1、武汉市 2020 届高中毕业生学习质量检测 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数(12i)(1i) ()aaR，若zR，则实数a （ ） A 1 2 B 1 2 C2 D2 1答案：D 解析：(12i)(1i)(1 2 )(2)i,20,2aaaaa R 2已知集合 | 12, | (3)0MxxNx x x ，则MN （ ） A 3,2) B( 3,2) C( 1,0 D( 1,0) 2答案：C 解析： | 12, | (3)0 | 30,( 1,0MxxNx x xxxMN 3同时抛掷两个质地
2、均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（ ） A 1 6 B 5 18 C 1 9 D 5 12 3答案：A 解析：同时抛掷两个质地均匀的骰子，共有6 636种情况，其中向上的点数之和小于 5 的情况有 (1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2), (3,1)共 6 种情况，所以所求概率 61 366 P 4在正项等比数列 n a中， 5142 15,6aaaa，则 3 a （ ） A2 B4 C 1 2 D8 4答案：B 解析：设 n a的公比为q，则 4222 2 51 32 42 1(1)(1)1155 ,2520, (1)62 aaqqqq qq aaqqq q
3、q (21)(2)0qq，解得 1 2 q 或2q ， 当 1 2 q 时， 4 51111 15 (1)15,16 16 aaqaaa ，舍去； 当2q 时， 42 5111131 (1)1515,1,4aaqaaaaa q 5执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（ ） A 5 3 B 8 5 C13 8 D 21 13 5答案：C 解析： 1325 0,11,1 122,13,1 2233 isisisis 是是是 38513 4,15,1 5588 isis 是是否，输出 13 8 s 6 已知等边ABC内接于圆 22 :1xy， 且P是圆上一点， 则 PAPBPC 的最大值是 （ ）
4、 A2 B1 C3 D2 6答案：D 解析：建立如图所示平面直角坐标系，则 1313 (1,0), 2222 ABC ，设(cos ,sin )P， 则 2 (1 cos , sin ) ( 12cos ,2sin )(1 cos )( 1 2cos )2sinPAPBPC 22 2coscos12sin1 cos2 ，当且仅当，即( 1,0)P 时，取等号 C B OA 7已知函数 22 ( )sinsin 3 f xxx ，则( )f x的最小值为（ ） A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 2 2 7答案：A 解析： 2 222 13 ( )sinsinsinsincos 322 f
5、xxxxxx 22 53331 cos23111 sincossin cossin21sin 21 4424442622 x xxxxxx 8 已知数列 n a满足 2 111 1, (1)4 nnnn aaaa a ， 且 1 () nn aan N， 则数列 n a的通项公式 n a （ ） A2n B 2 n C2n D32n 8答案：B 解析：结合选项可知1 n a ，由 2 11 (1)4 nnnn aaa a ，得 11 12 nnnn aaa a ， 2 1 ()1 nn aa ，又 1nn aa ， 1 1 nn aa ，所以数列 n a是首项为 1，公差为 1 的等差 数列，
6、 2 , nn an an 9已知 0.40.8 8 0.8,0.4,log 4abc，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 9答案：D 解析： 52545555 8 232 0.80.64,0.40.0256,log 4,0.1317, 3243 abccbca， bca 10青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教 育”精神，现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校 至少去 1 人，则恰有 2 名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A 2 5 B 3 5 C 1 5 D 2 15 10答
7、案：A 解析：所有可能的情况有 21 33 53 53 2 2 150 C C CA A 种， 其中恰有 2 名大学生分配去甲学校的情况有 222 532 60C C A 种，所以所求概率 602 1505 P 11已知点P在椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点 P关于x轴的对称点为Q，设 3 4 PDPQ ，直线AD与椭圆的另一个交点为B，若PAPB，则椭 圆的离心率e （ ） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 11答案：C 解析：设 11 ( ,)P x y，则 1 11111 (,),( ,), 2 y AxyQ
8、 xyD x ，设 22 (,)B xy， 由 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， 两式相减， 得 2 121212121212 222 1212 ()()()() AB xxxxyyyyyyxxb k abxxayy ， 112 112 4 ADAB yyy kk xxx ，又 112 112 4() PA yyy k xxx ， 则由1 PAPB PAPBkk ，可得 2 222222 2 3 4144()34 2 b abacace a B D QA O P 12已知关于x的不等式 3 ln1 x e xax x 对于任意(1,)x恒成立，则实数a的取
9、值范围为（ ） A(,1 e B(, 3 C(, 2 D 2 (,2e 12答案：B 解析：由 3 ln1 x e xax x ，得 33ln3ln 3 1 111 lnlnlnln x xxxxx e x x exeexex x a xxxx ， 由经典不等式1 x ex，可得 3ln 13ln11 33 lnln xx exxxx a xx - - 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知以20xy为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 13答案： 22 1 123 xy 解析：由20xy，得 22 40xy，故可设所求双
10、曲线方程为 22 4xy，将(4,1)代入， 得12，所以该双曲线的标准方程为 22 1 123 xy 14若函数 cos ( ) sin xa f x x 在0, 2 上单调递减，则实数a的取值范围为 14答案： 1,) 解析：由题意可知， 2 22 sincos (cos)1cos ( )0 sinsin xxxaax fx xx 对0, 2 x 恒成立， 即cos1ax对0, 2 x 恒成立，因为cos(0,1)x，所以cos(0,1)x，所以 1 cos a x 恒成立， 而 11 (1,),(, 1) coscosxx 所以1a 15根据气象部门预报，在距离某个码头 A 南偏东 45
11、方向的 600 km 处的热带风暴中心 B 正以 30 km/h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后 该码头 A 将受到热带风暴的影响（精确到 0.01） 15答案：9.14 解析：以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，则(300 2,300 2)B，热带风暴的运动路线为直线 300 2x ，(300 2,0)D，450AC ， 则 2222 45018000022500CDACAD，150CD， 300 2150BC ，所需时间为 300 2150 10 2514.1459.14 30 小时 D C B A 16在三棱锥SABC中，
12、底面ABC是边长为 3 的等边三角形，3,2 3SASB，若此三棱锥外 接球的表面积为21，则二面角SABC的余弦值为 16答案： 1 2 解析： 设外接球半径为R， 则 22 2121 421 , 42 RRR， 因为 222, 90SAABSBSAB， SAB所在外接圆的圆心为SB的中点 2 O，外接圆半径 2 3r ，设ABC的中心为 1 O，则ABC外 接圆的半径 1 3r ，设D为AB中点，连接 12 ,DO DO，则 12 3 2 DODO， 则易证得 12 ,ABDO ABDO，所以 12 O DO即为二面角SABC的平面角，过点 1 O作平面ABC 的垂线，过点 2 O作平面S
13、AB的垂线，两条垂线交于点O，则点O即为外接球的球心，连接DO，则 22 11 213 3 42 OORr， 22 22 3 2 OORr， 1 11 1 tan3,60 OO ODOODO DO ， 同理 2 60ODO，所以 1212 1 120 , cos 2 O DOO DO S A B C D O1 O2 O O2 O D O1 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别
14、为, ,a b c 已知 tantan 4, tantan ABcb a ABc （1）求A的余弦值； （2）求ABC面积的最大值 17 解析：（1） 由 tantan tantan ABcb ABc ， 得 (tantan)2tan tantan ABBcb ABc ， 即 2tan 11 tantan Bb ABc ， 2tan tantan Bb ABc ，又由正弦定理 sin sin bB cC ，可得 2tansin tantansin BB ABC ， 即 2sinsinsin sinsin coscoscos BAB CB BAB ，由sin0B ， 整理得：2sincossin
15、coscossinsin()sinCAABABABC，4 分 由sin0C ，得 1 cos 2 A6 分 （2）由（1）知 3 A ，则由余弦定理可得 22222 2cos2abcbcAbcbcbcbcbc， 当且仅当bc时等号成立，即 2 16bca 9 分 所以 113 sin164 3 222 ABC SbcA 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，,P Q L分别为棱 1111 ,AD C D BC的中点 （1）求证：ACQL； （2）求点A到平面PQL的距离 A B C D D1 C1 A1 B1 P Q L 18解析：
16、 （1）取DC的中点H，连接,QH HL BD，在正方体 1111 ABCDABC D中，Q为 11 C D的中 点，则QHCD，从而QH 平面ABCD，所以QHAC，2 分 在正方形ABCD中，HL、分别是CDBC、的中点，所以/BDHL， 而ACBD，所以HLAC4 分 又QHHLH，所以AC 平面QHL，所以ACQL6 分 A B C D D1 C1 A1 B1 P Q L M H N T （2）取AB的中点M，连接MLMPPAAL、，由ACQL，/MLAC知MLQL，则四边形 PQLM为矩形，即点A到平面PQL的距离即为点A到平面PML的距离，设其值为h，8 分 在四面体PAML中，
17、2 111 22 2 28 AML a a SAMBLa ， 22 22 1123 222224 PML aa SMLPMaaa ， 由等体积法可知： P AMLA PML VV ，即 2 2 113 3834 a aah，解得 3 6 ha， 故点A到平面PQL的距离为 3 6 a12 分 （2）解法二：设ACHLN，易证得/ACPQ，又AC 平面PQL，PQ 平面PQL， 所以/AC平面PQL， 所以点A到平面PQL的距离即为点N到平面PQL的距离 又因为N是HL的中 点，所以点N到平面PQL的距离为点H到平面PQL的距离的一半 过H作HTQL， 垂足为T， 由 （1） 知AC 平面QHL
18、， 所以ACHT， 又/ACPQ， 所以HTPQ， 而PQQLQ，所以HT 平面PQL， 在RtHQL中， 2 2 226 , 222 HQa HLa QLaaa ， 由等面积法可知 2 3 2 36 2 aa HQ HL HTa QL a ，所以点A到平面PQL的距离为 3 6 a12 分 19 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2(0)ypx p的焦点为F，P是抛物线上一点， 且在第一象限， 满足(2,2 3)FP （1）求抛物线的方程； （2）已知经过点(3, 2)A的直线交抛物线于,M N两点，经过定点(3, 6)B和M的直线与抛物线交 于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如
19、果过定点，求出该定点，否则说明理由 19解析： （1） 2 2(0)ypx p的焦点为,0 2 p F ，而(2,2 3)FP ，所以点2,2 3 2 p P ， 又点P在抛物线 2 2ypx上，所以 2 (2 3)22 2 p p ，即 2 4120pp，(6)(2)0pp， 而0p ，故2p ，则抛物线的方程为 2 4yx4 分 （2）设 001122 (,),( ,),(,)M xyN x yL xy，则 222 001122 4,4 ,4yxyxyx， 直线MN的斜率为 1010 22 101010 4 4 MN yyyy k yyxxyy 则 2 0 0 10 4 : 4 MN y
20、lyyx yy ，即 01 01 4xy y y yy ；同理 02 02 4 : ML xy y ly yy ； 将(3, 2),(3, 6)AB分别代入、两式，得 01 01 02 02 12 2 12 6 y y yy y y yy ，消去 0 y得 12 12y y ，9 分 易知直线 12 121212 44124(3) : NL xy yxx ly yyyyyy ，因此直线NL恒过定点( 3,0)12 分 4 2 2 4 6 5 LN B A M 20 （本小题满分 12 分） 有人收集了某 10 年中某城市居民收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品销售额的相 关数据
21、： 第 n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入/亿元(x) 32.0 31.0 33.0 36.0 37.0 38.0 39.0 43.0 45.0 x10 商品销售额/万元(y) 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10 且已知 10 1 380.0 i i x （1）求第 10 年的年收入 10 x； （2）若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程 363 254 yxa， （）求第 10 年的销售额 10 y； （）若该城市居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到 0.0
22、1） ， 附加：在线性回归方程 ybxa中， 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y baybx xnx （2） 1099 22 111 10254.0,12875.0,340.0 iiii iii xxx yy 20解析： （1）依题意 10 1 380.0 i i x ，则 10 3231 33363738394345380x， 解得 10 46x3 分 （2） （）由居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程 363 254 yxa知 363 254 b ， 即 10 1 10 22 1 10 363 254 10 ii i i i x yx y b xx ，
23、 即 10 10 340 128754610 38 363 10 254254 y y ，解得 10 51y8 分 （）易得3839.1xy，代入 363 254 yxa，得： 363 39.138 254 a，解得15.21a ， 所以 363 15.21 254 yx，10 分 当40x 时， 363 40 15.2141.96 254 y 若该城市居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是 41.96 万元12 分 21 （本小题满分 12 分） （1）证明函数2sin2 cos x yexxx在区间, 2 上单调递增； （2）证明函数( )2sin x e f xx x 在(
24、,0)上有且仅有一个极大值点 0 x，且 0 0()2f x 21解析： （1）2cos2(cossin )2 sin4cos xx yexxxxexxx ，2 分 因为, 2 x ，所以0, 2 sin0,4cos0 x exxx，故0y ， 所以函数2sin2 cos x yexxx在区间, 2 上单调递增4 分 （2） 2 2 (1)2cos ( ) x exxx fx x ，5 分 令 2 ( )(1)2cos x g xexxx，则( )(2 sin4cos ) x g xx exxx， 当, 2 x 时，由（1）知2 sin4cos0 x exxx，则( )0g x，故( )g x
25、在, 2 单调递 减，而 2 10,()8(1)0 22 gege ， 由零点存在定理知：存在唯一的 0 , 2 x 使得 0 ()0g x7 分 即 0 000 2sin4cos0 x exxx当 0 (,)xx 时，( )0,( )0,( )g xfxf x单调递增； 当 0, 2 xx 时，( )0,( )0,( )g xfxf x单调递减 又当,0 2 x 时， 2 (1) ( )2cos0 x ex fxx x ，所以( )f x在,0 2 上为减函数，从而( )f x在 0 (,0)xx上为减函数，因此( )f x有唯一的极大值点 0 x9 分 由( )f x在 0, 2 x 上单
26、调递减，故 0 () 2 f xf ， 而 2 2 1 2sin20 22 2 2 e f e ，故 0 ()0f x， 又 0 00 0 ()2sin x e f xx x ，当, 2 x 时， 0 0 0 10,02sin2 x e x x ，故 0 ()2f x 所以 0 0()2f x12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 5cos 4sin x y （为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴正半 轴为极轴建立
27、极坐标系，曲线 2 2: 4cos30C （1）求曲线 1 C的一般方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若点P在曲线 1 C上，点Q在曲线 2 C上，求PQ的最小值 22解析： （1）由 5cos 4sin x y ，消去参数，可得 22 1 2516 xy 2 分 曲线 2 C的极坐标方程为 2 4cos30，又因为 222, cosxyx，可得曲线 2 C的直角坐 标方程为 22 430xyx5 分 （2）曲线 2 C的标准方程为 22 (2)1xy，是一个以(2,0)M为圆心，半径为 1 的圆， 设(5cos ,4sin )P，则 2 222 (5cos2)16sin9cos20c
28、os20MP，7 分 由1cos1 可知，当cos1时， 2 min 920209MP，故 min 3MP，9 分 从而 min 321PQ10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )21f xxaxa （1）当4a 时，求解不等式( )8f x ； （2）已知关于x的不等式 2 ( ) 2 a f x 在R上恒成立，求参数a的取值范围 23解析： （1）当4a 时，2438xx， 当3x 时，2438xx ，解得5x，所以5x； 当23x时，2438xx ，解得9x，此时无解； 当2x 时，4238xx ，解得 1 3 x，所以 1 3 x 综上，原不等式的解集为 1 ,5,) 3 5 分 （2）( )21211(1)1 2222 aaaa f xxaxaxxaxxaxxa 当且仅当 2 a x 时等号成立，即( )f x的最小值为1 2 a ，依据题意可得 2 1 22 aa ， 2 2aa， 当2a时， 22 2,20aaaa，此时无解； 当2a 时， 22 2,20, (2)(1)0,21aaaaaaa 综上，参数a的取值范围是 2,110 分
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