第17讲 图形变换性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1717 图形变换性问题图形变换性问题 【难点突破】着眼思路,方法点拨【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 平移解题要领:关键是确定图形平移的方向和距离,从一个点或一条线段的平移前后的变化,归纳出 平移的规律,进而得出图形其他部分的平移变化 折叠解题要领:图形的折叠本质上就是轴对称问题,根据轴对称的性质,可探求出图形变换前后的 等量关系;求解线段和最小值问题,本质上就是两点间线段最短(间接运用三角形三边大小关系),通过点 的轴对称变换,把线段和转化为某一条线段求解,选择作适当的点的轴对称点往往是解
2、题的突破口 旋转解题要领:由旋转角相等,可以得到等角,由对应点到旋转中心的距离相等,可以得到线段相 等和等腰三角形;由图形的旋转求线段长时,常常用到勾股定理、锐角三角函数,全等三角形及相似三 角形的判定与性质;图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积整合在一起,注意学习运用 相似解题要领:证明两个三角形相似,最常用的方法:一是利用平行线构造相似三角形,二是两个 角对应相等证明两三角形相似;探求两个三角形相似的条件时,根据确定的已知条件,不拘泥于现成的 图形,充分考虑三角形相似的情形具体性质有:相似三角形对应线段的比等于相似比,其中只要说明 两线段是对应线段,就可以直接运用性质定理;利用相似三角形的
3、性质求面积时,不要忽视“相似比的平 方” 位似解题要领:利用点的坐标表示位似变换时,一般地是以原点为位似中心,但是,要注意位似中 心不是原点的情况;求位似图形相应点的坐标时,要注意是缩小还是扩大,是一种还是两种情形 【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创】【原创】在平面直角坐标系中,抛物线 2 9 4 yaxxc与 y 轴交于点 A(0,6),与x轴的正半轴交于点 B(8, 0),连接 AB,将线段 AB 绕着点 A 顺时针旋转,点 B 恰好落在 y 轴 C 点处,试解答下列问题: (1)这条抛物线的解析式; (2)求sinBAC的值; (
4、3)在抛物线上存在点 H,使得点 H 到 A、B 两点的距离相等,求点 H 的横坐标。 解析: (1)因为已知条件中 A、B 两点坐标,故可代入抛物线解析式,列二元一次方程组解得即可得到抛 物线解析式; (2)求三角函数值,首先要把角放在某一直角三角形内,故作 AB 边上的高 CD,如何求 CD 的值,借用面积法,从不同方法求解三角形 ABC 的面积,一是包围法:三角形 ABC 的面积 =AE AG- 1 2 BG AG- 1 2 CF BF- 1 2 EC AE, 二是直接利用面积公式: 三角形 ABC 的面积= 1 2 AB CD, 解得 CD 的值即可得到答案; (3)求点 H 到两端点
5、的距离,考虑到其一定在 AB 的垂直平分线上,故先求 垂直平分线的解析式,需要两个点的条件,可先利用勾股定理求得 x 轴上的一点,从而确定两点求得解析 式,代入抛物线解析式解得 x 的值,即可得到 H 的横坐标。 解: (1)抛物线 2 9 4 yaxxc过点 A(0,,6) 、B(8,0) 故有 6 64180 c ac 解得: 6 3 8 c a 此抛物线的解析式为: 2 39 6 84 yxx (2)因为 AB= 22 68=10,故 AC=10, 2 b a = 9 4 3 2 () 8 =3,AE= 22 103=91 作 CDAB,利用等面积法,作如图辅助线可得: 三角形 ABC
6、的面积= 1 2 AB CD=AE AG- 1 2 BG AG- 1 2 CF BF- 1 2 EC AE EC=3,CF=5,BF=91-6,GB=6,AG=8 可解得 CD= 4 91 9 5 sinBAC= CD AC = 4 91 9 50 (3)因为点 A 的坐标为(0,6),点 B 的坐标为(8,0),点 H 到 A、B 两点的距离相等,则点 H 一定在线段 AB 的垂直平分线上,平分线一定过点(4,3) 设垂直平分线交 x 轴于点(x,0),则有 62+x2=(8-x)2 解得:x= 7 4 ,则 AB 的垂直平分线过点( 7 4 ,0) ,(4,3), 令其解析式为 y=kx+
7、b,将点的坐标代入得: 43 7 0 4 kb kb ,解得:k= 4 3 ,b= 7 3 即:y= 4 3 x 7 3 ,代入抛物线解析式 2 39 6 84 yxx 有 2 39 6 84 xx = 47 33 x ,化简为: 2 9222000xx 解得: 1 111921 9 x , 2 111921 9 x 故点 H 的横坐标为11 1921 9 或11 1921 9 。 【典题【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三;精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三; 【例题【例题 1】如图,在平面直角坐标系中,ABC 的三个顶点分别为 A(1,1)、B(3,3)、C(4, 1) (1)画出AB
8、C 关于 y 轴对称的A1B1C1,并写出点 B 的对应点 B1的坐标; (2)画出ABC 绕点 A 按顺时针旋转 90 后的AB2C2,并写出点 C 的对应点 C2的坐标 【分析】(1)分别作出点 A,B,C 关于 y 轴的对称点,再首尾顺次连接即可得; (2)分别作出点 B,C 绕点 A 按顺时针旋转 90 后所得对应点,再首尾顺次连接可得 【解答】解:(1)如图(1)所示,A1B1C1即为所求,其中 B1的坐标为(3,3) (2)如图(2)所示,AB2C2即为所求,C2的坐标为(1,2) 【点评】本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换,解题的关键是熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定 义和性质
9、,并据此得出变换后的对应点 【例题【例题 2】已知AOB=90 ,在AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与 C 重合,它 的两条直角边分别与 OA、 OB(或它们的反向延长线)相交于点 D、E (1)当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1),易证:OD+OE=OC; (2)当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时,在图 2、图 3 这两种情况下,上述结论是否还成立?若 成立,请给予证明;若不成立,线段 OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明 【考点】旋转的性质;全等三角形的性质;全等三角形的判定;勾股定理 【专题
10、】探究型 【分析】(1)CD 与 OA 垂直时,根据勾股定理易得 OC 与 OD、OE 的关系,将所得的关系式相加即可得 到答案 (2) 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时, 易得CKDCHE, 进而可得出证明; 判断出结果 解 此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系,进而得出 OC 与 OD、OE 的关系;最后转化得到结论 【解答】解:(1)当 CD 与 OA 垂直时, CDO 为 Rt, OC= , , 由题意得四边形 ODCE 是正方形, OD+OE=OD+OD=2OD, OD+OE= (2)过点 C 分别作 CKOA,垂足为 K,CHOB,垂足为 H OM 为AO
11、B 的角平分线,且 CKOA,CHOB, CK=CH,CKD=CHE=90 , 又1 与2 都为旋转角, 1=2, CKDCHE, DK=EH, OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK 由(1)知:OH+OK=, OD+OE= (3)结论不成立 过点 C 分别作 CKOA, CHOB, OC 为AOB 的角平分线,且 CKOA,CHOB, CK=CH,CKD=CHE=90 , 又KCD 与HCE 都为旋转角, KCD=HCE, CKDCHE, DK=EH, OEOD=OH+EHOD=OH+DKOD=OH+OK, 由(1)知:OH+OK=, OD,OE,OC 满足 【例题【例
12、题 3】已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,A、B 均为锐角。 (1)当A=B 时,则 CD 与 AB 的位置关系是 CD AB,大小关系是 CD AB; (2)当AB 时, (1)中 CD 与 AB 的大小关系是否还成立,证明你的结论。 分析:(1)如图 1,需要根据题意画出图,然后做 DE 平行于 BC,推出B=AED,结合题意A=AED, 推出四边形 CBED 为平行四边形,继而推出 DC 平行且等于 BE,由于 BE 小于 AB,继而推出(1)的结论; (2)根据要求证的结论,可以通过作辅助线的形式把 DC,AB 等有关的线段引入到同一个三角形中,再通 过三角形的三遍关系论
13、证结论是否成立如图 2,分别过点 D、B 作 BC、CD 的平行线,两线交于 F 点,作 ADF 的平分线交 AB 于 G 点,连接 GF,推出四边形 BCDF 为平行四边形,可推出 BC=DF=AD,继而推 出ADGFDG,可得出 AG=FG,CD=FB,那么 FG+BGBF?AG+BGDC?DCAB (1)如图 1,CDAB,CDAB。 (2)CDAB 还成立。 证明如下:如图 2,分别过点 D、B 作 BC、CD 的平行线,两线交于 F 点。 四边形 DCBF 为平行四边形。 .,FBDCBCFD AD=BC, AD=FD。 作ADF 的平分线交 AB 于 G 点,连接 GF。 ADG=
14、FDG。 在ADG 和FDG 中 , , , DGDG FDGADG FDAD ADGFDG, AG=FG。 在BFG 中,BFBGFG。 .DCBGAG DCAB。 点评:本题主要考查了平行四边形判定定理,平行四边形性质,三角形三边关系,全等三角形的性质及判 定定理的综合应用 【例题【例题 4】在ABC 中,ABC45 ,BC4,tanC3,AHBC 于点 H,点 D 在 AH 上,且 DHCH, 连接 BD (1)如图 1,将BHD 绕点 H 旋转,得到EHF(点 B、D 分别与点 E、F 对应),连接 AE,当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合),求 AE 的长; (2)如图
15、2,EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到的,射线 CF 与 AE 相交于点 G,连接 GH,试 探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系,并说明理由 【分析】 (1)先根据 tanC3,求出 AH3,CH1,然后根据EHAFHC,得到 HP3AP,AE2AP, 最后用勾股定理即可; (2)先判断出AGQCHQ,得到,然后判断出AQCGQH,用相似比即可 【解答】(1)如图, 在 RtAHC 中, tanC3, 3, 设 CHx, BHAH3x, BC4, 3x+x4, x1, AH3,CH1, 由旋转知,EHFBHDAHC90 ,EHAH3,CHDHFH, EHF+AHFA
16、HC+AHF, EHAFHC, EHAFHC, EAHC, tanEAHtanC3, 过点 H 作 HPAE, HP3AP,AE2AP, 在 RtAHP 中,AP2+HP2AH2, AP2+(3AP)29, AP, AE; (2)如图 1, EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到, HDHF,AHF30 CHF90 +30 120 , 由(1)有,AEH 和FHC 都为等腰三角形, GAHHCG30 , CGAE, 点 C,H, G,A 四点共圆, CGHCAH, 设 CG 与 AH 交于点 Q, AQCGQH, AQCGQH, , EHF 是由BHD 绕点 H 逆时针旋转 30
17、 得到, EFBD, 由(1)知,BDAC, EFAC 2 即:EF2HG, 【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质 和判定,勾股定理,锐角三角函数的意义,等腰三角形的判定和性质,解本题的关键是相似三角形性质和 判定的运用 【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。 一、选择题: 1. (2017 山东聊城)山东聊城)如图,将ABC 绕点 C 顺时针旋转,使点 B 落在 AB 边上点 B处,此时,点 A 的对 应点 A恰好落在 BC 边的延长线上,下列结论错误的( ) ABCB=ACA BACB=2
18、B CBCA=BAC DBC 平分BBA 【分析】根据旋转的性质得到BCB=ACA,故 A 正确,根据等腰三角形的性质得到B=BBC,根据 三角形的外角的性质得到ACB=2B,等量代换得到ACB=2B,故 B 正确;等量代换得到 ABC=BBC,于是得到 BC 平分BBA,故 D 正确 【解答】解:根据旋转的性质得,BCB和ACA都是旋转角,则BCB=ACA,故 A 正确, CB=CB, B=BBC, 又ACB=B+BBC, ACB=2B, 又ACB=ACB, ACB=2B,故 B 正确; ABC=B, ABC=BBC, BC 平分BBA,故 D 正确; 故选 C 2. 如图,在正方形网格中,
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