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    第17讲 图形变换性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

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    第17讲 图形变换性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

    1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1717 图形变换性问题图形变换性问题 【难点突破】着眼思路,方法点拨【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 平移解题要领:关键是确定图形平移的方向和距离,从一个点或一条线段的平移前后的变化,归纳出 平移的规律,进而得出图形其他部分的平移变化 折叠解题要领:图形的折叠本质上就是轴对称问题,根据轴对称的性质,可探求出图形变换前后的 等量关系;求解线段和最小值问题,本质上就是两点间线段最短(间接运用三角形三边大小关系),通过点 的轴对称变换,把线段和转化为某一条线段求解,选择作适当的点的轴对称点往往是解

    2、题的突破口 旋转解题要领:由旋转角相等,可以得到等角,由对应点到旋转中心的距离相等,可以得到线段相 等和等腰三角形;由图形的旋转求线段长时,常常用到勾股定理、锐角三角函数,全等三角形及相似三 角形的判定与性质;图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积整合在一起,注意学习运用 相似解题要领:证明两个三角形相似,最常用的方法:一是利用平行线构造相似三角形,二是两个 角对应相等证明两三角形相似;探求两个三角形相似的条件时,根据确定的已知条件,不拘泥于现成的 图形,充分考虑三角形相似的情形具体性质有:相似三角形对应线段的比等于相似比,其中只要说明 两线段是对应线段,就可以直接运用性质定理;利用相似三角形的

    3、性质求面积时,不要忽视“相似比的平 方” 位似解题要领:利用点的坐标表示位似变换时,一般地是以原点为位似中心,但是,要注意位似中 心不是原点的情况;求位似图形相应点的坐标时,要注意是缩小还是扩大,是一种还是两种情形 【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创】【原创】在平面直角坐标系中,抛物线 2 9 4 yaxxc与 y 轴交于点 A(0,6),与x轴的正半轴交于点 B(8, 0),连接 AB,将线段 AB 绕着点 A 顺时针旋转,点 B 恰好落在 y 轴 C 点处,试解答下列问题: (1)这条抛物线的解析式; (2)求sinBAC的值; (

    4、3)在抛物线上存在点 H,使得点 H 到 A、B 两点的距离相等,求点 H 的横坐标。 解析: (1)因为已知条件中 A、B 两点坐标,故可代入抛物线解析式,列二元一次方程组解得即可得到抛 物线解析式; (2)求三角函数值,首先要把角放在某一直角三角形内,故作 AB 边上的高 CD,如何求 CD 的值,借用面积法,从不同方法求解三角形 ABC 的面积,一是包围法:三角形 ABC 的面积 =AE AG- 1 2 BG AG- 1 2 CF BF- 1 2 EC AE, 二是直接利用面积公式: 三角形 ABC 的面积= 1 2 AB CD, 解得 CD 的值即可得到答案; (3)求点 H 到两端点

    5、的距离,考虑到其一定在 AB 的垂直平分线上,故先求 垂直平分线的解析式,需要两个点的条件,可先利用勾股定理求得 x 轴上的一点,从而确定两点求得解析 式,代入抛物线解析式解得 x 的值,即可得到 H 的横坐标。 解: (1)抛物线 2 9 4 yaxxc过点 A(0,,6) 、B(8,0) 故有 6 64180 c ac 解得: 6 3 8 c a 此抛物线的解析式为: 2 39 6 84 yxx (2)因为 AB= 22 68=10,故 AC=10, 2 b a = 9 4 3 2 () 8 =3,AE= 22 103=91 作 CDAB,利用等面积法,作如图辅助线可得: 三角形 ABC

    6、的面积= 1 2 AB CD=AE AG- 1 2 BG AG- 1 2 CF BF- 1 2 EC AE EC=3,CF=5,BF=91-6,GB=6,AG=8 可解得 CD= 4 91 9 5 sinBAC= CD AC = 4 91 9 50 (3)因为点 A 的坐标为(0,6),点 B 的坐标为(8,0),点 H 到 A、B 两点的距离相等,则点 H 一定在线段 AB 的垂直平分线上,平分线一定过点(4,3) 设垂直平分线交 x 轴于点(x,0),则有 62+x2=(8-x)2 解得:x= 7 4 ,则 AB 的垂直平分线过点( 7 4 ,0) ,(4,3), 令其解析式为 y=kx+

    7、b,将点的坐标代入得: 43 7 0 4 kb kb ,解得:k= 4 3 ,b= 7 3 即:y= 4 3 x 7 3 ,代入抛物线解析式 2 39 6 84 yxx 有 2 39 6 84 xx = 47 33 x ,化简为: 2 9222000xx 解得: 1 111921 9 x , 2 111921 9 x 故点 H 的横坐标为11 1921 9 或11 1921 9 。 【典题【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三;精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三; 【例题【例题 1】如图,在平面直角坐标系中,ABC 的三个顶点分别为 A(1,1)、B(3,3)、C(4, 1) (1)画出AB

    8、C 关于 y 轴对称的A1B1C1,并写出点 B 的对应点 B1的坐标; (2)画出ABC 绕点 A 按顺时针旋转 90 后的AB2C2,并写出点 C 的对应点 C2的坐标 【分析】(1)分别作出点 A,B,C 关于 y 轴的对称点,再首尾顺次连接即可得; (2)分别作出点 B,C 绕点 A 按顺时针旋转 90 后所得对应点,再首尾顺次连接可得 【解答】解:(1)如图(1)所示,A1B1C1即为所求,其中 B1的坐标为(3,3) (2)如图(2)所示,AB2C2即为所求,C2的坐标为(1,2) 【点评】本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换,解题的关键是熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定 义和性质

    9、,并据此得出变换后的对应点 【例题【例题 2】已知AOB=90 ,在AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与 C 重合,它 的两条直角边分别与 OA、 OB(或它们的反向延长线)相交于点 D、E (1)当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1),易证:OD+OE=OC; (2)当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时,在图 2、图 3 这两种情况下,上述结论是否还成立?若 成立,请给予证明;若不成立,线段 OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明 【考点】旋转的性质;全等三角形的性质;全等三角形的判定;勾股定理 【专题

    10、】探究型 【分析】(1)CD 与 OA 垂直时,根据勾股定理易得 OC 与 OD、OE 的关系,将所得的关系式相加即可得 到答案 (2) 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时, 易得CKDCHE, 进而可得出证明; 判断出结果 解 此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系,进而得出 OC 与 OD、OE 的关系;最后转化得到结论 【解答】解:(1)当 CD 与 OA 垂直时, CDO 为 Rt, OC= , , 由题意得四边形 ODCE 是正方形, OD+OE=OD+OD=2OD, OD+OE= (2)过点 C 分别作 CKOA,垂足为 K,CHOB,垂足为 H OM 为AO

    11、B 的角平分线,且 CKOA,CHOB, CK=CH,CKD=CHE=90 , 又1 与2 都为旋转角, 1=2, CKDCHE, DK=EH, OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK 由(1)知:OH+OK=, OD+OE= (3)结论不成立 过点 C 分别作 CKOA, CHOB, OC 为AOB 的角平分线,且 CKOA,CHOB, CK=CH,CKD=CHE=90 , 又KCD 与HCE 都为旋转角, KCD=HCE, CKDCHE, DK=EH, OEOD=OH+EHOD=OH+DKOD=OH+OK, 由(1)知:OH+OK=, OD,OE,OC 满足 【例题【例

    12、题 3】已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,A、B 均为锐角。 (1)当A=B 时,则 CD 与 AB 的位置关系是 CD AB,大小关系是 CD AB; (2)当AB 时, (1)中 CD 与 AB 的大小关系是否还成立,证明你的结论。 分析:(1)如图 1,需要根据题意画出图,然后做 DE 平行于 BC,推出B=AED,结合题意A=AED, 推出四边形 CBED 为平行四边形,继而推出 DC 平行且等于 BE,由于 BE 小于 AB,继而推出(1)的结论; (2)根据要求证的结论,可以通过作辅助线的形式把 DC,AB 等有关的线段引入到同一个三角形中,再通 过三角形的三遍关系论

    13、证结论是否成立如图 2,分别过点 D、B 作 BC、CD 的平行线,两线交于 F 点,作 ADF 的平分线交 AB 于 G 点,连接 GF,推出四边形 BCDF 为平行四边形,可推出 BC=DF=AD,继而推 出ADGFDG,可得出 AG=FG,CD=FB,那么 FG+BGBF?AG+BGDC?DCAB (1)如图 1,CDAB,CDAB。 (2)CDAB 还成立。 证明如下:如图 2,分别过点 D、B 作 BC、CD 的平行线,两线交于 F 点。 四边形 DCBF 为平行四边形。 .,FBDCBCFD AD=BC, AD=FD。 作ADF 的平分线交 AB 于 G 点,连接 GF。 ADG=

    14、FDG。 在ADG 和FDG 中 , , , DGDG FDGADG FDAD ADGFDG, AG=FG。 在BFG 中,BFBGFG。 .DCBGAG DCAB。 点评:本题主要考查了平行四边形判定定理,平行四边形性质,三角形三边关系,全等三角形的性质及判 定定理的综合应用 【例题【例题 4】在ABC 中,ABC45 ,BC4,tanC3,AHBC 于点 H,点 D 在 AH 上,且 DHCH, 连接 BD (1)如图 1,将BHD 绕点 H 旋转,得到EHF(点 B、D 分别与点 E、F 对应),连接 AE,当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合),求 AE 的长; (2)如图

    15、2,EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到的,射线 CF 与 AE 相交于点 G,连接 GH,试 探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系,并说明理由 【分析】 (1)先根据 tanC3,求出 AH3,CH1,然后根据EHAFHC,得到 HP3AP,AE2AP, 最后用勾股定理即可; (2)先判断出AGQCHQ,得到,然后判断出AQCGQH,用相似比即可 【解答】(1)如图, 在 RtAHC 中, tanC3, 3, 设 CHx, BHAH3x, BC4, 3x+x4, x1, AH3,CH1, 由旋转知,EHFBHDAHC90 ,EHAH3,CHDHFH, EHF+AHFA

    16、HC+AHF, EHAFHC, EHAFHC, EAHC, tanEAHtanC3, 过点 H 作 HPAE, HP3AP,AE2AP, 在 RtAHP 中,AP2+HP2AH2, AP2+(3AP)29, AP, AE; (2)如图 1, EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到, HDHF,AHF30 CHF90 +30 120 , 由(1)有,AEH 和FHC 都为等腰三角形, GAHHCG30 , CGAE, 点 C,H, G,A 四点共圆, CGHCAH, 设 CG 与 AH 交于点 Q, AQCGQH, AQCGQH, , EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30

    17、 得到, EFBD, 由(1)知,BDAC, EFAC 2 即:EF2HG, 【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质 和判定,勾股定理,锐角三角函数的意义,等腰三角形的判定和性质,解本题的关键是相似三角形性质和 判定的运用 【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。 一、选择题: 1. (2017 山东聊城)山东聊城)如图,将ABC 绕点 C 顺时针旋转,使点 B 落在 AB 边上点 B处,此时,点 A 的对 应点 A恰好落在 BC 边的延长线上,下列结论错误的( ) ABCB=ACA BACB=2

    18、B CBCA=BAC DBC 平分BBA 【分析】根据旋转的性质得到BCB=ACA,故 A 正确,根据等腰三角形的性质得到B=BBC,根据 三角形的外角的性质得到ACB=2B,等量代换得到ACB=2B,故 B 正确;等量代换得到 ABC=BBC,于是得到 BC 平分BBA,故 D 正确 【解答】解:根据旋转的性质得,BCB和ACA都是旋转角,则BCB=ACA,故 A 正确, CB=CB, B=BBC, 又ACB=B+BBC, ACB=2B, 又ACB=ACB, ACB=2B,故 B 正确; ABC=B, ABC=BBC, BC 平分BBA,故 D 正确; 故选 C 2. 如图,在正方形网格中,

    19、线段 AB是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 得到的,点 A与 A 对应,则角 的 大小为( ) A30 B60 C90 D120 【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小 【解答】解:如图: 显然,旋转角为 90 , 故选 C 3. 如图,在 RtABC 中,ACB=90 ,将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到ABC,M 是 BC 的中点,P 是 AB的中点,连接 PM若 BC=2,BAC=30 ,则线段 PM 的最大值是( ) A4 B3 C2 D1 【分析】如图连接 PC思想求出 PC=2,根据 PMPC+CM,可得 PM3,由此即可解决问题 【解答】解:如图连接 PC 在 Rt

    20、ABC 中,A=30 ,BC=2, AB=4, 根据旋转不变性可知,AB=AB=4, AP=PB, PC=AB=2, CM=BM=1, 又PMPC+CM,即 PM3, PM 的最大值为 3(此时 P、C、M 共线) 故选 B 4. 如图,抛物线 2 45 7 2 1 2 xxy与 x 轴的交于点 A、B,把抛物线在 x 轴即其下方的部分记作 C1,将 C1向左平移得 C2,C2与 x 轴的交于点 B、D若直线mxy 2 1 与 C1、C2共有三个不同的交点,则 m 的 取值范围是( C ) A. 2 5 -m 8 45 B. 2 1 -m 8 29 C. 2 5 -m 8 29 D. 2 1

    21、-m 8 45 解析:在 y 2 45 7 2 1 2 xx中,令 y0,解得 x19,x25,点 A,B 的坐标分别为(9,0) , (5,0) C2 是由C1向左平移得到的, 点D 的坐标为 (1, 0) , C2对应的函数解析式为 y23 2 1 2 )(x 2 5 3 2 1 2 xx (1x5) 当直线 ymx 2 1 与 C2相切时,可知关于 x 的一元二次方程 2 5 3 2 1 2 xxmx 2 1 有两个 相等的实数根,即方程 x27x52m0 有两个相等的实数根,(7)24 1 (52m)0,解 得 m 8 29 当直线 ymx 2 1 过点 B 时, 可得 0m5 2 1

    22、 , 解得 m 2 5 如图, 故当 8 29 m 2 5 , 直线 ymx 2 1 与 C1,C2共有 3 个不同的交点 5. 如图,P 为等边三角形 ABC 内的一点,且 P 到三个顶点 A,B,C 的距离分别为 3,4,5,则ABC 的面 积为( ) A B C D 【分析】将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得BEA,根据旋转的性质得 BEBP4,AEPC5,PBE 60 , 则BPE 为等边三角形, 得到 PEPB4, BPE60 , 在AEP 中, AE5, 延长 BP, 作 AFBP 于点 FAP3, PE4, 根据勾股定理的逆定理可得到APE 为直角三角形, 且APE90 ,

    23、 即可得到APB 的度数, 在直角APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长, 则在直角ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长, 进而求得三角形 ABC 的面积 【解答】解:ABC 为等边三角形, BABC, 可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 得BEA,连 EP,且延长 BP,作 AFBP 于点 F如图, BEBP4,AEPC5,PBE60 , BPE 为等边三角形, PEPB4,BPE60 , 在AEP 中,AE5,AP3,PE4, AE2PE2+PA2, APE 为直角三角形,且APE90 , APB90 +60 150 APF30 , 在直角APF 中,AFAP,PFAP 在

    24、直角ABF 中,AB2BF2+AF2(4+)2+()225+12 则ABC 的面积是AB2(25+12) 故选:A 二、填空题: 6. 如图, 将AOB绕点O按逆时针方向旋转 45 后得到AOB, 若AOB15 , 则AOB的度数是 30 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角,进而得出答案即可 【解答】解:将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到AOB, AOA45 ,AOBAOB15 , AOBAOAAOB45 15 30 , 故答案是:30 . 7.ABC 是等边三角形,点 O 是三条高的交点若ABC 以点 O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合, 则

    25、ABC 旋转的最小角度是 120 【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解 【解答】解:若ABC 以 O 为旋转中心,旋转后能与原来的图形重合, 根据旋转变化的性质,可得ABC 旋转的最小角度为 180 60 =120 故答案为:120 8. (2017 张家界)如图,在正方形 ABCD 中,AD=2,把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30 得到线段 BP,连 接 AP 并延长交 CD 于点 E,连接 PC,则三角形 PCE 的面积为 610 【考点】R2:旋转的性质;LE:正方形的性质 【分析】根据旋转的想知道的 PB=BC=AB,PBC=30 ,推出ABP 是等边三角形,得到BAP=6

    26、0 , AP=AB=2,解直角三角形得到 CE=22,PE=42,过 P 作 PFCD 于 F,于是得到结论 【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, ABC=90 , 把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30 得到线段 BP, PB=BC=AB,PBC=30 , ABP=60 , ABP 是等边三角形, BAP=60 ,AP=AB=2, AD=2, AE=4,DE=2, CE=22,PE=42 , 过 P 作 PFCD 于 F, PF=PE=2 3, 三角形 PCE 的面积=CEPF= (22) (42)=6 10, 故答案为:610 9. 如图,在平面鱼角坐标系 xOy 中,A(3,0),点

    27、 B 为 y 轴正半轴上一点,将线段 AB 绕点 B 旋转 90 至 BC 处,过点 C 作 CD 垂直 x 轴于点 D,若四边形 ABCD 的面积为 36,则线 AC 的解析式为 【分析】过 C 作 CEOB 于 E,则四边形 CEOD 是矩形,得到 CEOD,OECD,根据旋转的性质得到 ABBC,ABC90 ,根据全等三角形的性质得到 BOCE,BEOA,求得 OABE3,设 ODa,得 到 CDOE|a3|,根据面积公式列方程得到 C(6,9)或(6,3),设直线 AB 的解析式为 ykx+b, 把 A 点和 C 点的坐标代入即可得到结论 【解答】解:过 C 作 CEOB 于 E, 则

    28、四边形 CEOD 是矩形, CEOD,OECD, 将线段 AB 绕点 B 旋转 90 至 BC 处, ABBC, ABC90 , ABO+CBOABO+BAO90 , ABOBCE, AOBBEC90 , ABOBCO(AAS), BOCE,BEOA, A(3,0), OABE3, 设 ODa, CDOE|a3|, 四边形 ABCD 的面积为 36, AOOB+(CD+OB)OD 3 a+(a3+a) a36, a 6, C(6,9)或(6,3), 设直线 AB 的解析式为 ykx+b, 把 A 点和 C 点的坐标代入得,或, 解得:或, 直线 AB 的解析式为 yx+1 或 y3x9 故答案

    29、为:yx+1 或 y3x9 10. (2017 广西广西)如图,点 P 在等边ABC 的内部,且 PC=6,PA=8,PB=10,将线段 PC 绕点 C 顺时针旋 转 60 得到 PC,连接 AP,则 sinPAP的值为 【分析】连接 PP,如图,先利用旋转的性质得 CP=CP=6,PCP=60,则可判定CPP为等边三角形得 到 PP=PC=6, 再证明PCBPCA 得到 PB=PA=10, 接着利用勾股定理的逆定理证明APP为直角三角 形,APP=90,然后根据正弦的定义求解 【解答】解:连接 PP,如图, 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到 PC, CP=CP=6,PCP=60,

    30、 CPP为等边三角形, PP=PC=6, ABC 为等边三角形, CB=CA,ACB=60 , PCB=PCA, 在PCB 和PCA 中 , PCBPCA, PB=PA=10, 62+82=102, PP2+AP2=PA2, APP为直角三角形,APP=90, sinPAP= 故答案为 三、解答题: 11. (1)请画出ABC 关于直线 l 的轴对称图形A1B1C1 (2)将ABC 绕着点 B 旋转 180 得到A2B2C2,并画出图形(保留作图痕迹,不写画法,注明结论) 【分析】(1)分别作出点 A,B,C 关于直线 l 的对称点,再首尾顺次连接可得; (2)作出点 A 与点 C 绕着点 B

    31、 旋转 180 得到的对应点,再与点 B 首尾顺次连接可得 【解答】解:(1)A1B1C1为所求作的关于 l 的轴对称图形 (2)A2B2C2是ABC 绕 B 点旋转 180 的图形 12. 在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A(3,3) ,点 B(1,3) ,点 C(1,1) (1)画出ABC; (2)画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1,并写出 A1点的坐标: (3,3) ; (3)以 O 为位似中心,在第一象限内把ABC 扩大到原来的两倍,得到A2B2C2,并写出 A2点的坐标: (6,6) 【解答】解: (1)ABC 如图所示; (2)A1B1C1如图所示;A1(3,3) ,

    32、 (3)A2B2C2如图所示;A2(6,6) 故答案为(3,3) , (6,6) 13. 已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC, 3AB ,AD=3,BC=4,以点 D 为旋转中 心,将腰 DC 逆时针旋转 至 DE。 (1)当 =90 时,连接 AE,则EAD 的面积等于 (直接写出结果) ; (2)当 0 180 时,连接 BE,请问 BE 能否取得最大值?若能,请求出 BE 的最大值;若不能,请说 明理由; (3)当 0 180 时,连接 CE,请问 为多少度时,CDE 的面积是3。 (1) 2 3 , 作 DHBC 于点 H,EGAD 交 AD 的延长线于点 G,如

    33、图 1, ADBC, ABBC,四边形 ABHD 为矩形, 3DHAB,BH=AD=3, 431HCBCBH, 以点 D 为旋转中心,将腰 DC 逆时针旋转 90 至 DE, 即把 RtDHC 逆时针旋转 90 得到 RtDGE, EG=HC=1, 113 3 1 222 EAD SAD EG 。 (2)BE 能取得最大值,当 B、D、E 三点共线时,BE 最大。 如图 2,在 RtDHC 中,3DH ,HC=1,DC= 22 2DHHC,DE=2, 在 RtDBH 中,BH=3,3DH ,BD= 22 2 3BHDH, 2 32BEBDDE; (3)当 为锐角时,过 E 点作 EFDC 于点

    34、 F,如图 3, DC=DE=2, 1 23 2 CDE SEF , 3EF , 3 2 EF sin EDF DE ,EDF=60 ,=60 , 当 为钝角时,过 E 点作 EFDC 交 CD 的延长线于 F 点,如图 4, 同样可得到EDF=60 ,18060120 , 为 60 或 120 时,CDE 的面积是3。 14. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图 1,将一张菱形纸片 ABCD(BAD90 )沿对角线 AC 剪开,得到ABC 和ACD 操作发现 (1) 将图 1 中的ACD 以 A 为旋转中心, 按逆时针方向旋转角

    35、, 使 =BAC, 得到如图 2 所示的ACD, 分别延长 BC 和 DC交于点 E,则四边形 ACEC的形状是 菱形 ; (2)创新小组将图 1 中的ACD 以 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转角 ,使 =2BAC,得到如图 3 所 示的ACD,连接 DB,CC,得到四边形 BCCD,发现它是矩形,请你证明这个结论; 实践探究 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图 3 中 BC=13cm,AC=10cm,然后提出一个问题:将 ACD 沿着射线 DB 方向平移 acm,得到ACD,连接 BD,CC,使四边形 BCCD 恰好为正方形,求 a 的值,请你解答此问题; (4)请你参照以上

    36、操作,将图 1 中的ACD 在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图 4 中画出平 移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明 【分析】 (1)利用旋转的性质结合菱形的性质得出:1=2,2=3,1=4,AC=AC,进而利用菱 形的判定方法得出答案; (2)利用旋转的性质结合菱形的性质得出,四边形 BCCD 是平行四边形,进而得出四边形 BCCD 是矩形; (3)首先求出 CC的长,分别利用点 C在边 CC 上,点 C在 CC 的延长线上,求出 a 的值; (4)利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案 【解答】解: (1)如图 2,由题意可得:1=2,

    37、2=3,1=4,AC=AC, 故 ACEC,ACCE, 则四边形 ACEC是平行四边形, 故四边形 ACEC的形状是菱形; 故答案为:菱形; (2)证明:如图 3,作 AECC于点 E, 由旋转得:AC=AC, 则CAE=CAE=BAC, 四边形 ABCD 是菱形, BA=BC, BCA=BAC, CAE=BCA, AEBC,同理可得:AEDC, BCDC,则BCC=90, 又BC=DC, 四边形BCCD 是平行四边形, BCC=90, 四边形 BCCD 是矩形; (3)如图 3,过点 B 作 BFAC,垂足为 F, BA=BC, CF=AF=AC= 10=5, 在 RtBCF 中,BF=12, 在ACE 和CBF 中, CAE=BCF,CEA=BFC=90 , ACECBF, =,即=, 解得:EC=, AC=AC,AECC, CC=2CE=2=, 当四边形 BCCD恰好为正方形时,分两种情况: 点 C在边 CC 上,a=CC13=13=, 点 C在 CC 的延长线上,a=CC+13=+13=, 综上所述:a 的值为:或; (4)答案不唯一, 例:如图 4,画出正确图形,平移及构图方法:将ACD 沿着射线 CA 方向平移,平移距离为AC 的长度, 得到ACD,连接 AB,DC, 结论:BC=AD,BCAD, 四边形 ABCD是平行四边形


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