1、第 1 页（共 12 页） 天津耀华滨海学校 20192020 学年度第二学期统练（7） 高三年级 数学试卷 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 2 |20Px xx， |12Qxx，则() RP Q等于（ ） A.0，1) B.(0，2 C.(1，2) D.1，2 2. 设a、b都是不等于 1 的正数，则“333 ab ”是“log 3log 3 ab ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设向量a、b满足10ab，6ab，则a b（
2、） A.1 B.2 C.3 D.5 4. 已知 2 log 3.4 5a ， 4 log 3.6 5b ， 3 log 0.3 1 ( ) 5 c ，则（ ） A.abc B.bac C.acb D.cab 5. 将函数3sin(2) 3 yx 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A.在区间12 ， 7 12 上单调递减 B.在区间12 ， 7 12 上单调递增 C.在区间 6 ， 3 上单调递减 D.在区间 6 ， 3 上单调递增 6. 已知 1 F、 2 F为双曲线C： 22 2xy的左、 右焦点， 点P在C上， 1 PF 2 2 PF， 则 12 cosFPF（ ）
3、 A. 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 7. 若x，y是正数，则 22 11 ()() 22 xy yx 的最小值是（ ） A.3 B. 7 2 C.4 D. 9 2 8. 某地区空气质量监测资料表明， 一天的空气质量为优良的概率是0.75， 连续两天为优良的概率是0.6， 已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 9. 已知菱形ABCD的边长为2，120BAD， 点E、F分别在边BC、DC上，BEBC，DFDC. 若1AE AF， 2 3 CE CF ，则（ ） A. 1 2 B. 2 3 C.
4、5 6 D. 7 12 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10. 复数 2 1 () 1 i i _. 11. 在 5 (2)x的展开式中， 3 x的系数为_（用数字作答）. 12. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位：cm） ，所得数据均在 区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有_株树木的底 部周长小于 100cm. 第 2 页（共 12 页） 13. 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，3ABADcm， 1 2AAcm，则四棱锥 11 ABB D D的体积为 _ 3 cm
5、. 14. 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 _. 15. 设函数 21 ( ) 4()(2 )1 x ax f x xa xax . 若1a ，则( )f x的最小值为_； 若( )f x恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 3 道题，共 45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分 14 分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ADDC，4AD ， 2DCBC，G为线段AD的中点，PG 平面ABCD，2PG ，M为线段AP上一点（M不与端 点重合）. 若AMMP，
6、 求证：PC平面BMG； 求平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值； 是否存在实数满足AMAP，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为 10 5 ？若存在， 确定的值；若不存在，请说明理由. 第 3 页（共 12 页） 17. 圆 22 4xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时， 切点为P（如 图） ，双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab 过点P且离心率为3. 求 1 C的方程； 若椭圆 2 C过点P且与 1 C有相同的焦点， 直线l过 2 C的右焦点且与 2 C交于A，B两点， 若以线段AB 为直径的圆过点P，求l的方程. 18. 已知公差
7、不为 0 的等差数列满足，成等比数列. 求数列的通项公式； 数列满足，求数列的前项和； 设 1 2 () nn n a c n ，若数列 n c是单调递减数列，求实数的取值范围 n a 2 3a 1 a 3 a 7 a n a n b 1 1 nn n nn aa b aa n bn n S 第 4 页（共 12 页） 天津耀华滨海学校 20192020 学年度第二学期统练（7） 高三年级 数学试卷参考答案与解析 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 19. 已知集合 2 |20Px xx， |12Qxx，则()
8、RP Q等于（ ） A.0，1) B.(0，2 C.(1，2) D.1，2 【答案】C 【解析】 2 |20 | (2)0 |0Px xxx x xx x或2(x ，02，). (0 RP ，2)， (1Q ，2， ()(1 RP Q ，2)，故选 C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 20. 设a、b都是不等于 1 的正数，则“333 ab ”是“log 3log 3 ab ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】a、b都是不等于 1 的正数， 333 ab ，1ab. log
9、 3log 3 ab ， lg lglg 3lg3 ab ，又lg30， lglg 11 ab ，即 lglg 0 lg lg ba ab ， lglg0 lg lg0 ba ab 或 lglg0 lg lg0 ba ab 求解得出：1ab或10ab或10ba ， 根据充分必要条件定义得出： “333 ab ”是“log 3log 3 ab ”的充分不必要条件，故选 B. 【点评】本题综合考查了指数、对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨 论. 21. 设向量a、b满足10ab，6ab，则a b（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A 【解析】10ab，6a
10、b， 分别平方得 22 210aa bb， 22 26aa bb， 两式相减得41064a b，即1a b.故选 A. 【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础. 22. 已知 2 log 3.4 5a ， 4 log 3.6 5b ， 3 log 0.3 1 ( ) 5 c ，则（ ） A.abc B.bac C.acb D.cab 【答案】C 【解析】 1 3 3333 10 log log 0.3log 0.3log 0.3log 0.31 3 1 ( )(5 )555 5 c 又 2234 1010 log 3.4loglog1log 3.6 33
11、 ，5xy 是增函数， acb.故选 C. 【点评】此题是个中档题本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以及中介值法，考 查学生灵活应用知识分析解决问题的能力. 23. 将函数3sin(2) 3 yx 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A.在区间12 ， 7 12 上单调递减 B.在区间12 ， 7 12 上单调递增 第 5 页（共 12 页） C.在区间 6 ， 3 上单调递减 D.在区间 6 ， 3 上单调递增 【答案】B 【解析】把函数3sin(2) 3 yx 的图象向右平移 2 个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为： 2 3sin2()3s
12、in(2) 233 yxx . 当函数递增时，由 2 222 232 kxk ，得 7 1212 kxk ，kZ 取0k ，得 7 1212 x . 所得图象对应的函数在区间12 ， 7 12 上单调递增.故选 B. 【点评】 本题考查了函数图象的平移， 考查了复合函数单调性的求法， 复合函数的单调性满足 “同增异减” 原则，是中档题. 24. 已知 1 F、 2 F为双曲线C： 22 2xy的左、 右焦点， 点P在C上， 1 PF 2 2 PF， 则 12 cosFPF（ ） A. 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 【答案】C 【解析】将双曲线方程 22 2xy化为标准方程
13、22 1 22 xy ，则2a ，2b ，2c ， 设 1 PF 2 22PFm，则根据双曲线的定义， 12 22PFPFa可得2 2m ， 1 | 4 2PF ， 2 | 2 2PF ， 又 12 | 24FFc， 由余弦定理可得 222 1212 12 12 |328 16243 cos 2|3242 4 22 2 PFPFFF FPF PFPF .故选 C. 【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题. 25. 若x，y是正数，则 22 11 ()() 22 xy yx 的最小值是（ ） A.3 B. 7 2 C.4 D. 9 2 【答案】C 【解析】
14、x，y是正数， 22 22 22 1111 ()()2 11 ()(22 224 222 )() 424 x xy xyxyxy yxxyxy y xyyx ， 当且仅当1 2 2 xy xy xy ，即 2 2 xy时，等号成立. 22 11 ()() 22 xy yx 的最小值是 4.故选 C. 【点评】本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成 立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到. 26. 某地区空气质量监测资料表明， 一天的空气质量为优良的概率是0.75， 连续两天为优良的概率是0.6， 已知某天的空气质
15、量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【答案】A 【解析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.750.6p， 解得0.8p ，故选 A. 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题. 第 6 页（共 12 页） 27. 已知菱形ABCD的边长为2，120BAD， 点E、F分别在边BC、DC上，BEBC，DFDC. 若1AE AF， 2 3 CE CF ，则（ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 5 6 D. 7 12 【答案】C 【解析】解法一：由题意可得() ()AE AFABBEAD
16、DF AB ADAB DFBE ADBE DF 22 cos120ABABAD ADADAB 2442 2 cos12044221 ， 4423 () ()(1)(1)CE CFBEBCDFDCBCDC 2 (1)(1)(1)(1)22cos120(1)( 2) 3 ADAB 即 2 3 由求得 5 6 ，故选 C. 解法二：建立如图所示的坐标系，则(0A，3)，( 1B ，0)，(1C，0)，(2D，3)， 由BEBC得(2BEBC，0)，则(21E，0)， 由DFDC得(DFDC ，3 )，则(2F，33 )， 1(21AE AF ，3) (2，3 )1(21)(2)31 ，即4423 2
17、 (22 3 CE CF ，0) (1， 22 33 )(22)(1) 33 ，即 2 3 由求得 5 6 ，故选 C. 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档 题. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 28. 复数 2 1 () 1 i i _. 【答案】1 【解析】 2 222 1(1)2 ()()1 1(1)(1)2 iii iii . 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题. 29. 在 5 (2)x的展开式中， 3 x的系数为_（用数字作答）. 【答案】40 【解
18、析】 5 (2)x的展开式的通项公式为： 5 152 rrr r TCx ， 3 x的系数为 32 52 40C. 【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力. 30. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位：cm） ，所得数据均在 第 7 页（共 12 页） 区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有_株树木的底 部周长小于 100cm. 【答案】24 【解析】由频率分布直方图知：底部周长小于 100cm 的频率为(0.0150.025) 100.4， 底部周长小于 100cm 的频数为600.424
19、（株）. 【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率小矩形的面积小矩形的高组距 频数 样本容量 . 31. 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，3ABADcm， 1 2AAcm，则四棱锥 11 ABB D D的体积为 _ 3 cm. 【答案】6 【解析】过A作AOBD于O，则AO是四棱锥 11 ABB D D的高，且 3 33 2 23 2 AO ， 四棱锥 11 ABB D D的体积为 13 2 23 26 32 V . 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力. 32. 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴
20、上，则该圆的标准方程为_. 【答案】 22 325 () 24 xy. 【解析】一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点且圆心在x轴的正半轴上 可知椭圆的三个顶点分别为右顶点(4，0)，上下顶点(0，2)， 设圆的圆心(a，0)，则 22 (0)(02)4aa，解得 3 2 a ， 圆的半径为： 5 2 ， 圆的方程为： 22 325 () 24 xy. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力. 33. 设函数 21 ( ) 4()(2 )1 x ax f x xa xax . 第 8 页（共 12 页） 若1a ，则( )f x的最小值为_； 若( )f
21、 x恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_. 【答案】1； 1 2 ，1)2，). 【解析】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值. 当1a 时， 211 ( ) 4(1)(2)1 x x f x xxx ， 当1x 时，( )21f xx为增函数，则( )1f x ， 当1x 时， 22 31 ( )4(1)(2)4(32)4()1 24 f xxxxxx . 即当1a 时，( )f x的最小值为1. 由2(1) x ya x至多含有一个零点及4()(2 )(1)yxa xa x至多含有两个零点分两种情况讨论，即 可求出a的范围. 当02a时，函数2(1) x ya x有一个零点
22、，否则函数2(1) x ya x没有零点. 由题意得，实数a满足 02 21 1 a a a 或 02 21 1 aa a a 或 ，解得 1 1 2 a或2a . 即实数a的取值范围为 1 2 ，1)2，). 【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类 能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共 3 道题，共 45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 34. 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ADDC，4AD ，2DCBC，G为线段AD 的中点，PG 平面ABCD，2PG ，M为线段AP上一点（M不与端点重合）. 若AMM
23、P， 求证：PC平面BMG； 求平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值； 是否存在实数满足AMAP，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为 10 5 ？若存在， 确定的值；若不存在，请说明理由. 【答案】略， 11 11 ； 1 3 . 【解析】ADBC，4AD ，2BC ，G为线段AD的中点，BCDG且BCDG， 四边形BCDG为平行四边形. 又ADDC，BGDG. 又PG 平面ABCD，故可以以G为坐标原点，直线GB、GD、GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角 第 9 页（共 12 页） 坐标系，如图所示，则(0G，0，0)，(2B，0，0)，(0D，2，0)，(0A，2，0)，(
24、2C，2，0)，(0P， 0，2). 方法一：连接AC、BG，交于点O. 由BCAG且BCAG知四边形BCGA为平行四边形，从而O为AC的中点. 又AMMP，OM为APC的中位线，OMPC. 又OM 平面BMG，PC 平面BMG，PC平面BMG. 方法二：AMMP，(0M，1，1). (2PC ，2，2)，(0GM ，1，1)，(2GB ，0，0). 设(ax，y，) z为平面BMG的法向量，则有 0 20 a GMyz a GBx ，可取(0a ，1，1). 0PC a，PCa. 又PC 平面BMG，PC平面BMG. 平面PAD即为yOz平面，其法向量可取为(1m ，0，0). ( 2BD
25、，2，0)，( 2BM ，1，1). 设(nx，y，) z为平面BMD的法向量，则有 20 220 n BMxyz n BDxy ，可取(1n ，1，3). cosm， 111 1111 m n n mn ， 平面PAD与平面BMD所成的锐二面角的余弦值为 11 11 . 假设存在实数满足AMAP，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为 10 5 . 由(0AMAP，2，2)(0，2，2 )，可得(0M，22，2 )，其中01. 则(0GM ，22，2 ). 设(bx，y，) z为平面BMG的法向量，则有 (22)20 20 a GMyz a GBx ，可取(0b ，2，22 ). cos
26、PB， 222 441 2 2(2 )(22 )442 PB b b PBb . 直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为 10 5 ， |cosPB， 10 | 5 b ，即 2 110 5 442 ，解得 1 3 或1. 01， 1 3 . 第 10 页（共 12 页） 35. 圆 22 4xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时， 切点为P（如 图） ，双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab 过点P且离心率为3. 求 1 C的方程； 若椭圆 2 C过点P且与 1 C有相同的焦点， 直线l过 2 C的右焦点且与 2 C交于A，B两点， 若以线段AB 为直
27、径的圆过点P，求l的方程. 【答案】 2 2 1 2 y x ； 3 6 (1)30 2 xy或 6 (1)30 2 xy 【解析】设切点 0 (P x， 0) y， 0 (0x ， 0 0)y ，则切线的斜率为 0 0 x y ， 可得切线的方程为 0 00 0 () x yyxx y ，化为 00 4x xy y. 令0x ，可得 0 4 y y ；令0y ，可得 0 4 x x . 切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积 0000 1448 2 S yxx y . 22 0000 42xyx y，当且仅当 00 2xy时取等号， 8 4 2 S ，此时( 2P，2). 由题意可
28、得 22 22 1 ab ， 2 2 13 cb e aa ，解得 2 1a ， 2 2b ， 故双曲线 1 C的方程为 2 2 1 2 y x . 由可知双曲线 1 C的焦点(3，0)，即为椭圆 2 C的焦点. 可设椭圆 2 C的方程为 22 1 22 11 1(0) 3 xy b bb ， 把( 2P，2)代入可得 22 11 22 1 3bb ，解得 2 1 3b ， 因此椭圆 2 C的方程为 22 1 63 xy . 由题意可设直线l的方程为3xmy， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 22 3 26 xmy xy ，化为 22 (2)2 330mymy，
29、12 2 2 3 2 m yy m ， 12 2 3 2 y y m 1212 2 4 3 ()2 3 2 xxm yy m ， 第 11 页（共 12 页） 2 2 121212 2 66 3 ()3 2 m x xm y ym yy m . 1 ( 2APx， 1 2)y， 2 ( 2BPx， 2 2)y， APBP，0AP BP， 12121212 2()2()40x xxxy yyy， 2 22 64 6110mm，解得 3 6 1 2 m 或 6 (1) 2 m ， 因此直线l的方程为： 3 6 (1)30 2 xy或 6 (1)30 2 xy 【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方
30、程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数 量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问 题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了 转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题. 36. 已知公差不为 0 的等差数列满足，成等比数列. 求数列的通项公式； 数列满足，求数列的前项和； 设 1 2 () nn n a c n ，若数列 n c是单调递减数列，求实数的取值范围 【答案】1 n an；2 2(2) n n n ； 4 3 . 【解析】由题知，设等差数列的公差为， 则，即，
31、0d ， 1 2ad. 又， ， ，1d ， 1 n an. . . 12 2 ()2 () nnn n an c nn ，使数列 n c是单调递减数列， n a 2 3a 1 a 3 a 7 a n a n b 1 1 nn n nn aa b aa n bn n S 2 317 aa a n ad 2 111 (2 )(6 )ada ad 2 1 2a dd 2 3a 1 3ad 1 2a 1 1 1211 2 2112 nn n nn aann b aannnn 12 111111 (2)(2)(2)2 2334122(2) nn n Sbbbn nnn 第 12 页（共 12 页） 则
32、 1 2(3)2 2 ()0 1 n nn nn cc nn 对都成立， 即 2(3)22(3)242 0()(1) 111 maxmax nnnn nnnnnn 设 42 ( )1 1 f n nn ， 则 4262(2) (1)( ) 21(1)(2) n f nf n nnnn nn ， (1)(2)(3)(4)(5)fffff， 当n 2 或 3 时，( )f n取得最大值，且最大值为 4 3 ，即 424 (1) 13 max nn ， 4 3 . 【点评】本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思 想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题. * nN
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