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    2019年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)含详细解答

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    2019年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)含详细解答

    1、若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 2 (5 分)已知集合 Ax|log3x1,Bx|0,则( ) AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 3 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的 渐近线上,则 C 的方程是( ) A B C D 4 (5 分)在等比数列an中,a11,8,则 a6的值为( ) A4 B8 C16 D32 5 (5 分)如图,ABC 中,ADAB,BEBC,则( ) A B C D 6 (5 分)设有下列四个命题: p1:若 ab,则 a2b2; p2

    2、:若 x0,则 sinxx; p3: “1”是“yf(x)为奇函数”的充要条件; p4: “等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 第 2 页(共 25 页) 其中,真命题的是( ) Ap1,p3 Bp2,p3 Cp2,p4 Dp3,p4 7(5 分) 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 记为 Nn (MODm) , 例如 251 (MOD6) 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ,若执行该程序框图,当输入 N25 时,则 输出 N( ) A31 B33 C35 D37 8 (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(

    3、) A B7 C11 D14 9 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数,且 f(x), 记 g(x)f(x)a,若a1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是( ) A5 B6 C7 D8 10 (5 分)为推广羽毛球运动的发展,某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现 有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 4 名,其中种子选手 2 第 3 页(共 25 页) 名从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛,设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种 子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ,则 P(A)( ) A B C D 1

    4、1 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y(x1)与 C 交于 A、B(A 在 x 轴上方)两点,若m,则实数 m 的值为( ) A B C2 D3 12 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDBACCB1,则四面体 ABCD 体积的最大值 是( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取 50 名职工作样本, 若采用分层抽样方法,则 4050 岁年龄段应抽取 人 1

    5、4 (5 分)某超市中秋节期间举行有奖销售活动,凡消费金额满 200 元的顾客均获得一次 抽奖的机会,中奖一次即可获得 5 元红包,没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会, 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4, 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和, 则 P(10X15) 15 (5 分)数列an的前 n 项和为 Sn,若 a11,an0,3Snanan+1+1,则 a2019 16 (5 分)已知函数 f(x)x2+2ax,g(x)4a2lnx+b,设两曲线 yf(x) ,yg(x)有 公共点 P,且在 P 点处的切线相同,当 a(0,+)时,实数 b 的最大值是 三、解

    6、答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (12 分)已知函数 f(x)4sinxcos(x) (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 f()1,a2,求ABC 面积的最大值 第 4 页(共 25 页) 18 (12 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,ABCD,E,F 为 AB 的三等分点, 且 EFCD将AED 和BFC 分别沿 DE、CF 折起到 A、B 两点重合,记为点 P (1)证明:平面 PCF平面 PE

    7、F; (2)若 PFFC,求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 19 (12 分)已知椭圆 T:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 ,过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A,B 两点,ABF1的周长为 8 (1)求椭圆 T 的标准方程; (2)已知直线 l1:ykx+m,直线 l2:y2(kx+m) (0m1) 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点,l2与圆 C:x2+y2a2交于 P、Q 两点,求的值 20 (12 分)改革开放以来,我国经济持续高速增长如图给出了我国 2003 年至 2012 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为:

    8、产业差值)的折线图,记产业差 值为 y(单位:万亿元) (1)求出 y 关于年份代码 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2003 年至 2012 年我国产业差值的变化情况,并预 测我国产业差值在哪一年约为 34 万亿元; (3)结合折线图,试求出除去 2007 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差 (结果精确到 0.1) 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:, 样本方差公式:s2(yi)2 第 5 页(共 25 页) 参考数据: yi10.8,(ti) (yi)132,(yi)2211.6 21 (12 分)已知函数 f(x)e2x 3(2x

    9、3)2 (1)证明:当 x时,f(x)1; (2)设 g(x)+1n,若存在实数 x1,x2,使得 f(x1)+(2x13)2g(x2) ,求 x2x1的最小值 (参考公式: (e)e) 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数) ,直线 l2的 参数方程为(m 为参数) 设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,

    10、 设 13: sin () , l3与 C 的交点为 A、B,M 为线段 AB 的中点,求 M 的极径 23已知函数 f(x)|2x+1|+|xa| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若不等式|x2|+|xa|f(x)+m2+m 恒成立,求实数 m 的取值范围 第 6 页(共 25 页) 2019 年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)年山东省德州市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分把正确答案涂在答题卡上分把正确答案涂在答题卡上 1 (5 分

    11、)若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:, 则共轭复数 1+i 故选:A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 2 (5 分)已知集合 Ax|log3x1,Bx|0,则( ) AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 【分析】求出集合 A,B 的等价条件,结合交集和并集的定义进行求解判断即可 【解答】Ax|log3x1x|0x3,Bx|0x|1x2, 则 ABx|0x2,ABx|1x3, 故选:B 【点评】求出集合 A,B

    12、的等价条件,结合集合的基本运算进行求解是解决本题的关键 3 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的 渐近线上,则 C 的方程是( ) A B C D 【分析】利用双曲线 C:1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上,可 第 7 页(共 25 页) 确定几何量之间的关系,由此可求双曲线的标准方程 【解答】解:双曲线 C:1 的渐近线方程为 yx 双曲线 C:1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上 2c10,2ab, c2a2+b2 a25,b220 C 的方程为 故选:C 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几

    13、何性质,正确运用双曲线的几何 性质是关键 4 (5 分)在等比数列an中,a11,8,则 a6的值为( ) A4 B8 C16 D32 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解:设等比数列an的公比为 q,a11,8, 8,解得 q2 则 a62532 故选:D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题 5 (5 分)如图,ABC 中,ADAB,BEBC,则( ) 第 8 页(共 25 页) A B C D 【分析】由平面向量的基本定理得:(), 得解 【解答】解:(), 故选:D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理,属简单题 6

    14、 (5 分)设有下列四个命题: p1:若 ab,则 a2b2; p2:若 x0,则 sinxx; p3: “1”是“yf(x)为奇函数”的充要条件; p4: “等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中,真命题的是( ) Ap1,p3 Bp2,p3 Cp2,p4 Dp3,p4 【分析】根据不等式的性质,结合函数奇偶性的性质,等比数列的性质以及充分条件和 必要条件的定义分别进行点评即可 【解答】解:p1:当 a1,b1 时,满足 ab,则 a2b2;不成立,即命题 p1是假 命题 p2:设 f(x)sinxx,则 f(x)cosx10,即 f(x)是减函数, 若

    15、x0,f(x)f(0)sin000,即 sinxx0,则 sinxx 成立,即命题 p2是真 命题; 若1,则 f(x)f(x) ,即 f(x)f(x) ,函数 f(x)是奇函数, 当 f(x)0,满足 f(x)是奇函数,但1 不成立,即“1”是“y f(x)为奇函数”的充要条件错误;即命题 p3是假命题, p4: “等比数列an中,a1a2a3” 第 9 页(共 25 页) 则 a1qa1q2a1, 若 a10, 则 1qq2, 得 0q1,此时q1,即 anan1,数列为递减数列, a10,则 1qq2, 则 q1,此时q1,即 anan1,数列为递减数列,综上等比数列an是递减数 列,

    16、若等比数列an是递减数列,则 a1a2a3成立, 即等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件,故命题 p4 是真命题; 故真命题是 p2,p4, 故选:C 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及不等式的性质,充分条件和必要条件的定 义以及等比数列的性质,涉及知识点较多,综合性较强,但难度不大 7(5 分) 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 记为 Nn (MODm) , 例如 251 (MOD6) 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ,若执行该程序框图,当输入 N25 时,则 输出 N( ) A31 B33 C35 D37 第 10 页(共 2

    17、5 页) 【分析】该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 1 的数,根据所给的选项,得出 结论 【解答】解:模拟程序的运行,可得 N25, N26 不满足条件 N1(MOD3) ,N27 不满足条件 N1(MOD3) ,N28 满足条件 N1(MOD3) ,不满足条件 N1(MOD5) ,N29 不满足条件 N1(MOD3) ,N30 不满足条件 N1(MOD3) ,N31 满足条件 N1(MOD3) ,满足条件 N1(MOD5) ,输出 N 的值为 31 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答,属于基础题 8 (5 分

    18、)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A B7 C11 D14 【分析】三视图可知该几何体为一个三棱锥,是长方体的一部分,可将该三棱锥补成长 方体,再去求解 【解答】解:由三视图可知该几何体为一个三棱锥,是长方体的一部分, 将此三棱锥补成长方体,易知长方体的体对角线即为外接球直径, 所以 2r,所以 r 所以该几何体外接球的表面积为 411 故选:C 第 11 页(共 25 页) 【点评】本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,转化能力, 将四棱锥补成正方体是关键 9 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数,且 f(x), 记 g

    19、(x)f(x)a,若a1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是( ) A5 B6 C7 D8 【分析】根据函数 f(x)的周期性和解析式,作出函数的图象,利用函数零点与方程之 间的关系转化为两个图象交点个数,利用数形结合进行求解即可 【解答】 解: f (x) 是定义在 R 上周期为 2 的函数, 且 f (x) , 作出是 f(x)在区间2,3上图象如图: 由 g(x)f(x)a,得 f(x)a, a1, 作出 ya 的图象,由图象知两个函数共有 8 个交点, 即 g(x)的零点个数为 8 个, 故选:D 【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用数形结合转化为两个函数图象的交点问 第

    20、 12 页(共 25 页) 题是解决本题的关键 10 (5 分)为推广羽毛球运动的发展,某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现 有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 4 名,其中种子选手 2 名从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛,设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种 子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ,则 P(A)( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n35,事件 A 包含的基本事件个数 m6, 由此能求出事件 A 的概率 【解答】解:现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 4 名, 其中种子

    21、选手 2 名 从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛, 基本事件总数 n35, 设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” , 事件 A 包含的基本事件个数 m6, P(A) 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 11 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y(x1)与 C 交于 A、B(A 在 x 轴上方)两点,若m,则实数 m 的值为( ) A B C2 D3 【分析】由题意画出图形,联立方程组求出 A,B 的坐标,进一步得到|AF|,|BF|的长度, 结合

    22、m把 m 转化为线段的长度比得答案 【解答】解:如图, 第 13 页(共 25 页) 联立,解得, A 在 x 轴上方, 则|AF|xA+14,|BF|, 由m,得 故选:D 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了数形结合的解题思想方法,考查了 数学转化思想方法,是中档题 12 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDBACCB1,则四面体 ABCD 体积的最大值 是( ) A B C D 【分析】由题意画出图形,取 AB 中点 E,连接 CE,DE,设 AB2x(0x1) ,则 CE DE,可知当平面 ABC平面 ABD 时,四面体体积最大,写出体积公式,利 用导数求得体积最值

    23、【解答】解:如图,取 AB 中点 E,连接 CE,DE, 设 AB2x(0x1) ,则 CEDE, 当平面 ABC平面 ABD 时,四面体体积最大, 四面体的体积 V2xxx3 Vx2, 当 x(0,)时,V 为增函数,当 x(,1)时,V 为减函数, 第 14 页(共 25 页) 则当 x时,V 有最大值 Vmax()3 故选:A 【点评】本题考查四面体的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位

    24、置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取 50 名职工作样本, 若采用分层抽样方法,则 4050 岁年龄段应抽取 15 人 【分析】利用扇形统计图和分层抽样的性质直接求解 【解答】解:某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示 现要从中抽取 50 名职工作样本, 采用分层抽样方法,则 4050 岁年龄段应抽取:5030%15 故答案为:15 【点评】本题考查 4050 岁年龄段应抽取人数的求法,考查扇形统计图和分层抽样的性 质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 14 (5 分)某超市中秋节期间举行有奖销售活动,凡消费金额满

    25、200 元的顾客均获得一次 第 15 页(共 25 页) 抽奖的机会,中奖一次即可获得 5 元红包,没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会, 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4, 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和, 则 P(10X15) 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】解:中奖一次即可获得 5 元红包,没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会, 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4, 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和, 则 P(10X15) 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查 n

    26、次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 15 (5 分) 数列an的前 n 项和为 Sn, 若 a11, an0, 3Snanan+1+1, 则 a2019 3028 【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式,进一步求出结果 【解答】解:数列an的前 n 项和为 Sn,若 a11,3Snanan+1+1, 当 n1 时, 整理得:3S13a1a1a2+1, 解得:a22, 当 n2 时,3Sn1an1an+1, 得:3anan(an+1an1) , 由于 an0, 故:an+1an13(常数) 故:数列an的奇数项为首项为 1

    27、,公差为 3 的等差数列 则: 数列an的偶数项为首项为 2,公差为 3 的等差数列 , 所以:3028 故答案为:3028 第 16 页(共 25 页) 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,分类问题的应用,主要 考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 16 (5 分)已知函数 f(x)x2+2ax,g(x)4a2lnx+b,设两曲线 yf(x) ,yg(x)有 公共点 P,且在 P 点处的切线相同,当 a(0,+)时,实数 b 的最大值是 【分析】由题意可得 f(x0)g(x0) ,f(x0)g(x0) ,联立后把 b 用含有 a 的代 数式表示,再由导数求最值得答案

    28、 【解答】解:设 P(x0,y0) , f(x)2x+2a,g(x) 由题意知,f(x0)g(x0) ,f(x0)g(x0) , 即, , 解得 x0a 或 x02a(舍) , 代入得:b3a24a2lna,a(0,+) , b6a8alna4a2a(14lna) , 当 a(0,)时,b0,当 a(,+)时,b0 实数 b 的最大值是 b() 故答案为: 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查数学转化思想方法, 训练了利用导数求最值,是中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明

    29、、证明过程或演算步骤 17 (12 分)已知函数 f(x)4sinxcos(x) (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 f()1,a2,求ABC 面积的最大值 【分析】 (1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得 f (x)的单调递增区间 第 17 页(共 25 页) (2)由 f()1,求得 A,利用余弦定理、基本不等式求得 bc 的最大值,再根据, ABC 面积为bcsinA,可得它的最大值 【解答】 解:(1) 函数 f (x) 4sinxcos (x) 4sinx (cosx+sinx) 4 (si

    30、n2x+ ) 2sin(2x)+1, 令 2k2x2k+,求得 kxk+,可得函数的增区间为k ,k+,kZ (2)在ABC 中,若 f()2sin(A)+11,sin(A)0,A a2,ABC 面积为bcsinA 再根据余弦定理可得 a24b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbc, bc4(2+) ,ABC 面积为bcsinA2+, 故ABC 面积的最大值为 2+ 【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的单调性,余弦定理、基本不等式的应 用,属于基础题 18 (12 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,ABCD,E,F 为 AB 的三等分点, 且 EFCD将AED 和B

    31、FC 分别沿 DE、CF 折起到 A、B 两点重合,记为点 P (1)证明:平面 PCF平面 PEF; (2)若 PFFC,求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 【分析】 (1)推导出四边形 CDEF 是平行四边形,AEDAFC,PEED,PFFC 由 CFDE,得 PEFC,从而 FC面 PEF,由此能证明平面 PCF平面 PEF (2)在平面 PEF 内作 POEF,垂足为 O,取 CD 的中点 M,以 O 为坐标原点,建立 空间直角坐标系 Oxyz,利用向量法能求出 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 第 18 页(共 25 页) 【解答】证明: (1)ABCD,EFCD,四边形

    32、CDEF 是平行四边形, AEDAFC, AEDBFC,AEDBFC,AFCBFC90, PEED,PFFC,CFDE,PEFC, PEPFP,FC面 PEF, FC面 PFC,平面 PCF平面 PEF 解: (2)在平面 PEF 内作 POEF,垂足为 O,取 CD 的中点 M, 由(1)知 FC平面 PEF,故 FCPO,PO平面 CDEF, POOM,POOF, PFPE,OEOF,OMFC,OFOM, OP,OF,OM 两两垂直, 以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz, 设 PFFC2,PEF 是等边三角形, P(0,0,) ,F(1,0,0) ,C(1,2,0)

    33、 ,D(1,2,0) , (1,0,) ,(1,2,) ,(1,2,) , 设 (x,y,z)是平面 PFC 的法向量, 则,取 z1,得 (,0,1) , 设 PD 与平面 PFC 所成角为 , 则 sin, PD 与平面 PFC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面角和正弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 第 19 页(共 25 页) 19 (12 分)已知椭圆 T:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 ,过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A,B 两点,ABF

    34、1的周长为 8 (1)求椭圆 T 的标准方程; (2)已知直线 l1:ykx+m,直线 l2:y2(kx+m) (0m1) 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点,l2与圆 C:x2+y2a2交于 P、Q 两点,求的值 【分析】 (1)由 4a8,即 a2,由 e,可得 c,再求出 b,即可得到椭 圆方程 (2) 联立方程组消 y, 由此利用根的判别式、 韦达定理、 点到直线距离公式, 求出 SMON, 再根据直线和圆的位置求出 SPOQ,即可求出答案 【解答】解: (1)由题意可得 4a8,即 a2,由 e,可得 c, 所以 b1, 椭圆 C 的方程为:+y21, (2)由可得(4k2+1

    35、)x2+8kmx+4(m21)0,64k2m216(4k2+1) (m21)0, 即 4k2+1m2, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 又 x1+x2,x1x2, |MN|x1x2|4 点 O 到直线 l1的距离 d1, SMON|MN|d1, 圆 C:x2+y2a2, 第 20 页(共 25 页) 圆 C 的圆心到直线 l2的距离 d2, |PQ|24, SPOQ|PQ|d2, 【点评】本题考查椭圆方程,考查弦长公式,原点到直线的距离,三角形的面积公式, 解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理,是中档题 20 (12 分)改革开放以来,我国经济持续高速增长如图给出了我国 2

    36、003 年至 2012 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为:产业差值)的折线图,记产业差 值为 y(单位:万亿元) (1)求出 y 关于年份代码 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2003 年至 2012 年我国产业差值的变化情况,并预 测我国产业差值在哪一年约为 34 万亿元; (3)结合折线图,试求出除去 2007 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差 (结果精确到 0.1) 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:, 样本方差公式:s2(yi)2 参考数据: yi10.8,(ti) (yi)132,(yi)2211.6 第

    37、 21 页(共 25 页) 【分析】 (1)求出回归系数,求出回归方程即可; (2)求出 的值,代入求值即可; (3)结合折线图求出平均值和方差即可 【解答】解: (1) (1+2+3+9+10)5.5, + 2(4.52+3.52+2.52+1.52+0.52) 82.5 1.6, b 10.81.65.52, 故回归方程是: 1.6t+2; (2)由(1)知, 1.60, 故 2003 年至 2012 年我国产业差值逐年增加, 平均每年增加 1.6 万亿元, 令 1.6t+234,解得:t20, 故预测在 2022 年我国产业差值为 34 万亿元; (3)结合折线图, 2007 年产业差值

    38、为 10.8 万亿元, 除去 2007 年(t5 时)产业差值外的 9 年的产业差值平均值为: (1010.810.8)10.8, 又211.6, 故除去 2007 年(t5 时)产业差值外的 9 年的产业差值的方差为: 第 22 页(共 25 页) 211.6(10.810.8)223.5 【点评】本题考查了求回归方程问题,考查求平均值以及方差问题,考查转化思想,是 一道常规题 21 (12 分)已知函数 f(x)e2x 3(2x3)2 (1)证明:当 x时,f(x)1; (2)设 g(x)+1n,若存在实数 x1,x2,使得 f(x1)+(2x13)2g(x2) ,求 x2x1的最小值 (

    39、参考公式: (e)e) 【分析】 (1)令 t2x3,问题等价于:当 t0 时,ett210,设函数 u(t)et t21,根据函数的单调性证明即可; (2) 设 f (x1) + (2x13) 2g (x2) m, 求出 x1 , x22, x2x12 , (m0) ,令 h(x)2, (x0) ,根据函数的单调性求出其 最小值即可 【解答】解: (1)令 t2x3,当 x时,f(x)1 等价于:当 t0 时,ett210, 设函数 u(t)ett21,则 u(t)et2t,u(t)et2, 故 u(t)在0,ln2)递减,在(ln2,+)递增, 故 u(t)u(ln2)22ln20, 故

    40、u(t)在0,+)递增, 故 u(t)u(0)0, 即当 x时,f(x)1; (2)设 f(x1)+(2x13)2g(x2)m, 则+lnm, x1R,则0,即 m0, 故 2x13lnm,lnm, 第 23 页(共 25 页) 故 x1,x22, x2x12, (m0) , 令 h(x)2, (x0) , 则 h(x)2, 故 h(x)2+0, 故 h(x)在(0,+)递增,且 h()0, 当 x时,h(x)0,当 0x时,h(x)0, 故 h(x)在(0,)递减,在(,+)递增, 故 x时,h(x)取最小值,此时 h()+ln2, 即 x2x1的最小值是+ln2 【点评】本题考查了函数的单

    41、调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,换元思 想,是一道综合题 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数) ,直线 l2的 参数方程为(m 为参数) 设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 13: sin () , l3与 C 的交点为 A、B,M 为线段 AB 的中点,求 M 的极径 【分析】 (1

    42、)消去 t 可得 l1的普通方程,l2的参数方程消去参数 m 化成普通方程根,l1 与 l2的普通方程消去 k 可得 C 的普通方程; 第 24 页(共 25 页) (2)先把 l3化成普通方程,再与 C 联立得 M 的直角坐标,再化成极坐标可得极径 【解答】解: (1)直线 l1的普通方程为 yk(x2) , 直线 l2的普通方程为 y,消去 k 得+1, 即 C 的普通方程为+1 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , l3化成普通方程为 x+y1 联立得 7x28x80, x1+x2,y1+y22(x1+x2), M(,) , 2()2+()2, M 的极径为 【点评】本题考

    43、查了简单曲线极坐标方程,属中档题 23已知函数 f(x)|2x+1|+|xa| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若不等式|x2|+|xa|f(x)+m2+m 恒成立,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)a1 时函数 f(x)|2x+1|+|x1|,利用分段讨论法去掉绝对值,解对应的 不等式即可; (2)由题意不等式化为|x2|2x+1|m2+m 恒成立, 设 g(x)|x2|2x+1|,求出 g(x)的最大值 g(x)max, 令 g(x)maxm2+m,解关于 m 的不等式即可 【解答】解: (1)a1 时,函数 f(x)|2x+1|+|xa|2x+1|+|x1

    44、|, 当 x时,f(x)(2x+1)(x1)3x, 不等式 f(x)3 化为3x3, 第 25 页(共 25 页) 解得 x1,所以1x; 当x1 时,f(x)(2x+1)(x1)x+2, 不等式 f(x)3 化为 x+23, 解得 x1,所以x1; 当 x1 时,f(x)(2x+1)+(x1)3x, 不等式 f(x)3 化为 3x3, 解得 x1,所以 x; 综上,不等式 f(x)3 的解集为x|1x1; (2)由 f(x)|2x+1|+|xa|,不等式为|x2|+|xa|2x+1|+|xa|+m2+m, 即|x2|2x+1|m2+m, 设 g(x)|x2|2x+1|,则 g(x)maxm2+m, 由 g(x), 所以 g(x)maxg(), 所以m2+m, 即 2m2+3m50, 解得 m或 m1, 所以实数 m 的取值范围是 m或 m1 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问 题,是中档题


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