性质及应用 例 1 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 变式 1、（华东师范大学附中 2019 届高三模拟）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和
7、AA1的中点.求证： 第 4 页 / 共 10 页 (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点. 变式 2、已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点， 且 CG1 3BC，CH 1 3DC.求证： (1) E、F、G、H 四点共面； (2) 三直线 FH、EG、AC 共点 第 5 页 / 共 10 页 变式 3、 以下四个命题中，正确命题的个数是( ) 不共面的四点中，任意三点不共线； 若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面； 若直线 a，b 共面，直线
8、a，c 共面，则直线 b，c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 方法总结：1证明点或线共面问题的 2 种方法 (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 2证明点共线问题的 2 种方法 (1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上 3证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 考点二 判断空间直线的位置关系 例 2、若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面
9、内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正 确的是( ) Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 变式 1、如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 第 6 页 / 共 10 页 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(填序号) 变式 2、如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别
10、是 BC1，CD1的中点，则下列判断中错误的是 _(填序号) MN 与 CC1垂直； MN 与 AC 垂直； MN 与 BD 平行； MN 与 A1B1平行 变式 3、如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点求证： (1)AM 和 CN 共面； (2)D1B 和 CC1是异面直线 变式 4、已知不共面的三条直线 a，b，c 相交于点 P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD 与 BC 是异面 第 7 页 / 共 10 页 直线 变式 5、（浙江镇海中学 2019 届高三模拟）(1)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l
11、是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与 l1，l2都不相交 B.l 与 l1，l2都相交 C.l 至多与 l1，l2中的一条相交 D.l 至少与 l1，l2中的一条相交 (2)将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD 折起得到空间四面体 ABCD，如图(2)，则在 空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 方法总结：1.异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理， 导出矛盾，从而否定假设，肯定
12、两条直线异面. (2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感 知并认识空间点、线、面的位置关系. 考点三 异面直线所成的角 例 3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) 第 8 页 / 共 10 页 A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 变式 1、（福建双十中学 2019 届高三质检）三棱锥 ABCD 的所有棱长都相等，M，N 分别是棱
13、 AD，BC 的中点，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A.1 3 B. 2 4 C. 3 3 D.2 3 变式 2、 （2020海南模拟）如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2ABAA，E，F分别为AB，BC的 中点，异面直 1 AB与 1 C F所成角的余弦值为m，则( ) A 3 3 m B直线 1 A E与直线 1 C F共面 C 2 3 m D直线 1 A E与直线 1 C F异面 变式 3、已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120 ，AB2，BCCC11，求异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值 变式 4、如图所示，在正方体 ABC
14、DA1B1C1D1中， 第 9 页 / 共 10 页 (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小 方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝 角，则它的补角才是要求的角 五、优化提升与真题演练 1、(2019 全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是 线段
15、 ED 的中点，则( ) 第 10 页 / 共 10 页 ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 2、(2018 全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角 的余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 3、(2018 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切 值为( ) A. 2 2 B. 3 2 C.
16、 5 2 D. 7 2 4、(2017 全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120 ，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1所成角的余弦值为( ) A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 5、(2017 全国卷)a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60 角时，AB 与 b 成 30 角； 当直线 AB 与 a 成 60 角时，AB 与 b 成 60 角； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45 ； 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60 . 其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)
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