2019版高考数学一轮复习《第四章平面向量与复数》课时训练(含答案)
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1、第四章 平面向量与复数第 1 课时 平面向量的概念与线性运算一、 填空题1. 下列命题中正确的是_(填序号) 单位向量的模都相等; 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量; 若 a, b 满足 |a| |b|且 a 与 b 同向,则 a b; 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; 对任意非零向量 a, b,必有 |a b|a| |b|.答案:解析:单位向量的模均为 1,故正确;共线包括同向和反向,故不正确;向量不能比较大小,故不正确;根据向量的表示,知正确;由向量加法的三角形法则知正确2. 若菱形 ABCD 的边长为 2,则| |_AB CB CD 答案:2解析:| | | |2
2、.AB CB CD AB BC CD AD 3. 已知 2 e1k e2, e1 3e2, 2 e1 e2.若 A,B,D 三点共线,则AB CB CD k_.答案:8解析:若 A,B,D 三点共线,则 ,设 .因为 e1 4e2,所AB BD AB BD BD CD CB 以 2e1k e2( e1 4e2) e14 e2,所以 2,k4,所以 k8.4. 在四边形 ABCD 中,ABCD,AB3DC,设 a, b,E 为 BC 的中点,则AB AD _(用 a, b 表示)AE 答案: a b23 12解析: , BC BA AD DC 23AB AD AE AB BE AB 12BC A
3、B 12(AD 23AB ) 23AB a b.12AD 23 125. 如图,在正六边形 ABCDEF 中, _BA CD EF 答案: CF 解析:由题图知 .BA CD EF BA AF CB CB BF CF 6. (2017泰州模拟)设 D 为ABC 所在平面内一点, ,若AD 13AB 43AC (R),则 _BC DC 答案:3解析:由 ,可得 3 4 ,即 4 4 ,则AD 13AB 43AC AD AB AC AD AC AD AB 4 ,即 4 ,可得 3 ,故 3 ,则 3.CD BD BD DC BD DC DC BC DC 7. 若两个非零向量 a, b 满足 |a
4、b| |a b| 2|a|,则向量 a b 与 a b 的夹角为_答案:23解析:由 |a b| |a b|可知 ab .设 b, a,作矩形 ABCD,可知 a b,AB AD AC a b.设 AC 与 BD 的交点为 O,结合题意可知 OAODAD, AOD , DOCBD 3.又向量 a b 与 a b 的夹角为 与 的夹角,故所求夹角为 .23 AC BD 238. 在ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,且 ,则实数 _CD 13CA CB 答案:23解析:如图,过点 D 作 DEBC,交 AC 于点 E,过点 D 作 DFAC,交 BC 于点 F,则 .CD CE CF 因为
5、 ,所以 , .由ADEABC,得 ,CD 13CA CB CE 13CA CF CB DEBC AEAC 23所以 ,故 .ED CF 23CB 239. 在ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 a, b,则 _(用 a, b 表示)AC BD AF 答案: a b23 13解析:如图, DEFBEA, DFBADEBE13,过点 F 作 FGBD 交 AC于点 G, FGDO23,CGCO23, b. a, GF 13 AG AO OG 23AC 23 a b.AF AG GF 23 1310. 向量 e1, e2不共
6、线, 3( e1 e2), e2 e1, 2 e1 e2,给出下列结论:AB CB CD A,B,C 共线; A,B,D 共线; B,C,D 共线; A,C,D 共线其中所有正确的结论是_(填序号)答案:解析:由 4 e1 2e22 , e1 e2不共线,得 与 不共线,A,C,D 共AC AB CB CD AB CB 线,且 B 不在此直线上11. 已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足: OP ,0,),则 P 的轨迹一定通过ABC 的_(选填“外OA (AB |AB |AC |AC |)心” “内心” “重心”或“垂心”)答案:内心解析:作BAC 的
7、平分线 AD. , OP OA (AB |AB |AC |AC |) (0,), ,AP (AB |AB |AC |AC |)AD |AD | AP |AD | AD . P 的轨迹一定通过ABC 的内心AP AD 二、 解答题12. 如图,已知点 G 是ABC 的重心,过点 G 作直线 MN 与边 AB,AC 分别交于 M,N 两点,且 x , y ,求 xy 的最小值AM AB AN AC 解:由点 G 是ABC 的重心,知 0,得 ( )( )0,GA GB GC AG AB AG AC AG 则 ( )又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 上),于是存在 ,R,使得AG 13A
8、B AC (且 1),则 x y ( ),AG AM AN AG AB AC 13AB AC 所以 于是得 3. 1, x y 13, ) 1x 1y又由题意 x0,y0,所以 xy (xy) (当且仅当 ,即13 (1x 1y) 13(2 yx xy) 43 yx xyxy 时,等号成立),即 xy 的最小值为 .4313. 如图,已知OCB 中,点 C 是点 B 关于点 A 的对称点,D 是将 分为 21 的一个OB 内分点,DC 和 OA 交于点 E.设 a, b.OA OB (1) 用 a 和 b 表示向量 , ;OC DC (2) 若 ,求实数 的值OE OA 解:(1) 由题意知,
9、A 是 BC 的中点,且 .OD 23OB 由平行四边形法则,得 2 .OB OC OA 2 2 a b,OC OA OB (2 a b) b 2a b.DC OC OD 23 53(2) 如题图, . (2 a b) a(2) a b, 2 a b,EC DC EC OC OE DC 53 , .第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示2 2 1 53 45一、 填空题1. 已知在ABCD 中, (2,8), (3,4),则 _.AD AB AC 答案:(1,12)解析:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 (1,12)AC AB AD 2. 若 e1, e2是表示平面内所有向量的一组
10、基底,则下面的四组向量中不能看作基底的是_(填序号) e1 e2和 e1 e2; 3e1 2e2和 4e2 6e1; e1 3e2和 e2 3e1; e2和 e1 e2.答案:解析: 3 e12 e2 (4e2 6e1),12 3e1 2e2与 4e2 6e1共线3. (2017苏北四市联考)已知点 A(1,3),B(4,1),则与 同方向的单位向量是AB _答案: (35, 45)解析: (4,1)(1,3)(3,4), 与 同方向的单位向量为AB OB OA AB .AB |AB | (35, 45)4. 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),则 AC 与 OB 的交点 P 的
11、坐标为_答案:(3,3)解析:(解法 1)由 O,P,B 三点共线,可设 (4,4),则OP OB (44,4)又 (2,6),由 与 共线,得(44)AP OP OA AC OC OA AP AC 64(2)0,解得 ,所以 (3,3),所以点 P 的坐标为(3,3)34 OP 34OB (解法 2)设点 P(x,y),则 (x,y),OP 因为 (4,4),且 与 共线,所以 ,即 xy.又 (x4,y),OB OP OB x4 y4 AP (2,6),且 与 共线,所以(x4)6y(2)0,解得 xy3,所以点 PAC AP AC 的坐标为(3,3)5. 若三点 A(1,5),B(a,2
12、),C(2,1)共线,则实数 a 的值为_答案:54解析: (a1,3), (3,4),根据题意 , 4(a1)3(3)AB AC AB AC 0,即 4a5, a .546. (2017衡水中学月考)在ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 2 , r s ,CD DB CD AB AC 则 rs_答案:0解析:因为 2 ,所以 ( ) ,则 rs 0.CD DB CD 23CB 23AB AC 23AB 23AC 23 ( 23)7. 设向量 a(1,3), b(2,4), c(1,2)若表示向量4a, 4b 2c, 2(a c), d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d_答案:(
13、2,6)解析:设 d(x,y),由题意知 4a(4,12),4 b 2c(6,20),2( a c)(4,2),又 4a 4b 2c 2(a c) d0,解得 x2,y6,所以d(2,6)8. 如图,在ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,DE 交 AF 于 H.记 , 分别为AB BC a, b,则 _(用 a, b 表示)AH 答案: a b25 45解析:设 , .而AH AF DH DE DH b b . .DA AH AF (b 12a)DH DE (a 12b)因此 b .(a12b) (b 12a)由于 a, b 不共线,因此由平面向量的基本定理,得 解得 12 ,
14、12 1, ) 45, 25.)故 a b.AH AF (b 12a) 25 459. 若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线,则 的值为_1a 1b答案:12解析: (a2,2), (2,b2),依题意,有(a2)(b2)40,即AB AC ab2a2b0,所以 .1a 1b 1210. 如图,| | |1, 与 的夹角为 120, 与 的夹角为 30.若 OA OB OA OB OC OA OC (,R),则 _.OA OB 答案:2解析:过 C 作 OB 的平行线交 OA 的延长线于点 D.由题意可知,COD30,OCD90, OD2CD. , , | |2| |
15、,即 2,故 2.OD OA DC OB OA OB 11. 在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A,B,C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 ,使得 (1) 成立,此时称实数 为“向量 关于OC OA OB OC 和 的终点共线分解系数” 若已知 P1(3,1),P 2(1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量OA OB 与向量 a(1,1)共线,则“向量 关于 和 的终点共线分解系数”为OP3 OP3 OP1 OP2 _答案:1解析:设 P3(x,y),由条件易得 (4,2), (x1,y3);由P1P2 P2P3 P1,P 2,P 3三点共线,得 124y2x2;
16、由 与向量 a(1,1)共线,得 xy0.OP3 联立方程组解得 x5,y5.由 (1) ,解得 1.OP3 OP1 OP2 12. (2017苏北四市期末)已知向量 a(1,2), b(3,m),mR,则“m6”是“ a (a b)”的_条件(选填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”)答案:充要解析:由题意得 a b(2,2m),由 a (a b),得1(2m)22,所以m6,则“m6”是“ a (a b)”的充要条件二、 解答题13. 如图,已知ABC 的面积为 14,D,E 分别为边 AB,BC 上的点,且ADDBBEEC21,AE 与 CD 交于点 P.设存在
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