平面向量定理

1、 1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 一、选择题 1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 ab|a|b|；|a|b| ab. 2.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90 ，以顶点为起点和终点的向量中，平面 BB1C1C 的法向量的个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.4 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依题意知， ACB90 ， 所以 A1C1平面BB1C1C， AC平面BB1C1C， 所以平面B。

2、 1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空 间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念. 知识点一 空间向量的概念 1.定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量. 2.长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模. 3.表示法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示. (2)字母表示法：用字母表示，若向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可以记作AB ，其 模记为|AB |或|a|. 4.自由向量：数学中所讨论的向量与向量的起点无关。

3、1 从平面向量到空间向量,第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念. 3.理解空间向量的夹角. 4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间向量的概念 1.定义：在空间中，把既有 又有 的量，叫作空间向量. 2.长度：空间向量的大小叫作向量的 或 . 3.表示法 (1)几何表示法：空间向量用 表示. (2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 其模。

4、3.2平面向量基本定理一、选择题1如图所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)答案A解析()()(5e13e2)2如图所示，用向量e1，e2表示向量ab为()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2答案C解析如图，由向量的减法得ab.由向量的加法得e13e2.3若1a，2b，2(1)，则等于()Aab Ba(1)bCab D.ab答案D解析2，1(2)，(1)12，12ab.4设点D为ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则()A.B.C.D.答案D解析依题意，得()，故选D.5已知A。

5、3.2平面向量基本定理基础过关1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是()ABCD解析由基底的定义知中两向量不共线，可以作为基底答案B2如图所示，在矩形ABCD中，5e1，3e2，则= ()A.(5e13e2) B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)解析()(5e13e2)答案A3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A长方形B平行四边形C菱形D梯形解析8a2b2 ，故为梯形答案D4已知10，20，e1，e2是一组基底，且a1e12e2，则a与e1_，a与e2_(填共线或不共线)解析若a与e1。

6、微专题突破五平面向量基本定理的应用平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力下面就以几道习题为例进行说明例1已知，其中1.求证：A，B，C三点共线考点平面向量基本定理题点用基底表示向量证明如图，由1得1，则(1).()，A，B，C三点共线点评1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O具有灵活性；2反之也成立(证明略)：若A，B，C三点共线，则存在唯一实数对，满足，且1.揭示了三点共线的又一个性质；3特别地，当时，()，点B为AC的中点，揭示了OAC中线OB。

7、3.2平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点平面向量基本定理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2.2基底平面内不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底1平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底()提示只有不共线的两个向量才可以作为基底2零向量可以。

8、22.3用平面向量坐标表示向量共线条件基础过关1已知三点A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是()A(1,0) B(1,0)C(1，1) D(1,1)答案C2已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析ab(0,1x2)，平行于y轴3若a(2cos，1)，b(sin，1)，且ab，则tan等于()A2 B. C2 D答案A解析ab，2cos1sin.tan2.故选A.4已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A13 B9 C9 D13答案C解析设C点坐标为(6，y)，则(8,。

9、22向量的分解与向量的坐标运算22.1平面向量基本定理基础过关1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e 1 B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2 De1e2，e1e2答案D解析选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底2下面三种说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量ABCD答案B3若a、b不共线，且ab0(，R)，则()Aa0，b0 B0C0，b0 Da0，0答案B4.如图所示，平面内的。

10、2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e1e2 B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2 D.e1和e1e2答案B解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底.2.如图所示，用向量e1，e2表示向量ab为()A.4e12e2 B.2e14e2C.e13e2D.3e1e2答案C解析如图，由向量的减法得ab.由向量的加法得e13e2.3.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数y的值为()A.3 B.4 C. D.答案B解析因为3x。

11、2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点向量共线条件向量共线的坐标表示设a，b是非零向量，且a(a1，a2)，b(b1，b2).(1)当ab时，有a1b2a2b10.(2)当ab，且b不平行于坐标轴，即b10，b20时，有.即两个向量平行的条件是相应坐标成比例.思考1已知下列几组向量：a(0,3)，b(0,6)；a(2,3)，b(4,6)；a(1,4)，b(3，12)；a，b.(1)上面几组向量中，a，b有什么关系？答案中b2a，中b3a，中ba.(2)以上几组向量中，a，b共线吗？答案。

12、2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.(2)基底把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式.知识点二直线的向量。

13、微专题突破四平面向量基本定理的应用平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就以几道例题为例进行说明.例1已知，其中1.求证：A，B，C三点共线.证明如图，由1得1，则(1).()，A，B，C三点共线.点评(1)此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O具有灵活性；(2)此命题反之也成立(证明略)：若A，B，C三点共线，则存在唯一实数对，满足，且1.揭示了三点共线的又一个性质；(3)特别地，当时，()，点B为AC的中点，揭示了OAC中线OB的一个向量公式，应用广泛。

14、2.3向量的坐标表示23.1平面向量基本定理一、选择题1如图所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案A解析()()(5e13e2)2如图所示，用向量e1，e2表示向量ab为()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2考点平面向量基本定理题点用基底表示向量答案C3已知非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20答案A4已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则等于()A. B. C D答案C解析因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使t，则t()所以t。

15、2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理基础过关1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e2 B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2 D.e1和e1e2解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底，其它都可以.答案B2.若D点在ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.解析4rs，()rs，r，s.3rs.答案C3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy的值为_.解析(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，且e1，e2不共线，解得xy633.答案34.已知e1，e2不共线，a。

16、2.3向量的坐标表示23.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理1平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的。

17、2.2.1 平面向量基本定理,第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算,学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 平面向量基本定理,如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？,答案,答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.,思考2,如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否。

18、3.2 平面向量基本定理,第二章 3 从速度的倍数到数乘向量,学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 平面向量基本定理,思考1,如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？,答案,答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.,思考2,如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表。

19、2.3.1 平面向量基本定理,第2章 2.3 向量的坐标表示,学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量基本定理,思考1,如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？,答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.,答案,思考2,如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？。

20、2.3.1 平面向量基本定理,第二章 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示,学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量基本定理,思考1,如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？,答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.,答案,思考2,如果e1，e2是共线向量，那么向量a能。