2019年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)含详细解答
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1、若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 2 (5 分)已知集合 Ax|log3x1,Bx|0,则( ) AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 3 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的 渐近线上,则 C 的方程是( ) A B C D 4 (5 分)在等比数列an中,a11,8,则 a6的值为( ) A4 B8 C16 D32 5 (5 分)如图,ABC 中,ADAB,BEBC,则( ) A B C D 6 (5 分)设有下列四个命题: p1:若 ab,则 a2b2; p2
2、:若 x0,则 sinxx; p3: “1”是“yf(x)为奇函数”的充要条件; p4: “等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 第 2 页(共 25 页) 其中,真命题的是( ) Ap1,p3 Bp2,p3 Cp2,p4 Dp3,p4 7(5 分) 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 记为 Nn (MODm) , 例如 251 (MOD6) 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ,若执行该程序框图,当输入 N25 时,则 输出 N( ) A31 B33 C35 D37 8 (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(
3、) A B7 C11 D14 9 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数,且 f(x), 记 g(x)f(x)a,若a1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是( ) A5 B6 C7 D8 10 (5 分)为推广羽毛球运动的发展,某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现 有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 4 名,其中种子选手 2 第 3 页(共 25 页) 名从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛,设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种 子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ,则 P(A)( ) A B C D 1
4、1 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y(x1)与 C 交于 A、B(A 在 x 轴上方)两点,若m,则实数 m 的值为( ) A B C2 D3 12 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDBACCB1,则四面体 ABCD 体积的最大值 是( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取 50 名职工作样本, 若采用分层抽样方法,则 4050 岁年龄段应抽取 人 1
5、4 (5 分)某超市中秋节期间举行有奖销售活动,凡消费金额满 200 元的顾客均获得一次 抽奖的机会,中奖一次即可获得 5 元红包,没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会, 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4, 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和, 则 P(10X15) 15 (5 分)数列an的前 n 项和为 Sn,若 a11,an0,3Snanan+1+1,则 a2019 16 (5 分)已知函数 f(x)x2+2ax,g(x)4a2lnx+b,设两曲线 yf(x) ,yg(x)有 公共点 P,且在 P 点处的切线相同,当 a(0,+)时,实数 b 的最大值是 三、解
6、答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (12 分)已知函数 f(x)4sinxcos(x) (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 f()1,a2,求ABC 面积的最大值 第 4 页(共 25 页) 18 (12 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,ABCD,E,F 为 AB 的三等分点, 且 EFCD将AED 和BFC 分别沿 DE、CF 折起到 A、B 两点重合,记为点 P (1)证明:平面 PCF平面 PE
7、F; (2)若 PFFC,求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 19 (12 分)已知椭圆 T:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 ,过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A,B 两点,ABF1的周长为 8 (1)求椭圆 T 的标准方程; (2)已知直线 l1:ykx+m,直线 l2:y2(kx+m) (0m1) 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点,l2与圆 C:x2+y2a2交于 P、Q 两点,求的值 20 (12 分)改革开放以来,我国经济持续高速增长如图给出了我国 2003 年至 2012 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为:
8、产业差值)的折线图,记产业差 值为 y(单位:万亿元) (1)求出 y 关于年份代码 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2003 年至 2012 年我国产业差值的变化情况,并预 测我国产业差值在哪一年约为 34 万亿元; (3)结合折线图,试求出除去 2007 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差 (结果精确到 0.1) 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:, 样本方差公式:s2(yi)2 第 5 页(共 25 页) 参考数据: yi10.8,(ti) (yi)132,(yi)2211.6 21 (12 分)已知函数 f(x)e2x 3(2x
9、3)2 (1)证明:当 x时,f(x)1; (2)设 g(x)+1n,若存在实数 x1,x2,使得 f(x1)+(2x13)2g(x2) ,求 x2x1的最小值 (参考公式: (e)e) 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数) ,直线 l2的 参数方程为(m 为参数) 设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
10、 设 13: sin () , l3与 C 的交点为 A、B,M 为线段 AB 的中点,求 M 的极径 23已知函数 f(x)|2x+1|+|xa| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若不等式|x2|+|xa|f(x)+m2+m 恒成立,求实数 m 的取值范围 第 6 页(共 25 页) 2019 年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)年山东省德州市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分把正确答案涂在答题卡上分把正确答案涂在答题卡上 1 (5 分
11、)若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:, 则共轭复数 1+i 故选:A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 2 (5 分)已知集合 Ax|log3x1,Bx|0,则( ) AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 【分析】求出集合 A,B 的等价条件,结合交集和并集的定义进行求解判断即可 【解答】Ax|log3x1x|0x3,Bx|0x|1x2, 则 ABx|0x2,ABx|1x3, 故选:B 【点评】求出集合 A,B
12、的等价条件,结合集合的基本运算进行求解是解决本题的关键 3 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的 渐近线上,则 C 的方程是( ) A B C D 【分析】利用双曲线 C:1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上,可 第 7 页(共 25 页) 确定几何量之间的关系,由此可求双曲线的标准方程 【解答】解:双曲线 C:1 的渐近线方程为 yx 双曲线 C:1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上 2c10,2ab, c2a2+b2 a25,b220 C 的方程为 故选:C 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几
13、何性质,正确运用双曲线的几何 性质是关键 4 (5 分)在等比数列an中,a11,8,则 a6的值为( ) A4 B8 C16 D32 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解:设等比数列an的公比为 q,a11,8, 8,解得 q2 则 a62532 故选:D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题 5 (5 分)如图,ABC 中,ADAB,BEBC,则( ) 第 8 页(共 25 页) A B C D 【分析】由平面向量的基本定理得:(), 得解 【解答】解:(), 故选:D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理,属简单题 6
14、 (5 分)设有下列四个命题: p1:若 ab,则 a2b2; p2:若 x0,则 sinxx; p3: “1”是“yf(x)为奇函数”的充要条件; p4: “等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中,真命题的是( ) Ap1,p3 Bp2,p3 Cp2,p4 Dp3,p4 【分析】根据不等式的性质,结合函数奇偶性的性质,等比数列的性质以及充分条件和 必要条件的定义分别进行点评即可 【解答】解:p1:当 a1,b1 时,满足 ab,则 a2b2;不成立,即命题 p1是假 命题 p2:设 f(x)sinxx,则 f(x)cosx10,即 f(x)是减函数, 若
15、x0,f(x)f(0)sin000,即 sinxx0,则 sinxx 成立,即命题 p2是真 命题; 若1,则 f(x)f(x) ,即 f(x)f(x) ,函数 f(x)是奇函数, 当 f(x)0,满足 f(x)是奇函数,但1 不成立,即“1”是“y f(x)为奇函数”的充要条件错误;即命题 p3是假命题, p4: “等比数列an中,a1a2a3” 第 9 页(共 25 页) 则 a1qa1q2a1, 若 a10, 则 1qq2, 得 0q1,此时q1,即 anan1,数列为递减数列, a10,则 1qq2, 则 q1,此时q1,即 anan1,数列为递减数列,综上等比数列an是递减数 列,
16、若等比数列an是递减数列,则 a1a2a3成立, 即等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件,故命题 p4 是真命题; 故真命题是 p2,p4, 故选:C 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及不等式的性质,充分条件和必要条件的定 义以及等比数列的性质,涉及知识点较多,综合性较强,但难度不大 7(5 分) 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 记为 Nn (MODm) , 例如 251 (MOD6) 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ,若执行该程序框图,当输入 N25 时,则 输出 N( ) A31 B33 C35 D37 第 10 页(共 2
17、5 页) 【分析】该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 1 的数,根据所给的选项,得出 结论 【解答】解:模拟程序的运行,可得 N25, N26 不满足条件 N1(MOD3) ,N27 不满足条件 N1(MOD3) ,N28 满足条件 N1(MOD3) ,不满足条件 N1(MOD5) ,N29 不满足条件 N1(MOD3) ,N30 不满足条件 N1(MOD3) ,N31 满足条件 N1(MOD3) ,满足条件 N1(MOD5) ,输出 N 的值为 31 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答,属于基础题 8 (5 分
18、)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A B7 C11 D14 【分析】三视图可知该几何体为一个三棱锥,是长方体的一部分,可将该三棱锥补成长 方体,再去求解 【解答】解:由三视图可知该几何体为一个三棱锥,是长方体的一部分, 将此三棱锥补成长方体,易知长方体的体对角线即为外接球直径, 所以 2r,所以 r 所以该几何体外接球的表面积为 411 故选:C 第 11 页(共 25 页) 【点评】本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,转化能力, 将四棱锥补成正方体是关键 9 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数,且 f(x), 记 g
19、(x)f(x)a,若a1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是( ) A5 B6 C7 D8 【分析】根据函数 f(x)的周期性和解析式,作出函数的图象,利用函数零点与方程之 间的关系转化为两个图象交点个数,利用数形结合进行求解即可 【解答】 解: f (x) 是定义在 R 上周期为 2 的函数, 且 f (x) , 作出是 f(x)在区间2,3上图象如图: 由 g(x)f(x)a,得 f(x)a, a1, 作出 ya 的图象,由图象知两个函数共有 8 个交点, 即 g(x)的零点个数为 8 个, 故选:D 【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用数形结合转化为两个函数图象的交点问 第
20、 12 页(共 25 页) 题是解决本题的关键 10 (5 分)为推广羽毛球运动的发展,某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现 有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 4 名,其中种子选手 2 名从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛,设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种 子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ,则 P(A)( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n35,事件 A 包含的基本事件个数 m6, 由此能求出事件 A 的概率 【解答】解:现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 4 名, 其中种子
21、选手 2 名 从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛, 基本事件总数 n35, 设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” , 事件 A 包含的基本事件个数 m6, P(A) 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 11 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y(x1)与 C 交于 A、B(A 在 x 轴上方)两点,若m,则实数 m 的值为( ) A B C2 D3 【分析】由题意画出图形,联立方程组求出 A,B 的坐标,进一步得到|AF|,|BF|的长度, 结合
22、m把 m 转化为线段的长度比得答案 【解答】解:如图, 第 13 页(共 25 页) 联立,解得, A 在 x 轴上方, 则|AF|xA+14,|BF|, 由m,得 故选:D 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了数形结合的解题思想方法,考查了 数学转化思想方法,是中档题 12 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDBACCB1,则四面体 ABCD 体积的最大值 是( ) A B C D 【分析】由题意画出图形,取 AB 中点 E,连接 CE,DE,设 AB2x(0x1) ,则 CE DE,可知当平面 ABC平面 ABD 时,四面体体积最大,写出体积公式,利 用导数求得体积最值
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