湖北省武汉市2020届高三毕业生3月学习质量检测数学理科试题含解析(PDF版)
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1、武汉市 2020 届高中毕业生学习质量检测 理科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 1已知复数(12i)(1i) ()aaR,若zR,则实数a ( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 1答案:D 解析:(12i)(1i)(1 2 )(2)i,20,2aaaaa R 2已知集合 | 12, | (3)0MxxNx x x ,则MN ( ) A 3,2) B( 3,2) C( 1,0 D( 1,0) 2答案:C 解析: | 12, | (3)0 | 30,( 1,0MxxNx x xxxMN 3同时抛掷两个质地
2、均匀的骰子,向上的点数之和小于 5 的概率为( ) A 1 6 B 5 18 C 1 9 D 5 12 3答案:A 解析:同时抛掷两个质地均匀的骰子,共有6 636种情况,其中向上的点数之和小于 5 的情况有 (1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2), (3,1)共 6 种情况,所以所求概率 61 366 P 4在正项等比数列 n a中, 5142 15,6aaaa,则 3 a ( ) A2 B4 C 1 2 D8 4答案:B 解析:设 n a的公比为q,则 4222 2 51 32 42 1(1)(1)1155 ,2520, (1)62 aaqqqq qq aaqqq q
3、q (21)(2)0qq,解得 1 2 q 或2q , 当 1 2 q 时, 4 51111 15 (1)15,16 16 aaqaaa ,舍去; 当2q 时, 42 5111131 (1)1515,1,4aaqaaaaa q 5执行如图所示的程序框图,输出的s的值为( ) A 5 3 B 8 5 C13 8 D 21 13 5答案:C 解析: 1325 0,11,1 122,13,1 2233 isisisis 是是是 38513 4,15,1 5588 isis 是是否,输出 13 8 s 6 已知等边ABC内接于圆 22 :1xy, 且P是圆上一点, 则 PAPBPC 的最大值是 ( )
4、 A2 B1 C3 D2 6答案:D 解析:建立如图所示平面直角坐标系,则 1313 (1,0), 2222 ABC ,设(cos ,sin )P, 则 2 (1 cos , sin ) ( 12cos ,2sin )(1 cos )( 1 2cos )2sinPAPBPC 22 2coscos12sin1 cos2 ,当且仅当,即( 1,0)P 时,取等号 C B OA 7已知函数 22 ( )sinsin 3 f xxx ,则( )f x的最小值为( ) A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 2 2 7答案:A 解析: 2 222 13 ( )sinsinsinsincos 322 f
5、xxxxxx 22 53331 cos23111 sincossin cossin21sin 21 4424442622 x xxxxxx 8 已知数列 n a满足 2 111 1, (1)4 nnnn aaaa a , 且 1 () nn aan N, 则数列 n a的通项公式 n a ( ) A2n B 2 n C2n D32n 8答案:B 解析:结合选项可知1 n a ,由 2 11 (1)4 nnnn aaa a ,得 11 12 nnnn aaa a , 2 1 ()1 nn aa ,又 1nn aa , 1 1 nn aa ,所以数列 n a是首项为 1,公差为 1 的等差 数列,
6、 2 , nn an an 9已知 0.40.8 8 0.8,0.4,log 4abc,则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 9答案:D 解析: 52545555 8 232 0.80.64,0.40.0256,log 4,0.1317, 3243 abccbca, bca 10青春因奉献而美丽,为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教 育”精神,现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教,每个学校 至少去 1 人,则恰有 2 名大学生分配去甲学校的概率为( ) A 2 5 B 3 5 C 1 5 D 2 15 10答
7、案:A 解析:所有可能的情况有 21 33 53 53 2 2 150 C C CA A 种, 其中恰有 2 名大学生分配去甲学校的情况有 222 532 60C C A 种,所以所求概率 602 1505 P 11已知点P在椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点 P关于x轴的对称点为Q,设 3 4 PDPQ ,直线AD与椭圆的另一个交点为B,若PAPB,则椭 圆的离心率e ( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 11答案:C 解析:设 11 ( ,)P x y,则 1 11111 (,),( ,), 2 y AxyQ
8、 xyD x ,设 22 (,)B xy, 由 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab , 两式相减, 得 2 121212121212 222 1212 ()()()() AB xxxxyyyyyyxxb k abxxayy , 112 112 4 ADAB yyy kk xxx ,又 112 112 4() PA yyy k xxx , 则由1 PAPB PAPBkk ,可得 2 222222 2 3 4144()34 2 b abacace a B D QA O P 12已知关于x的不等式 3 ln1 x e xax x 对于任意(1,)x恒成立,则实数a的取
9、值范围为( ) A(,1 e B(, 3 C(, 2 D 2 (,2e 12答案:B 解析:由 3 ln1 x e xax x ,得 33ln3ln 3 1 111 lnlnlnln x xxxxx e x x exeexex x a xxxx , 由经典不等式1 x ex,可得 3ln 13ln11 33 lnln xx exxxx a xx - - 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知以20xy为渐近线的双曲线经过点(4,1),则该双曲线的标准方程为 13答案: 22 1 123 xy 解析:由20xy,得 22 40xy,故可设所求双
10、曲线方程为 22 4xy,将(4,1)代入, 得12,所以该双曲线的标准方程为 22 1 123 xy 14若函数 cos ( ) sin xa f x x 在0, 2 上单调递减,则实数a的取值范围为 14答案: 1,) 解析:由题意可知, 2 22 sincos (cos)1cos ( )0 sinsin xxxaax fx xx 对0, 2 x 恒成立, 即cos1ax对0, 2 x 恒成立,因为cos(0,1)x,所以cos(0,1)x,所以 1 cos a x 恒成立, 而 11 (1,),(, 1) coscosxx 所以1a 15根据气象部门预报,在距离某个码头 A 南偏东 45
11、方向的 600 km 处的热带风暴中心 B 正以 30 km/h 的速度向正北方向移动,距离风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响,从现在起经过 小时后 该码头 A 将受到热带风暴的影响(精确到 0.01) 15答案:9.14 解析:以A为原点建立如图所示平面直角坐标系,则(300 2,300 2)B,热带风暴的运动路线为直线 300 2x ,(300 2,0)D,450AC , 则 2222 45018000022500CDACAD,150CD, 300 2150BC ,所需时间为 300 2150 10 2514.1459.14 30 小时 D C B A 16在三棱锥SABC中,
12、底面ABC是边长为 3 的等边三角形,3,2 3SASB,若此三棱锥外 接球的表面积为21,则二面角SABC的余弦值为 16答案: 1 2 解析: 设外接球半径为R, 则 22 2121 421 , 42 RRR, 因为 222, 90SAABSBSAB, SAB所在外接圆的圆心为SB的中点 2 O,外接圆半径 2 3r ,设ABC的中心为 1 O,则ABC外 接圆的半径 1 3r ,设D为AB中点,连接 12 ,DO DO,则 12 3 2 DODO, 则易证得 12 ,ABDO ABDO,所以 12 O DO即为二面角SABC的平面角,过点 1 O作平面ABC 的垂线,过点 2 O作平面S
13、AB的垂线,两条垂线交于点O,则点O即为外接球的球心,连接DO,则 22 11 213 3 42 OORr, 22 22 3 2 OORr, 1 11 1 tan3,60 OO ODOODO DO , 同理 2 60ODO,所以 1212 1 120 , cos 2 O DOO DO S A B C D O1 O2 O O2 O D O1 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17 (本小题满分 12 分) 在ABC中,角, ,A B C的对边分别
14、为, ,a b c 已知 tantan 4, tantan ABcb a ABc (1)求A的余弦值; (2)求ABC面积的最大值 17 解析:(1) 由 tantan tantan ABcb ABc , 得 (tantan)2tan tantan ABBcb ABc , 即 2tan 11 tantan Bb ABc , 2tan tantan Bb ABc ,又由正弦定理 sin sin bB cC ,可得 2tansin tantansin BB ABC , 即 2sinsinsin sinsin coscoscos BAB CB BAB ,由sin0B , 整理得:2sincossin
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