1、 1 中考中考压轴题全揭秘压轴题全揭秘 专题专题 1818 综合问题综合问题 一、单选题一、单选题 1有一天，兔子和乌龟赛跑比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行不一会儿，乌龟就被远远 的甩在了后面兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿”而乌龟一刻不停地继续爬行当兔子 醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短 故选 D 【关键点拨】 本题考查了函数图象问题，本题需先读懂题意，根据实际情况找出正确函数图象即可 2 如图， 在
2、平面直角坐标系中， 直线 l1： y=x+1 与 x 轴， y 轴分别交于点 A 和点 B， 直线 l2： y=kx （k0） 与直线 l1在第一象限交于点 C若BOC=BCO，则 k 的值为（ ） A B C D2 2 【答案】B 【解析】 如图，过 C作 CDOA于 D 直线 l1：yx+1 中，令 x0，则 y1，令 y0，则 x2 ，即 A（2，0） ，B（0，1） ，RtAOB 中，AB3 BOCBCO，CBBO1，AC2 CDBO，ODAO，CDBO，即 C（ ） ，把 C（）代入直线 l2：ykx， 可得：k，即 k 故选 B 【关键点拨】 本题考查了两直线相交或平行问题，两条直
3、线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所 组成的二元一次方程组的解 3如图，点 A，B在双曲线 y= （x0）上，点 C在双曲线 y= （x0）上，若 ACy轴，BCx 轴，且 AC=BC，则 AB等于（ ） A B2 C4 D3 【答案】B 【解析】 点 C 在双曲线 y= 上，ACy轴，BCx 轴， 设 C（a， ） ，则 B（3a， ） ，A（a， ） ， 3 AC=BC， =3aa， 解得 a=1， （负值已舍去） C（1，1） ，B（3，1） ，A（1，3） ， AC=BC=2， RtABC中，AB=2， 故选 B 【关键点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征
4、，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横 纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 4如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB=30，若点 A 在反比例函数 y= （x0）的图象上， 则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ） Ay= By= Cy= Dy= 【答案】C 【解析】 过点 B作 BCx 轴于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D， BOA=90 ， BOC+AOD=90 ， AOD+OAD=90 ， BOC=OAD， 又BCO=ADO=90 ， BCOODA， =tan30 =， 4 ， ADDO= xy=3， SBCO= BCCO= SAOD=1， 经过点 B的反比例函数图象在第
5、二象限， 故反比例函数解析式为：y= 故选：C 【关键点拨】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出 SAOD=2 是解题关键 5如图，点 A的坐标为（0，1） ，点 B 是 x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作 RtABC，使BAC=90 ， ACB=30 ，设点 B的横坐标为 x，点 C的纵坐标为 y，能表示 y与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C 5 D 【答案】C 【解析】 如图所示：过点 C 作 CDy轴于点 D， BAC=90 ， DAC+OAB=90 ， DCA+DAC=90 ， DCA=OAB， 又CDA=AOB=90 ， CDAAO
6、B， =tan30 ， 则， 故 y=x+1（x0） ， 则选项 C 符合题意 故选：C 【关键点拨】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键 6如图，在ABCD中，AB=6，BC=10，ABAC，点 P 从点 B 出发沿着 BAC的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q随之停止运动，设点 P 运 动的路程为 x，y=PQ2，下列图象中大致反映 y与 x之间的函数关系的是（ ） 6 A B C D 【答案】B 【解析】 在 RtABC中，BAC=90 ，AB=6，BC=10，AC=8， 当 0x6
7、 时，AP=6x，AQ=x，y=PQ2=AP2+AQ2=2x212x+36； 当 6x8 时，AP=x6，AQ=x，y=PQ2=（AQAP）2=36； 当 8x14时，CP=14x，CQ=x8，y=PQ2=CP2+CQ2=2x244x+260， 故选 B 【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是 解题的关键. 7在同一直角坐标系中，二次函数 yx2与反比例函数 y（x0）的图象如图所示，若两个函数图象上 有三个不同的点 A（x1，m） ，B（x2，m） ，C（x3，m） ，其中 m为常数，令 x1+x2+x3，则 的值为（ ） A1 Bm C
8、m2 D 7 【答案】D 【解析】 设点 A、B在二次函数 yx2的图象上，点 C在反比例函数 y(x0)的图象上， 因为 A、B两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y轴对称，则 x1+x2 =0， 因为点 C(x3，m)在反比例函数图象上，则 x3= ， x1+x2+x3=， 故选 D. 【关键点拨】 本题考查了二次函数图象的轴对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上点纵坐标相 同时，对应点关于抛物线对称轴对称是解题的关键. 8如图，菱形 ABCD的边 AD 与 x轴平行，A、B两点的横坐标分别为 1和 3，反比例函数 y= 的图象经过 A、B两点，则菱形 ABCD的面积是（
9、） A4 B4 C2 D2 【答案】A 【解析】 如图，作 AHBC交 CB的延长线于 H， 反比例函数 y= 的图象经过 A、B两点，A、B 两点的横坐标分别为 1和 3， A、B 两点的纵坐标分别为 3和 1，即点 A的坐标为（1，3） ，点 B的坐标为（3，1） ， AH=31=2，BH=31=2， 由勾股定理得，AB=， 四边形 ABCD是菱形， BC=AB=2， 8 菱形 ABCD 的面积=BC AH=4， 故选 A 【关键点拨】 本题考查的是反比例函数的系数 k 的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出 A 的坐标、点 B 的坐标是解题的关键 9如图，在平面直角坐标系中，将
10、正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1，依此方式， 绕点O连续旋转 2018次得到正方形OA2018B2018C2018， 如果点A的坐标为 （1， 0） ， 那么点 B2018的坐标为 （ ） A （1，1） B （0，） C （） D （1，1） 【答案】D 【解析】 四边形 OABC是正方形，且 OA=1， B（1，1） ， 连接 OB， 由勾股定理得：OB=， 9 由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=， 将正方形 OABC 绕点 O逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1， 相当于将线段 OB 绕点 O逆时针旋转 45 ，依次得到AOB=B
11、OB1=B1OB2=45， B1（0， ） ，B2（-1，1） ，B3（- ，0） ， 发现是 8次一循环，所以 20188=252余 2， 点 B2018的坐标为（-1，1） 故选：D 【关键点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的 探究规律的方法 10如图，平面直角坐标系中，点 A是 x轴上任意一点，BC 平行于 x轴，分别交 y= （x0） 、y= （x0） 的图象于 B、C两点，若ABC的面积为 2，则 k值为（ ） A1 B1 C D 【答案】A
12、【解析】 连接 OC、OB，如图， BCx 轴， SACB=SOCB， 而 SOCB= |3|+ |k|， |3|+ |k|=2， 而 k0， k=1， 10 故选 A 【关键点拨】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作 垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变 11如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60 秒后将容器内 注满.容器内水面的高度 h（cm）与注水时间 t（s）
13、之间的函数关系图象大致是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60 秒后将容器内注满.因 为长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的 图像也是直线，但斜率小于初期，综上所述答案选 D. 【关键点拨】 能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键. 12如图，菱形 ABCD的边 ADy轴，垂足为点 E，顶点 A在第二象限，顶点 B 在 y轴的正半轴上，反比 例函数 y= （k0，x0）的图象同时经过顶点 C，D若点 C的横坐标为 5，BE=3DE，则 k
14、 的值为（ ） 11 A B3 C D5 【答案】C 【解析】 过点 D做 DFBC于 F， 由已知，BC=5， 四边形 ABCD是菱形， DC=5， BE=3DE， 设 DE=x，则 BE=3x， DF=3x，BF=x，FC=5-x， 在 RtDFC 中， DF2+FC2=DC2， （3x）2+（5-x）2=52， 解得 x=1， DE=1，FD=3， 设 OB=a， 则点 D坐标为（1，a+3） ，点 C 坐标为（5，a） ， 点 D、C在双曲线上， 1 （a+3）=5a， a= ， 12 点 C坐标为（5， ） k=. 故选 C 【关键点拨】 本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反
15、比例函数 k 值性质解题关键是通过勾股定理构造方程 13如图，曲线 C2是双曲线 C1：y= （x0）绕原点 O 逆时针旋转 45 得到的图形，P 是曲线 C2上任意一 点，点 A 在直线 l：y=x 上，且 PA=PO，则POA的面积等于（ ） A B6 C3 D12 【答案】B 【解析】 如图，将 C2及直线 y=x绕点 O 逆时针旋转 45 ，则得到双曲线 C3，直线 l与 y轴重合 双曲线 C3，的解析式为 y=- ， 过点 P 作 PBy轴于点 B， PA=PO， B 为 OA中点 SPAB=SPOB， 由反比例函数比例系数 k的性质，SPOB=3， POA的面积是 6. 13 故选
16、：B 【关键点拨】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数 k 的几何 意义 14如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A、C 分别在 x轴、y轴上， 反比例函数 y= （k0，x0）的图象与正方形 OABC的两边 AB、BC 分别交于点 M、N，NDx轴，垂足 为 D，连接 OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（ ） AONCOAM B四边形 DAMN 与OMN面积相等 CON=MN D若MON=45 ，MN=2，则点 C 的坐标为（0，+1） 【答案】C 【解析】 点 M、N都在 y= 的图象上， SONC=SO
17、AM= k，即 OCNC= OAAM， 四边形 ABCO为正方形， OC=OA，OCN=OAM=90 ， NC=AM， OCNOAM， A 正确； SOND=SOAM= k， 而 SOND+S四边形DAMN=SOAM+SOMN， 四边形 DAMN与MON面积相等， 14 B 正确； OCNOAM， ON=OM， k的值不能确定， MON的值不能确定， ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形， ONMN， C 错误； 作 NEOM于 E 点，如图所示： MON=45 ，ONE为等腰直角三角形， NE=OE， 设 NE=x，则 ON=x， OM=x， EM=x-x=（ -1）x， 在 RtN
18、EM中，MN=2， MN2=NE2+EM2，即 22=x2+（ -1）x2， x2=2+ ， ON2 =（x）2=4+2 ， CN=AM，CB=AB， BN=BM， BMN为等腰直角三角形， BN=MN=， 设正方形 ABCO的边长为 a，则 OC=a，CN=a-， 15 在 RtOCN中，OC2+CN2=ON2， a2+（a- ）2=4+2，解得 a1=+1，a2=-1（舍去） ， OC=+1， C 点坐标为（0，+1） ， D 正确 故选：C 【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意 义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股
19、定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算 15已知抛物线 y= x 2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距离与到 x 轴的距离始终 相等，如图，点 M 的坐标为（，3） ，P 是抛物线 y= x 2+1 上一个动点，则PMF 周长的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】 过点 M 作 MEx轴于点 E，交抛物线 y= x2+1 于点 P，此时PMF周长最小值， F（0，2） 、M（ ，3） ， ME=3，FM=2， PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5 故选 C 【关键点拨】 本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，
20、转化后的线段共线时为最值情 况. 16 16如图，AOB=90 ，且 OA、OB 分别与反比例函数 y= （x0） 、y= （x0）的图象交于 A、B 两 点，则 tanOAB 的值是（ ） A B C1 D 【答案】A 【解析】 过点 A作 ACx 轴于 C，过点 B作 BDx轴于 D， ACO=ODB=90 ， OBD+BOD=90 ， AOB=90 ， BOD+AOC=90 ， OBD=AOC， OBDAOC， ， 点 A在反比例函数 y= 的图象上，点 B 在反比例函数 y= 的图象上， SOBD= ，SAOC=2， ， tanOAB= 17 故选 A 【关键点拨】 本题是反比例函数综
21、合题，涉及的知识有相似三角形的判定与性质、反比例函数 k 的几何意义，证明 OBDAOC是解决本题的关键 17如图，抛物线 y= （x+2） （x8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径 作D下列结论：抛物线的对称轴是直线 x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；直线 CM与D相切其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 在 y= （x+2） （x8）中，当 y=0 时，x=2 或 x=8， 点 A（2，0） 、B（8，0） ， 抛物线的对称轴为 x=3，故正确； D的直径为 8
22、（2）=10，即半径为 5， D的面积为 25，故错误； 在 y= （x+2） （x8）= x2 x4 中，当 x=0时 y=4， 点 C（0，4） ， 当 y=4 时， x2 x4=4， 解得：x1=0、x2=6， 所以点 E（6，4） ， 则 CE=6， 18 AD=3（2）=5， ADCE， 四边形 ACED不是平行四边形，故错误； y= x2 x4= （x3）2 ， 点 M（3，） ， DM=， 如图，连接 CD，过点 M作 MNy轴于点 N，则有 N（0，） ，MN=3， C（0，-4） ，CN= ，CM2=CN2+MN2=， 在 RtODC中，COD=90 ，CD2=OC2+OD2
23、=25，CM2+CD2=， DM2= ， CM2+CD2=DM2， DCM=90 ，即 DCCM， CD是半径， 直线 CM 与D 相切，故正确， 故选 B 【关键点拨】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、 待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相 关知识是解题的关键. 18如图，是函数上两点， 为一动点，作 轴，轴，下列说法正确的是( ) 19 ；若，则平分；若，则 A B C D 【答案】B 【解析】 显然 AO与 BO不一定相等，故AOP 与BOP 不一定全等，故错误； 延长 BP，交 x轴
24、于点 E，延长 AP，交 y轴于点 F， AP/x 轴，BP/y轴，四边形 OEPF是矩形，SEOP=SFOP， SBOE=SAOF= k=6，SAOP=SBOP，故正确； 过 P 作 PMBO，垂足为 M，过 P 作 PNAO，垂足为 N， SAOP= OAPN，SBOP= BOPM，SAOP=SBOP，AO=BO， PM=PN，PO平分AOB，即 OP 为AOB 的平分线，故正确； 设 P（a，b） ，则 B（a，） 、A（，b） ， SBOP= BPEO=4， ab=4， SABP= APBP=8， 故错误， 综上，正确的为， 故选 B. 20 【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题，
25、正确添加辅助线、熟知反比例函数 k 的几何意义是解题的 关键. 19如图，直线都与直线 l垂直，垂足分别为 M，N，MN=1，正方形 ABCD的边长为 ，对角线 AC 在直线 l上，且点 C位于点 M处，将正方形 ABCD沿 l向右平移，直到点 A与点 N重合为止，记点 C平移 的距离为 x，正方形 ABCD的边位于之间部分的长度和为 y，则 y关于 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 由正方形的性质，已知正方形 ABCD的边长为，易得正方形的对角线 AC=2，ACD=45 ， 如图，当 0x1时，y=2， 如图，当 10）的图象分别与 AD，CD 交于点 M、点
26、 N，点 N 的坐标是（3，n） ，连接 OM，MC. （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：OMC是等腰三角形. 【答案】 （1）； （2）见解析. 【解析】 （1）四边形 ABCD是菱形， ADBC，AB=AD=BC=5， 在 RtAOB中，sinABC=， OA=4， 根据勾股定理得，OB=3， OC=BC-OB=2， C（2，0） ， AD=5，OA=4， D（5，4） ， 78 直线 CD的解析式为 y= x- ， 点 N的坐标是（3，n） ， n= ， N（3， ） ， 点 N在反比例函数 y= （x0）图形上， k=3 =4， 反比例函数的解析式为 y= ； （2）由（1）知
27、，反比例函数的解析式为 y= ， 点 M 在 AD上， M点的纵坐标为 4， 点 M 的横坐标为 1， M（1，4） ， C（2，0） ， OM= ，CM= ， OM=CM， OMC是等腰三角形 【关键点拨】 本题是反比例函数综合题，考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，待定系数 法，两点间的距离公式，求出直线 CD 的解析式是解题的关键 62如图，已知ABC 的顶点坐标分别为 A（3，0） ，B（0，4） ，C（-3，0）.动点 M，N 同时从 A 点出发， M 沿 AC,N 沿折线 ABC，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 C 时，另一个动点 也
28、随之停止移动，移动时间记为 t 秒.连接 MN. （1）求直线 BC 的解析式； （2）移动过程中，将AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，求此时 t 值及点 D 的坐标； （3）当点 M,N 移动时，记ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S，求 S 关于时间 t 的函数关系式. 79 【答案】 （1）y= x+4； （2）D（-，） ； （3）当 0t5 时，S= t2,当 5t6 时，S= t2+t-12. 【解析】 （1）设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为 （2）如图，连接交于点 由题意：四边形是菱形， ， 点 在上， ， 解得 时，点 恰好
29、落在边上点 处，此时， （3）如图 2中，当时，在直线右侧部分是， 80 如图 3 中，当时，在直线右侧部分是四边形 【关键点拨】 考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角 形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 63如图，在矩形 ABCO 中，AO=3，tanACB= ，以 O 为坐标原点，OC 为 轴，OA 为 轴建立平面直角坐标 系.设 D，E 分别是线段 AC，OC 上的动点，它们同时出发，点 D 以每秒 3 个单位的速度从点 A 向点 C 运动， 点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C
30、 向点 O 运动，设运动时间为 秒. （1）求直线 AC 的解析式； （2）用含 的代数式表示点 D 的坐标； （3）当 为何值时，ODE 为直角三角形？ （4）在什么条件下，以 RtODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于 轴的抛物线？并请选择一种情况， 求出所确定抛物线的解析式. 【答案】 （1）； （2）D（，） ； （3），； （4） 【解析】 （1）根据题意，得 CO=AB=BCtanACB=4，则 A（0，3） 、B（4，3） 、C（4，0） ； 设直线 AC的解析式为：y=kx+3，代入 C 点坐标，得： 4k+3=0，k=- ， 直线 AC：； 81 （2）分别作 DFAO，D
31、HCO，垂足分别为 F，H， 则有ADFDCHACO， AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而 AD=（其中 0 ） ，OC=AB=4，AC=5，FD= AD= ，AF= AD=， DH=，HC=， D（，） ； （3）CE= ，E（ ，0） ，OE=OC-CE=4- ，HE=|CH-CE|=， 则 OD2=DH2+OH2= =， DE2=DH2+HE2=， 当ODE 为 Rt时，有 OD2+DE2=OE2，或 OD2+OE2=DE2，或 DE2+OE2=OD2， 即， 或， 或， 上述三个方程在 0 内的所有实数解为 ，； （4）当 DOOE，及 DEOE时，即和时，以
32、RtODE 的三个顶点不确定对称轴平行于 轴的 抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于 轴的抛物线 D（，） ，E（4- ，0） ， 当时，D（， ） ，E（3，0） ，因为抛物线过 O（0，0） ， 所以设所求抛物线为，将点 D，E 坐标代入，求得， 82 所求抛物线为. （当时，所求抛物线为）. 【关键点拨】 本题考查的是代数几何综合应用，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理、二次函数等知识， 综合性较强， ，有一定的难度，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想进行解题的关键. 64如图， （图 1，图 2） ，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在线段 BC
33、上，AEF=90,且 EF 交正方 形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点 N, FNBC. （1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1） ，AE 与 EF 相等吗？ （2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2） ，设 BE=x，ECF 的面积为 y. 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值. 【答案】 （1）AE=EF； （2）y=- x 2+2x（0x4)，当 x=2,y 最大值=2. 【解析】 （1）如图，在 AB上取 AG=EC， 四边形 ABCD是正方形， AB=BC， 有AG=EC ，BG=BE ， 又B=90 ， AGE=1
34、35 ， 又BCD=90 ，CP 平分DCN， ECF=135 ， BAEAEB=90 ，AEBFEC=90 ， BAE=FEC， 83 在AGE 和ECF中， , AGEECF， AE=EF； (2)由（1）证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF， BAE=NEF，B=ENF=90 ， ABEENF， FN=BE=x， SECF= (BC-BE) FN， 即 y= x(4-x） ， y=- x2+2x（0x4)， ， 当 x=2，y最大值=2. 【关键点拨】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助 线、熟练掌握相关知识是解题的关键
35、 65如图，已知点 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，1）在抛物线 y=ax2+bx+c上 （1）求抛物线解析式； （2）在直线 BC上方的抛物线上求一点 P，使PBC面积为 1； （3）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使BQC=BAC？若存在，求出 Q 点坐标；若 不存在，说明理由 84 【答案】 （1）抛物线的解析式为 y= x2+ x+1； （2）点 P 的坐标为（1， ）或（2，1） ； （3）存在，理由见 解析 【解析】 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+1） （x3） ，将 C（0，1）代入得3a=1，解得：a= ， 抛物线的解析式为 y= x2+ x
36、+1； （2）过点 P 作 PDx，交 BC与点 D， 设直线 BC的解析式为 y=kx+b，则，解得：k= ， 直线 BC的解析式为 y= x+1， 设点 P（x， x2+ x+1） ，则 D（x， x+1） ， PD=（ x2+ x+1）（ x+1）= x2+x， SPBC= OBDP= 3 （ x2+x）= x2+ x， 又SPBC=1， x2+ x=1，整理得：x23x+2=0，解得：x=1或 x=2， 点 P 的坐标为（1， ）或（2，1） ； （3）存在 A（1，0） ，C（0，1） ， OC=OA=1， BAC=45 ， BQC=BAC=45 ， 点 Q为ABC外接圆与抛物线对称
37、轴在 x轴下方的交点， 85 设ABC 外接圆圆心为 M，则CMB=90 ， 设M 的半径为 x，则 RtCMB 中，由勾股定理可知 CM2+BM2=BC2，即 2x2=10， 解得：x=（负值已舍去） ， AC的垂直平分线的为直线 y=x，AB 的垂直平分线为直线 x=1， 点 M 为直线 y=x与 x=1 的交点，即 M（1，1） ， Q 的坐标为（1，1） 【关键点拨】 本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得 点 M的坐标以及M 的半径的长度是解题的关键 66如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，ADB=30P，Q 两点分别从 A
38、，B 同时出发，点 P 沿折线 ABBC 运 动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过 点 P 作 PNAD，垂足为点 N连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作PQMN设运动的时间为 x（s） ，PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm 2） （1）当 PQAB 时，x 等于多少； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分时，直接写出 x 的值 【答案】 （1） s； （2）y=； （3）当 x= s
39、 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面 积分成 1：3 两部分 【解析】 (1)当 PQAB时，BQ=2PB， 2x=2（22x） ， 86 x= s (2)如图 1 中，当 0x 时，重叠部分是四边形 PQMN y=2xx=2x2 如图中，当 x1 时，重叠部分是四边形 PQEN y= (2x+2x)x=x2+x. 如图 3 中，当 1x2 时，重叠部分是四边形 PNEQ y= (2x+2)x2(x1)=x23x+4； 87 综上所述，y= （3）如图 4 中，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件 则有：tanEAB=tanQPB， =， 解得 x= 如图 5 中，当直线
40、AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件 此时 tanDEA=tanQPB， =， 解得 x= ， 综上所述，当 x= 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分 88 故答案为：(1) s；(2)y=；(3)x= 或 【关键点拨】 本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关 键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题 67 如图1， 直线l：与x轴交于点， 与y轴交于点B， 点C是线段OA上一动点 以点 A为圆心，AC 长为半径作交 x 轴于另一点 D，交线段 AB于点 E，连结 OE并
41、延长交于点 F 求直线 l的函数表达式和的值； 如图 2，连结 CE，当时， 求证：； 求点 E的坐标； 当点 C在线段 OA 上运动时，求的最大值 【答案】 （1）直线 l的函数表达式，；证明见解析；E； 最 大值为 【解析】 （1）直线 l：与 x 轴交于点， ， ， 直线 l的函数表达式， ， 89 ， 在中，； 如图 2，连接 DF， ， ， ， ， 四边形 CEFD 是的圆内接四边形， ， ， ， ， 过点于 M， 由知， 设，则， ， ， ， 由知， ， ， ， ， ， 舍 或， ， ； 90 如图，设的半径为 r，过点 O 作于 G， ， ， ， ， ， ， ， 连接 FH， 是
42、直径， ， ， ， ， ， 时，最大值为 【关键点拨】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾 股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助 线进行图形构建是解本题的关键 68如图，已知抛物线过点 A(,-3) 和 B(3,0)，过点 A 作直线 AC/x 轴，交 y 轴与 点 C. （1）求抛物线的解析式； 91 （2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D，连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的三 角形与AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 Q，使
43、得?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）； （2）P 点坐标为（4 ,6）或（,- ） ； （3）Q 点坐标（3，0）或（-2， 15） 【解析】 （1）把，和点，代入抛物线得：， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）当 在直线上方时， 设 坐标为，则有， 当时，即， 整理得：，即， 解得：，即或（舍去） ， 此时，； 当时，即， 整理得：，即， 解得：，即或（舍去） ， 92 此时，； 当点时，也满足； 当 在直线下方时，同理可得： 的坐标为， 综上， 的坐标为，或，或，或； （3）在中， 根据勾股定理得：， ， ， ， 边上的高为 ， 过 作，截取，过作，交
44、 轴于点 ，如图所示： 在中，即， 过作轴， 在中，即， 设直线解析式为， 把坐标代入得：，即，即， 联立得：， 解得：或，即，或， 93 则抛物线上存在点 ，使得，此时点 的坐标为，或， 【关键点拨】 二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离 公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 69菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 AC 与 BD 的交点 E 恰好在 y 轴上，过点 D 和 BC 的中点 H 的直线交 AC 于点 F，线段 DE，CD 的长是方程 x29x+18=0 的两根，请解答下列问题： （1）求点 D 的坐
45、标； （2）若反比例函数 y= （k0）的图象经过点 H，则 k= ； （3）点 Q 在直线 BD 上，在直线 DH 上是否存在点 P，使以点 F，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） （ ，3） （2） （3） （ ，）或（，5）或（，） 【解析】 （1）x29x+18=0， （x3） （x6）=0， x=3 或 6， CDDE， CD=6，DE=3， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AE=EC=3， DCA=30，EDC=60， 94 RtDEM 中，DEM=30， DM=DE=， OMAB， S菱形 AB
46、CD=ACBD=CDOM， =6OM，OM=3， D（，3） ； （2）OB=DM=，CM=6=， B（，0） ，C（，3） ， H 是 BC 的中点， H（3，） ， k=3=； 故答案为：； （3） DC=BC，DCB=60， DCB 是等边三角形， H 是 BC 的中点， DHBC， 当 Q 与 B 重合时，如图 1，四边形 CFQP 是平行四边形， FC=FB， FCB=FBC=30， 95 ABF=ABCCBF=12030=90， ABBF，CPAB， RtABF 中，FAB=30，AB=6， FB=2=CP， P（，） ； 如图 2，四边形 QPFC 是平行四边形， CQPH， 由知：PHBC， CQBC， RtQBC 中，BC=6，QBC=60， BQC=30， CQ=6， 连接 QA， AE=EC，QEAC，
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