1、2020 年年新人教版九年级上册第新人教版九年级上册第 22 章章 二次函数单元测试卷（二次函数单元测试卷（5） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）在下列关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ayx2 Byax2+bx+c Cy8x Dyx2（1+x） 2 （3 分）抛物线 y2x2+1 的对称轴是（ ） A直线 x B直线 x Cy 轴 Dx 轴 3 （3 分）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） Ay4x By4x Cyx4 Dyx2 4 （3 分）若将抛物线 yx2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得
2、抛物线的表达式为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）23 5 （3 分）在直角坐标系中，函数 y3x 与 yx2+1 的图象大致是（ ） A B C D 6 （3 分）当 axa+1 时，函数 yx22x+1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ） A1 B2 C0 或 2 D1 或 2 7 （3 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数） 在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 8 （3 分）下列四个二次函数：yx2，y2x
3、2，y，y3x2，其中抛物线开口从大到小 的排列顺序是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A DC，ABC 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs， APQ 的面积为 ycm2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、点 B（3，0） 、点 C（4，y1） ，若点 D （x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： 二次函数 y
4、ax2+bx+c 的最小值为4a； 若1x24，则 0y25a； 若 y2y1，则 x24； 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根为1 和 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）若 y（m1）x|m|+12x 是二次函数，则 m 12 （4 分）抛物线 y2（x+2）2+4 的顶点坐标为 13 （4 分）已知二次函数 yx2，当 x0 时，y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减小” ） 14 （4 分）二次函数 y2x24x+5 的最大值是 15 （4 分）已知二次函数 yx24x+k
5、 的图象的顶点在 x 轴下方，则实数 k 的取值范围是 16 （4 分）二次函数 yx2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 ybx+c 的图象不经过第 象限 17 （4 分） 如图是抛物线型拱桥， 当拱顶离水面 2m 时， 水面宽 4m， 水面下降 2m， 水面宽度增加 m 18 （4 分）如图，直线 yx+m 和抛物线 yx2+bx+c 都经过点 A（1，0）和 B（3，2） ，不等式 x2+bx+c x+m 的解集为 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，小题，58 分）分） 19 （7 分） 已知， 在同一直角坐标系中， 反比例函数 y与二次函数 yx2+2x+c 的图象交于点 A
6、 （1， m） （1）求 m、c 的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 20 （7 分）已知开口向上的抛物线 yax22x+|a|4 经过点（0，3） （1）确定此抛物线的解析式； （2）当 x 取何值时，y 有最小值，并求出这个最小值 21 （7 分）如图抛物线 yax25ax+4a 与 x 轴相交于点 A、B，且过点 C（5，4） （1）求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标 （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式 22 （8 分）如图，已知点 A（0，2） ，B（2，2） ，C（1，2） ，抛物线 F：yx22mx+m22 与
7、直线 x 2 交于点 P （1）当抛物线 F 经过点 C 时，求它的表达式； （2）设点 P 的纵坐标为 yp，求 yp的最小值，此时抛物线 F 上有两点（x1，y1） ， （x2，y2） ，且 x1x2 2，比较 y1与 y2的大小 23 （9 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线 yx+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 24 （10 分）某文具店购进一批纪念册，每本进
8、价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之 间满足一次函数关系： 当销售单价为 22 元时， 销售量为 36 本； 当销售单价为 24 元时， 销售量为 32 本 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能 使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 25 （10 分）如图，抛物线
9、yax2+2x+c 经过 A，B，C 三点，已知 A（1，0） ，C（0，3） （1）求此抛物线的关系式； （2）设点 P 是线段 BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 BC 于点 D，当BCP 的面积最大时，求点 D 的坐标； （3）点 M 是抛物线上的一动点，当（2）中BCP 的面积最大时，请直接写出使PDM45的点 M 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）在下列关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ayx2 Byax2+bx+c Cy8x Dyx2（1+x）
10、 【分析】根据二次函数的定义：yax2+bx+c（a0a 是常数） ，可得答案 【解答】解：A、yx2是二次函数，故 A 符合题意； B、a0 时是一次函数，故 B 不符合题意， C、y8x 是一次函数，故 C 不符合题意； D、yx2（1+x）不是二次函数，故 D 不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意 a 是不等于零的常数 2 （3 分）抛物线 y2x2+1 的对称轴是（ ） A直线 x B直线 x Cy 轴 Dx 轴 【分析】直接根据二次函数的性质即可得出结论 【解答】解：抛物线 y2x2+1 中一次项系数为 0， 抛物线的对称轴是
11、y 轴 故选：C 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数 yax2+c 的对称轴是 y 轴是解答此题的关键 3 （3 分）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） Ay4x By4x Cyx4 Dyx2 【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到 y 随 x 的增大如何变化，从而可以解答本题 【解答】解：y4x 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 A 不符题意， y4x 中 y 随 x 的增大而减小，故选项 B 符合题意， yx4 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 C 不符题意， yx2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小
12、，故选项 D 不符合题意， 故选：B 【点评】 本题考查二次函数的性质、 一次函数的性质、 正比例函数的性质， 解答本题的关键是明确题意， 利用一次函数和二次函数的性质解答 4 （3 分）若将抛物线 yx2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）23 【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可 【解答】 解： 将抛物线 yx2向右平移 2 个单位可得 y （x2） 2， 再向上平移 3 个单位可得 y （x2） 2+3， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平
13、移规律是解题的关键 5 （3 分）在直角坐标系中，函数 y3x 与 yx2+1 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断 【解答】解：一次函数 y3x 的比例系数 k30， y 随 x 的增大而增大，排除 A、C； 因为二次函数 yx21 的图象的顶点坐标应该为（0，1） ，故可排除 B； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的图象及正比例函数的图象，应该识记一次函数 ykx+b 在不同情况下所 在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 6 （3 分）当 axa+1 时，函数 yx22x+1 的最小值
14、为 1，则 a 的值为（ ） A1 B2 C0 或 2 D1 或 2 【分析】 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y1 时 x 的值， 结合当 axa+1 时函数有最小值 1， 即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：当 y1 时，有 x22x+11， 解得：x10，x22 当 axa+1 时，函数有最小值 1， a2 或 a+10， a2 或 a1， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标 特征找出当 y1 时 x 的值是解题的关键 7 （3 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x
15、 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数） 在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为 yx22x+3，将一元二次方程 x2+bx+3t0 的实数根可 以看做 yx22x+3 与函数 yt 的有交点，再由1x4 的范围确定 y 的取值范围即可求解 【解答】解：yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+3， 一元二次方程 x2+bx+3t0 的实数根可以看做 yx22x+3 与函数 yt 的有交点， 方程在1x4 的范围内有实数根， 当 x1 时，y6； 当 x4 时，y1
16、1； 函数 yx22x+3 在 x1 时有最小值 2； 2t11 故选：A 【点评】 本题考查二次函数的图象及性质； 能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题， 借助数形结合解题是关键 8 （3 分）下列四个二次函数：yx2，y2x2，y，y3x2，其中抛物线开口从大到小 的排列顺序是（ ） A B C D 【分析】二次函数的解析式中 a 的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可 【解答】解：1|2|3， 抛物线开口从大到小的排列顺序是， 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析 式中，a 的绝对值越小，开口方向越
17、大 9 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A DC，ABC 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs， APQ 的面积为 ycm2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论： 0 x2 时，根据 SAPQAQAP，列出函数关系式，从而得到函数图象； 2x4 时，根据 SAPQS正方形ABCDSCPQSABQSAPD列出函数关系式，从而得到函数图 象，再结合四个选项即可得解 【解答】解：当 0 x2 时
18、， 正方形的边长为 2cm， ySAPQAQAPx2； 当 2x4 时， ySAPQ S正方形ABCDSCPQSABQSAPD， 22（4x）22（x2）2（x2） x2+2x 所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项图象符合 故选：A 【点评】 本题考查了动点问题的函数图象， 根据题意， 分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键 10 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、点 B（3，0） 、点 C（4，y1） ，若点 D （x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： 二次函数 yax2+bx+c 的最小
19、值为4a； 若1x24，则 0y25a； 若 y2y1，则 x24； 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根为1 和 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为 yax22ax3a，配成顶点式得 ya（x1）24a，则可对 进行判断；计算 x4 时，ya515a，则根据二次函数的性质可对进行判断；利用对称性和二 次函数的性质可对进行判断；由于 b2a，c3a，则方程 cx2+bx+a0 化为3ax22ax+a0， 然后解方程可对进行判断 【解答】解：抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ， 即 yax22ax3a， ya（x1）24a， 当
20、 x1 时，二次函数有最小值4a，所以正确； 当 x4 时，ya515a， 当1x24，则4ay25a，所以错误； 点 C（4，5a）关于直线 x1 的对称点为（2，5a） ， 当 y2y1，则 x24 或 x2，所以错误； b2a，c3a， 方程 cx2+bx+a0 化为3ax22ax+a0， 整理得 3x2+2x10，解得 x11，x2，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，
21、共 32 分）分） 11 （4 分）若 y（m1）x|m|+12x 是二次函数，则 m 1 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可 【解答】解：由 y（m1）x|m|+12x 是二次函数，得 ， 解得 m1 故答案为：1 【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数 12 （4 分）抛物线 y2（x+2）2+4 的顶点坐标为 （2，4） 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标 【解答】解：y2（x+2）2+4， 该抛物线的顶点坐标是（2，4） ， 故答案为： （2，4） 【点
22、评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标 13 （4 分）已知二次函数 yx2，当 x0 时，y 随 x 的增大而 增大 （填“增大”或“减小” ） 【分析】根据二次函数的二次项系数 a 以及对称轴即可判断出函数的增减性 【解答】解：二次函数 yx2，开口向上，对称轴为 y 轴， 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 故答案为：增大 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质， 解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为 y 轴， 开口向上， 此题难度不大 14 （4 分）二次函数 y2x24x+5 的最大值是 7 【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式
23、进而得出答案 【解答】解：y2x24x+52（x+1）2+7， 即二次函数 yx24x+5 的最大值是 7， 故答案为：7 【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键 15 （4 分）已知二次函数 yx24x+k 的图象的顶点在 x 轴下方，则实数 k 的取值范围是 k4 【分析】先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在 x 轴的下方得出0，求出即可 【解答】解：二次函数 yx24x+k 中 a10，图象的开口向上， 又二次函数 yx24x+k 的图象的顶点在 x 轴下方， （4）241k0， 解得：k4， 故答案为：k4 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛
24、物线与 x 轴的交点，能根据题意得出（4）24 1k0 是解此题的关键 16 （4 分）二次函数 yx2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 ybx+c 的图象不经过第 四 象限 【分析】由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，根据抛物线开口向下得到 a 小于 0，故 b 大 于 0，再利用抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴，得到 c 大于 0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数 ybx+c 不经过的象限 【解答】解：根据图象得：a0，b0，c0， 故一次函数 ybx+c 的图象不经过第四象限 故答案为：四 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系
25、数的关系，熟练掌握一次、二 次函数的图象与性质是解本题的关键 17 （4 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 （4 4） m 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y2 代入抛物线解析式 得出水面宽度，即可得出答案 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图 可得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OAOBAB2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ， 通过以上条件可设顶点式 yax2+2，其中 a 可通
26、过将 A 点坐标（2，0）代入抛物线解析式可得出：a 0.5， 所以抛物线解析式为 y0.5x2+2， 当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y2 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 y2 代入抛物线解析式得出： 20.5x2+2， 解得：x2，所以水面宽度增加到 4米，比原先的宽度当然是增加了（44）米， 故答案为：44 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的 关键 18 （4 分）如图，直线 yx+m 和抛物线 yx2+bx+c 都经过点 A（1，0）和 B（
27、3，2） ，不等式 x2+bx+c x+m 的解集为 x1 或 x3 【分析】根据已知条件和图象找出直线 yx+m 和抛物线 yx2+bx+c 的交点，即可求出不等式 x2+bx+c x+m 的解集 【解答】解：直线 yx+m 和抛物线 yx2+bx+c 都经过点 A（1，0）和 B（3，2） ， 根据图象可知，不等式 x2+bx+cx+m 的解集为 x1 或 x3； 故答案为：x1 或 x3 【点评】 主要考查了二次函数与不等式组， 解题的关键是根据图象找出直线 yx+m 和抛物线 yx2+bx+c 的交点，要具备读图的能力 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，小题，58 分）分） 19
28、 （7 分） 已知， 在同一直角坐标系中， 反比例函数 y与二次函数 yx2+2x+c 的图象交于点 A （1， m） （1）求 m、c 的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 【分析】先通过反比例函数求出 A 值，再把 A 的值代入二次函数中求出二次函数的解析式再化简二次 函数的解析式，就可得到它的对称轴和顶点坐标 【解答】解： （1）点 A 在函数 y的图象上， m5， 点 A 坐标为（1，5） ， 点 A 在二次函数图象上， 12+c5， c2 （2）二次函数的解析式为 yx2+2x2， yx2+2x2（x1）21， 对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，1） 【点评】此题运用了反
29、比例函数和二次函数的有关知识 20 （7 分）已知开口向上的抛物线 yax22x+|a|4 经过点（0，3） （1）确定此抛物线的解析式； （2）当 x 取何值时，y 有最小值，并求出这个最小值 【分析】 （1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出 a 的值，确定出解析式即可； （2）利用二次函数性质求出 y 的最小值，以及此时 x 的值即可 【解答】解： （1）把（0，3）代入抛物线解析式得：|a|43， 解得：a1， 由开口向上，得到 a1， 则抛物线解析式为 yx22x3； （2）抛物线解析式为 yx22x3， 当 x1 时，y 取得最小值，最小值为4 【点评】此题考查了待定系数法求二次函
30、数解析式，以及二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解 本题的关键 21 （7 分）如图抛物线 yax25ax+4a 与 x 轴相交于点 A、B，且过点 C（5，4） （1）求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标 （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式 【分析】抛物线 yax2+bx+c（a0）通过配方，将一般式化为 ya（xh）2+k 的形式，可确定其顶点 坐标为（h，k） ；第二象限点的特点是（，+） 【解答】解： （1）把点 C（5，4）代入抛物线 yax25ax+4a， 得 25a25a+4a4， 解得 a1 该二次函数的解析式为 y
31、x25x+4 yx25x+4（x）2， 顶点坐标为 P（，） （2）如先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 得到的二次函数解析式为 y（x+3）2+4（x+）2+， 即 yx2+x+2 【点评】本题考查抛物线顶点及平移的有关知识 22 （8 分）如图，已知点 A（0，2） ，B（2，2） ，C（1，2） ，抛物线 F：yx22mx+m22 与直线 x 2 交于点 P （1）当抛物线 F 经过点 C 时，求它的表达式； （2）设点 P 的纵坐标为 yp，求 yp的最小值，此时抛物线 F 上有两点（x1，y1） ， （x2，y2） ，且 x1x2 2，比较 y1与 y2的大小 【分析】
32、（1）根据待定系数法即可求得； （2） 把 x2 代入解析式得到 P 点的纵坐标 yP4+4m+m22 （m+2） 22， 即可得到当 m2 时， yP的最小值2，然后根据二次函数的性质即可判断 y1与 y2的大小 【解答】解： （1）抛物线 F 经过点 C（1，2） ， 21+2m+m22， m1， 抛物线 F 的表达式是 yx2+2x1 （2）当 x2 时，yP4+4m+m22（m+2）22， 当 m2 时，yP的最小值2 此时抛物线 F 的表达式是 y（x+2）22， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 x1x22， y1y2 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式， 二次
33、函数的性质， 二次函数图象上点的坐标特征， 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 23 （9 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线 yx+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 【分析】 （1）根据二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点，代入得 出关于 a，b，c 的三元一次方程组，求得 a，b，c，从而得出二次函数的解析式； （
34、2）令 y0，解一元二次方程，求得 x 的值，从而得出与 x 轴的另一个交点坐标； （3）画出图象，再根据图象直接得出答案 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2，0） ，B（0，1）和 C（4，5）三点， ， a，b，c1， 二次函数的解析式为 yx2x1； （2）当 y0 时，得x2x10； 解得 x12，x21， 点 D 坐标为（1，0） ； （3）图象如图， 当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是1x4 【点评】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、 抛物线与 x 轴的交点问题， 是中档题，要熟练掌握 24 （10 分）某
35、文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之 间满足一次函数关系： 当销售单价为 22 元时， 销售量为 36 本； 当销售单价为 24 元时， 销售量为 32 本 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能 使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【分
36、析】 （1）设 ykx+b，根据题意，利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量每本的利润150，进而求出答案； （3）根据题意结合销量每本的利润w，进而利用二次函数增减性求出答案 【解答】解： （1）设 ykx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：， 解得：， 则 y2x+80； （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 x 元， 根据题意得： （x20）y150， 则（x20） （2x+80）150， 整理得：x260 x+8750， （x25） （x35）0， 解得：x125，x235， 20 x28，
37、 x35（不合题意舍去） ， 答：每本纪念册的销售单价是 25 元； （3）由题意可得： w（x20） （2x+80） 2x2+120 x1600 2（x30）2+200， 此时当 x30 时，w 最大， 又售价不低于 20 元且不高于 28 元， x30 时，w 随 x 的增大而增大，即当 x28 时，w最大2（2830）2+200192（元） ， 答：该纪念册销售单价定为 28 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 192 元 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知 识，正确利用销量每本的利润w 得出函数关系式是解题关键
38、 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+2x+c 经过 A，B，C 三点，已知 A（1，0） ，C（0，3） （1）求此抛物线的关系式； （2）设点 P 是线段 BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 BC 于点 D，当BCP 的面积最大时，求点 D 的坐标； （3）点 M 是抛物线上的一动点，当（2）中BCP 的面积最大时，请直接写出使PDM45的点 M 的坐标 【分析】 （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）根据BCP 的面积 SSPDC+SPDBPD（xBxC） ，转化为二次函数最值问题进行求解； （3）分点 M 在点 P 的左侧、点
39、 M 在点 P 的右侧两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； （2）yx2+2x+3，令 y0，则 x1 或 3，故点 B（3，0） ， 故 OBOC3，则直线 BC 与 x 轴的夹角OBC45， 设：直线 BC 的表达式为：ykx+b， 将点 B、C 的坐标代入上式得：，解得：， 故直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 P（x，x2+2x+3） ，则点 D（x，x+3） ， BCP 的面积 SSPDC+SPDBPD（xBxC）（x2+2x+3+x3）3x2+x， 0，故BCP 的面积 S 有最
40、大值，此时 x， 故点 D（，） ； （3）当点 M 在点 P 的左侧时，如下图， 由（2）知OCB45，PDy 轴， 则PDCOCB45，点 C 在抛物线上，故点 M 即为点 C， 故点 M（C）的坐标为： （0，3） ； 当点 M 在点 P 的右侧时，如上图， PDM45，则MDB90， 而直线 BC 与 x 轴的负半轴的夹角为 45，故 MD 与 x 轴的夹角为 45， 故设直线 DM 的表达式为：yx+t， 将点 D 的坐标代入上式得：+t，解得：t0， 故直线 DM 的表达式为：yx， 联立并解得：（舍去负值） ， 故点 M（，） ， 综上点 M 的坐标为： （0，3）或（，） 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形面积的计算等，其中（3） ， 要注意分类求解，避免遗漏
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