2021年中考数学二轮复习重点题型十四《最短距离问题》专项训练(含解析)
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1、题型十四题型十四 最短距离问题最短距离问题 1. 如图,在ABC 中,AB=AC,分别以点 A、B为圆心,以适当的长为半径作 弧,两弧分别交于 E,F,作直线 EF,D为 BC 的中点,M 为直线 EF 上任 意一点若 BC=4,ABC面积为 10,则 BM+MD 长度的最小值为( ) A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图,在 RtAOB 中,OB=2 ,A=30 ,O的半径为 1,点 P是 AB边上的 动点,过点 P 作O的一条切线 PQ(其中点 Q为切点),则线段 PQ长度的最 小值为_ 3. 在O中,AB是O 的直径,AB=8cm, =,M是 AB 上一动点,CM+DM 的最小
2、值是_cm 4. 如图,圆柱形容器中,高为 1.2m,底面周长为 1m,在容器内壁离容器底部 0.3m的点 B 处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处, 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_m(容器厚度忽略不计) 5. 如图,RtABC中,C=90 ,以 AB 为边在 AB 上方作正方形 ABDE,过点 D 作 DFCB,交 CB的延长线于点 F,连接 BE (1)求证:ABCBDF; (2)P,N分别为 AC,BE 上的动点,连接 AN,PN,若 DF=5,AC=9,求 AN+PN的最小值 6. 如图,在 RtAOB中,AOB=90 ,OA=3,OB=4
3、,以点 O为圆心,2 为 半径的圆与 OB交于点 C,过点 C 作 CDOB交 AB于点 D,点 P 是边 OA 上的动点当 PC+PD 最小时,OP 的长为( ) A. B. C. 1 D. 7. 如图,点 A,B 的坐标分别为 A(2,0),B(0,2),点 C为坐标平面 内一点,BC=1,点 M 为线段 AC的中点,连接 OM,则 OM 的最大值为 ( ) A. +1 B. + C. 2+1 D. 2 - 8. 如图,在直角坐标系中,点 A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两 点,点 C 的纵坐标为 1,且 CA=CB,在 y轴上取一点 D,连接 AC,BC,AD, BD,使
4、得四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值为_ 9. 如图,在 RtABO中,OBA=90 ,A(4,4),点 C在边 AB 上,且 = ,点 D 为 OB的中点,点 P 为边 OA 上的动点,当点 P在 OA上移动时,使四边形 PDBC 周长最小的点 P的坐标为( ) A. (2,2) B. ( , ) C. ( , ) D. (3,3) 10. 如图,M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P是M上的任意一点,PAPB,且 PA、PB 与 x轴分别交于 A、B 两点,若点 A、点 B关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 1
5、1. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周 而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆 柱的高为 20尺,底面周长为 3尺,有葛藤自点 A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点 B处,则问 题中葛藤的最短长度是_尺 12. 如图,一只蚂蚁沿着棱长为 2的正方体表面从点 A出发,经过 3个面爬到点 B,如 果它运动的路径是最短的,则 AC 的长为_ 13. 如图,矩形 ABCD中,AB=4,AD=2,E为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P为 DF中点,连接 PB,则 PB 的最小值是( ) A
6、. 2 B. 4 C. D. 14. 如图,在 RtABC中B=90,AB=4,BCAB,D在 BC 上,以 AC 为对线的平行四边形 ADCE中,DE 的最小值是_ 15. 如图, 已知菱形 ABCD的周长为 16, 面积为 8, E 为 AB的中点, 若 P为对角线 BD 上一动点, 则 EP+AP 的最小值为_ 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】解:由作法得 EF垂直平分 AB, MB=MA, BM+MD=MA+MD, 连接 MA、DA,如图, MA+MDAD(当且仅当 M 点在 AD上时取等号), MA+MD的最小值为 AD, AB=AC,D点为 BC的中点, ADBC,
7、SABC = BCAD=10, AD=5, BM+MD长度的最小值为 5 故选:D 由基本作图得到得 EF 垂直平分 AB,则 MB=MA,所以 BM+MD=MA+MD,连接 MA、DA,如图,利用两点 之间线段最短可判断 MA+MD 的最小值为 AD,再利用等腰三角形的性质得到 ADBC,然后利用三角形面 积公式计算出 AD 即可 本题考查了作图-基本作图:熟练掌握 5种基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作 已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)也考查了等腰三角形的性质 2.【答案】2 【解析】解:连接 OP、OQ,作 OPAB于 P, PQ
8、是O的切线, OQPQ, PQ= , 当 OP最小时,线段 PQ的长度最小, 当 OPAB时,OP最小, 在 RtAOB 中,A=30 , OA=6, 在 RtAOP中,A=30 , OP= OA=3, 线段 PQ长度的最小值=2, 故答案为:2 连接 OP、OQ,作 OPAB 于 P,根据切线的性质得到 OQPQ,根据勾股定理得到 PQ=,根 据垂线段最短得到当 OPAB 时,OP最小,根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可 本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的 关键 3.【答案】8 【解析】解:如图,作点 C关于 AB 的对称点 C,
9、连接 CD与 AB 相交于点 M, 此时,点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置, 由垂径定理,=, =, =,AB为直径, CD为直径, CM+DM 的最小值是 8cm 故答案为:8 作点C关于AB的对称点C, 连接CD与AB相交于点M, 根据轴对称确定最短路线问题, 点M为CM+DM 的最小值时的位置,根据垂径定理可得=,然后求出 CD 为直径,从而得解 本题考查了轴对称确定最短路线问题,垂径定理,熟记定理并作出图形,判断出 CM+DM 的最小值等于圆 的直径的长度是解题的关键 4.【答案】1.3 【解析】解:如图: 高为 1.2m,底面周长为 1m,在容器内壁离容器底部 0.3m 的点
10、 B 处有一蚊子, 此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A处, AD=0.5m,BD=1.2-0.3+AE=1.2m, 将容器侧面展开,作 A关于 EF的对称点 A, 连接 AB,则 AB 即为最短距离, AB= = =1.3(m) 故答案为:1.3 将容器侧面展开,建立 A关于 EF 的对称点 A,根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 本题考查了平面展开-最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关 键同时也考查了同学们的创造性思维能力 5.【答案】(1)证明:RtABC中,C=90 ,DFCB, C=DFB=90 四边形 A
11、BDE是正方形, BD=AB,DBA=90 , DBF+ABC=90 ,CAB+ABC=90 , DBF=CAB, ABCBDF(AAS); (2)解:ABCBDF, DF=BC=5,BF=AC=9, FC=BF+BC=9+5=14 如图,连接 DN, BE是正方形顶点 A与顶点 D 的对称轴, AN=DN 如使得 AN+PN最小,只需 D、N、P在一条直线上, 由于点 P、N 分别是 AC和 BE上的动点, 作 DP1AC,交 BE 于点 N1,垂足为 P1, 所以,AN+PN 的最小值等于 DP1=FC=14 【解析】 (1)根据正方形的性质得出 BD=AB,DBA=90 ,进而得出DBF
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- 最短距离问题 2021 年中 数学 二轮 复习 重点 题型 十四 短距离 问题 专项 训练 解析
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