精品原创四年级奥数培优教程讲义第15讲-平均数问题教师版

1、第第 13 讲讲 数数图形数数图形 认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形； 学会数基本图形的个数； 掌握数图形的规律。 一、学会数图形一、学会数图形 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方 形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数， 关键是要从基本图形入手。 首先要弄清图形中包含的基本图形是什么， 有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重。

2、第第 06 讲讲 变化规律变化规律 学习了解和、差、积、商的变化规律； 利用这些规律来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 和、差的变化规律如下表所示0m 一个加数 a 另一个加数 b 和 c m 不变 m 不变 m m m m 不变 被减数 a 减数 b 差 c m 不变 m 不变 m m m m 不变 乘、除变化规律见下表0m 被乘数 a 乘数 b 积 c m 不变 m 不变 m m m m 不变 被除数 a 除数 b 商 c 教学目标 知识梳理 m 不变 m 不变 m m m m 不变 我们。

3、第第 02 讲讲 简单推理简单推理 学会对一个问题进行分析、推理； 利用我们的推理来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、分析推理一、分析推理 数学课上，老师布置了一道题： =28 = =（ ） =（ ） 要得出正确的结论， 就要进行分析、 推理。 学会了推理， 能使你变得更聪明， 头脑更灵活。 数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。 解答这类推理题时，要求同学们仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解 题的突破口。

4、第第 05 讲讲-算式之谜算式之谜 解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析 求解； 1、算式谜算式谜：一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。 2、解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数 字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似于平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题 目称为“算式谜题”。 注意注意：解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口找到突破口，逐步试验，分 析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估。

5、第第 12 讲讲 图形面积图形面积 教学目标 熟悉掌握基本图形面积的求法。 熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算公式求解。 能够分析图形的特点，提高几何图形的观察能力和思维转换能力。 解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点： 1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决； 2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关 系明朗化。 例例 1、人民路小学操场长 90 米，宽 45 米。改造后，长增加 10 米，宽增加 5 米。现在操场面 积。

6、第第 0 01 1 讲讲 寻找规律寻找规律 发现排列规律，并依据规律填写数字或算式。 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2， 4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填 写空缺的数。观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般 情况下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3要善于从整体上把握数据之间的联。

7、第第 11 讲讲 巧妙求和巧妙求和 掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等； 掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。 一、数列的概念一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后 一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列 100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列 二、等差数列与公差二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列。

8、第第 03 讲讲 解决问题解决问题 学习了解应用题的解决步骤； 会解决常见的应用题； 在解决问题的过程中培养学生的独立思考能力。 一、简单应用题一、简单应用题 解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对 条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。 二、复合应用题二、复合应用题 复合式应用题需要两步或两步以上计算才能求得答案的应用题。 解题时后面的每一步得得用前 一步。 解答复合应用题时一般有如下四个步骤： （1）弄清题意，找出已知条件和所。

9、第第 26 讲讲 追及问题追及问题 根据“路程和速度和 时间”解决简单的直线上的追及问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计 算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度 追及时间-乙的速度 追及时间 （甲的速。

10、 第第 09 讲讲 和倍问题和倍问题 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 掌握寻找和倍的方法解决问题 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题 它的结构可用下图来表达： 倍数（小数） 几倍数（大数） 数量关系式：两数和 （倍数+1）=小数（1 倍数） 小数 倍数=大数（几倍数） 两数和小数=大数（几倍数） 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作 1 倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问。

11、第第 17 讲讲 差差倍问题倍问题 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题. 熟练应用通过图示来表示数量关系 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一 般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到 1 倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相 对应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差 (倍数1)=1倍数(较小数) 1倍数。

12、第第 0505 讲讲 最优化问题最优化问题 学习了解最优化问题； 能解决常见的最优化问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、最优化问题一、最优化问题 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做 到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、 “面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小） 值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实。

13、第第 29 讲讲 容斥容斥问题问题 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、一、两量重叠问题两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个 数， 用式子可表示成：ABABAB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 图示如下:A表示小圆部分。

14、第第 22 讲讲 相遇问题相遇问题 根据“路程和速度和 时间”解决简单的直线上的相遇问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A,B 之间这段路 程，如果两人同时出发，那么 相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度 相遇时间+乙的速度 相遇时间 （甲的速度+乙的速度） 相遇时间 速度和 相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和 相遇时间=路程和，即 S=vt 例例 1、 一辆客车与一辆货车同时从甲、 乙两个城市相。

15、 第第 1010 讲讲 间隔问题间隔问题 封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用. 掌握空心方阵和实心方阵的变化规律 一、植树问题路线一、植树问题路线 （一）不封闭的植树路线. 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多 1. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1 全长株距1 全长株距(棵数1) 株距全长(棵数1) 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少 1，即棵数与 段数相等. 全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数； 棵数段数全长株距； 株距全长棵数. 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就。

16、第第 28 讲讲 盈亏问题盈亏问题 了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型 掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法 熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题 一、基本方法一、基本方法 盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称 之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每 人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题 叫做“盈亏问题。

17、第第 24 讲讲 还原问题还原问题 学习了解加、减、乘、除运算的变化规律； 利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、还原问题一、还原问题 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又 叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 二、解题策略二、解题策略 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 例例 1、小刚的奶奶今年年龄减去 7 后，缩小 9 倍，。

18、第第 18 讲讲 重叠问题重叠问题 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、一、两量重叠问题两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个 数， 用式子可表示成：ABABAB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 图示如下:A表示小圆部分。

19、第第 21 讲讲 周期问题周期问题 学会对一个周期问题进行分析、推理； 利用我们的规律来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、周期问题一、周期问题 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季 节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问 题一般要利用余数的知识来解答。 二、解题策略二、解题策略 在研究这些简单周期问题时，我们首先。

20、第第 15 讲讲 平均数问题平均数问题 进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系 进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用 题 一、基本公式一、基本公式 平均数平均数 总份数总份数=总数量总数量 总数量总数量 总份数总份数=平均数平均数 总数量总数量 平均数平均数=总份数总份数 二、平均数问题二、平均数问题 日常生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样 多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就 是我。