1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、1 13.23.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决 一些简单的几何问题 知识点一 空间向量的坐标运算 设 a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ab ab(a1b1,a2b2,a3b3) 减法 ab ab(a1b1,a2b2,a3b3) 数乘 a a(a1,a2,a3),R 数量积 a b a ba1b1a2b2a3b3 思考 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系? 答案 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致;如:
2、一个空间向量的坐标 等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则有 当 b0 时,ababa1b1,a2b2,a3b3(R); aba b0a1b1a2b2a3b30; |a| a a a21a22a23; cosa,b a b |a|b| a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23. 知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点, 则 P1P2|P1P2 |x2x12y2y12z2z12. 思考 已知点 A(x,y
3、,z),则点 A 到原点的距离是多少? 答案 OA|OA |x2y2z2. 1空间直角坐标系中,向量AB 的坐标与终点 B 的坐标相同( ) 2设 a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),若 ab 则x1 x2 y1 y2 z1 z2.( ) 3设 A(0,1,1),O 为坐标原点,则OA (0,1,1)( ) 4若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB | x 2x1 2y 2y1 2z 2z1 2. ( ) 一、空间向量的坐标运算 例 1 (1)已知 O 为坐标原点, A, B, C 三点的坐标分别是(2, 1,2), (4,5, 1), (2,2,3) 求 点
4、 P 的坐标,使AP 1 2(AB AC) 解 AB (2,6,3),AC(4,3,1), AB AC(6,3,4) 设点 P 的坐标为(x,y,z),则AP (x2,y1,z2), 1 2(AB AC)AP 3,3 2,2 , x5,y1 2,z0,则点 P 的坐标为 5,1 2,0 . (2)已知 a(1,1,2)若|a| 5,且与 c(2,2,)垂直,求 a. 解 |a| 5,且 ac, 1212225, 1,1,2 2,2,0, 化简,得 5223, 2220, 解得 1. 因此,a(0,1,2) 反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由
5、其两个端点的坐标确定; (2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算 (3)由条件求向量或点的坐标:把向量坐标形式设出来,通过解方程(组),求出其坐标 跟踪训练 1 已知 ab(2, 2,2 3),ab(0, 2,0),则 a_,b_, a b_. 答案 (1, 2, 3) (1,0, 3) 4 解析 ab(2, 2,2 3),ab(0, 2,0), a(1, 2, 3),b(1,0, 3), a b1034. 二、向量的坐标表示的应用 命题角度 1 空间平行垂直问题 例 2 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB 2,AF1,M 是 线段
6、 EF 的中点 求证:(1)AM平面 BDE; (2)AM平面 BDF. 证明 (1)如图,建立空间直角坐标系, 设 ACBDN,连接 NE, 则点 N,E 的坐标分别为 2 2 , 2 2 ,0 ,(0,0,1) NE 2 2 , 2 2 ,1 . 又点 A,M 的坐标分别是()2, 2,0 , 2 2 , 2 2 ,1 , AM 2 2 , 2 2 ,1 . NE AM . 又 NE 与 AM 不共线,NEAM. 又NE平面 BDE,AM平面 BDE, AM平面 BDE. (2)由(1)知AM 2 2 , 2 2 ,1 . D( 2,0,0),F( 2, 2,1), DF (0, 2,1)
7、,AM DF 0, AM DF . 同理,AM BF . 又 DFBFF,且 DF平面 BDF,BF平面 BDF, AM平面 BDF. 命题角度 2 夹角、距离问题 例3 如图, 在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中, CACB1, BCA90 , 棱 AA12,N 为 A1A 的中点 (1)求 BN 的长; (2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值 解 如图,以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直 角坐标系 Cxyz. (1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), |BN | 102012102 3, 线段 BN
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