2020高考数学(文)专项复习《概率统计》含答案解析
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1、概率统计概率统计 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,为人们制定决策提供依据概率是 研究随机现象规律的学科,为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法 统计一章介绍随机抽样、 样本估计总体、 线性回归的基本方法, 通过对典型案例的讨论, 了解和使用一些常用的统计方法, 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想, 认识 统计方法在决策中的作用 概率一章介绍随机现象与概率的意义、 古典概型及几何概型等内 容, 并能用所学知识解决一些简单的实际问题, 进一步体会概率模型的作用及运用概率思考 问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识 10101 1 概率概率( (一一
2、) ) 【知识要点】【知识要点】 1事件与基本事件空间: 随机事件:当我们在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不 可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;在试验中可能发生也可能 不发生的结果称为随机事件,随机事件简称为事件 基本事件与基本事件空间:在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结 果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述,这样的事件 称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间,常用 表示 2频率与概率 频率:在相同的条件S下,重复n次试验,观察某个事件A是否出现,称n次试验中事 件A的出现次数m为事件
3、A出现的频数,称事件A出现的比例 n m 为事件A出现的频率 概率:一般的,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率 n m ,当n很大时总是在 某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概 率,记做P(A)显然有 0P(A)1 不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1,随机事件的概率在(0,1)之间 3互斥事件的概率加法公式 事件的并:由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并,记做C AB 互斥事件:不可能同时发生的两个事件称为互斥事件 互斥事件加法公式:如果事件A、B互斥,则事件AB发生的概率等于这两个事件分别 发生的概率和,即P(A
4、B)P(A)P(B) 如果A1,A2,An两两互斥,那么事件A1A2An发生的概率,等于这n个事件 分别发生的概率和,即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 对立事件: 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件 事件A的对立 事件记作A,满足P(A)1P(A) 概率的一般加法公式(选学):事件A和B同时发生构成的事件D,称为事件A与B的交 (积),记作DAB在古典概型中,P(AB)P(A)P(B)P(AB) 4古典概型 古典概型:一次试验有下面两个特征:(1)有限性,在一次试验中可能出现的结果只有 有限个,即只有有限个不同的基本事件;(2)等可能性,每个基本事件发生的可
5、能性是均等 的,则称这个试验为古典概型古典概型的性质:对于古典概型,如果试验的n个基本事件 为A1,A2,An,则有P(A1A2An)1 且 n AP i 1 )( 概率的古典定义:在古典概型中,如果试验的基本事件总数为n(),随机事件A包含 的基本事件数为n(A),则p(A) 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件A ,即 )( )( )( n An AP 5几何概型 几何概型:一次试验具有这样的特征:事件A理解为区域的一个子区域A,A的概率 只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,这样的试 验称为几何概型 几何概型的特点:(1)无限性:一次试验中可能出现
6、的结果有无穷多个;(2)等可能性, 每个基本事件发生的可能性相等 几何概型中事件A的概率定义: A AP )(,其中表示区域的几何度量,A表 示子区域A的几何度量 随机数:就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会均 等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法, 可以节约大量的人力物力 【复习要求】【复习要求】 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率 的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 3理解古典概型及其概率计算公式,会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率 4了解随机数的意义,了解
7、几何概型的意义 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 国家射击队的某队员射击一次,命中 710 环的概率如下表: 命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该队员射击一次, (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)至少命中 8 环的概率; (3)命中不足 8 环的概率 【分析】【分析】射击运动员一次射击只能命中 1 个环数,命中不同的环数是互斥事件,射中 9 环或 10 环的概率等于射中 9 环与射中 10 环的概率和 命中不足 8 环所包含的事件较多, 而 其对立事件为“至少命中 8 环” ,可先求其对立事件的概率,再通过P(A)1P
8、(A)求解 解:解:设事件“射击一次,命中k环”为事件Ak(kN N,k10),则事件Ak彼此互斥 (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件A,则 P(A)P(A10)P(A9)0.60 (2)记“射击一次,至少命中 8 环”为事件B,则 P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78 (3)“射击一次,命中不足 8 环”为事件B的对立事件,则 P(B)1P(B)0.22 【评析】【评析】解决概率问题时,要先分清所求事件由哪些事件组成,分析是否是互斥事件, 再决定用哪个公式 当用互斥事件的概率加法公式解题时, 要学会不重不漏的将事件拆为几 个互斥事件,要善于用对立事件解题 例例
9、2 2 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语, C1,C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组 ()求A1被选中的概率; ()求B1和C1不全被选中的概率 【分析】【分析】本题是一个古典概型的问题,可以直接用概率公式 )( )( )( n An AP求解 解:解:()从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本 事件空间 (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2
10、,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2), (A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1), (A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2) 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的 发生是等可能的 用M表示“A1恰被选中”这一事件,则 M(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1), (A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2) 事件M由 6 个基本事件组成,因而 3 1 18 6 )(MP ()用N表示“B1,C1不
11、全被选中”这一事件,则其对立事件N表示“B1,C1全被选中” 这一事件, 由于N(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),事件N由 3 个基本事件组成, 所以 6 1 18 3 )(NP,由对立事件的概率公式得 6 5 6 1 1)(1)(NPNP 【评析】【评析】 古典概型解决概率问题时, 选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是 重要的一步本题中选定“从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结 果”为基本事件空间,计算时采用列举法,也可以利用乘法计数原理计算 33218本 题第一问还可以选定“从通晓日语的 3 人中选出 1 人的可能结果”为
12、基本事件空间,共有 3 个基本事件,选出A1只有一种可能,故所求概率为 3 1 例例 3 3 (1)两根相距 6 米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离 都大于 2 米的概率是_ (2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面, 并约好先到者等候另一人一刻钟, 过时即可离去则两人能会面的概率是_ (3)正方体内有一个内切球,则在正方体内任取一点,这个点在球内的概率为 _ 【分析】【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面积、几 何体体积问题求解 解:解:(1)本题可转化为: “在长为 6m 的线段上随机取点,恰好落在 2m 到 4m 间的概率为 多少?
13、” 易求得 3 1 P (2)本题可转化为面积问题:即“阴影部分面积占总面积的多少?” , 解得 16 7 )(AP (3)本题可转化为体积问题: 即 “内切球的体积与正方体体积之比是多少?” 解得 6 P 【评析】【评析】几何概型也是一种概率模型,它具有等可能性和无限性两个特点解题的关键 是要建立模型,将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是:把基本事件空间转化为与之 对应的区域; 把随机事件A转化为与之对应的区域A; 利用概率公式 )( )( )( A AP 计算 常 用的几何度量包括:长度、面积、体积 例例 4 4 设有关于x的一元二次方程x 22axb20 ()若a是从 0,1,2,3
14、四个数中任取的一个数,b是从 0,1,2 三个数中任取的一 个数,求上述方程有实根的概率; ()若a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数,求上述方 程有实根的概率 【分析】【分析】本题第一问是古典概型问题,第二问由于a、b在实数区间选取,可以转化为 几何概型问题求解 解:解:设事件A为“方程x 22axb20 有实根” 当a0,b0 时,方程x 22axb20 有实根的充要条件为 ab ()基本事件共 12 个: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3, 0),(3,1),(3,2)其中第一个数表示a
15、的取值,第二个数表示b的取值事件A中包含 9 个基本事件,事件A发生的概率为 4 3 12 9 )(AP ()试验的全部结果所构成的区域为(a,b)0a3,0b2 构成事件A的区域为(a,b)0a3,0b2,ab 所以所求的概率为 3 2 23 2 2 1 23 2 【评析】【评析】 几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的, 只是几何概型的 基本事件有无限个,而古典概型的基本事件有有限个在具体问题中,不能因为古典概型的 基本事件的个数多而误认为是几何概型 练习练习 10101 1 一、选择题一、选择题 1下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( ) A频率就是概率 B频率是
16、客观存在的,与试验次数无关 C随着试验次数增加,频率一般会越来越接近概率 D概率是随机的,在试验前不能确定 2从装有 2 个黑球 2 个白球的口袋中任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有一个白球,都是白球 B至少有一个白球,至少有一个红球 C恰有一个白球,恰有两个白球 D至少有一个白球,都是红球 3考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中 任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) A 75 1 B 75 2 C 75 3 D 75 4 二、填空题二、填空题 4 甲、 乙二人掷同一枚骰子各一次 如
17、果谁掷的点数大谁就取胜, 则甲取胜的概率为_ 5 在平面直角坐标系xoy中, 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中概率为 _ 三、解答题三、解答题 6已知集合A42,0,1,3,5 ,在平面直角坐标系中点M(x,y)的坐标满足x A,yA计算:(1)点M恰在第二象限的概率;(2)点M不在x轴上的概率;(3)点M恰 好落在区域 0 0 08 y x yx 上的概率 10102 2 统统 计计 【知识要点】【知识要点】 1随机抽样 总体、个体、样本:把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体,
18、构成 总体的每一个元素称为个体,从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本 随机抽样:抽样时,保证每一个个体都可能被抽到,且每个个体被抽到的机会均等,满 足这样条件的抽样为随机抽样 简单随机抽样:从元素个数为N的总体中,不放回的抽取容量为n的样本,如果每一次 抽样时,总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫简单随机抽样 系统抽样:当总体个数很大时,可将总体分成均匀的若干部分,然后按照预先制定的规 则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样的方式叫做系统抽样 分层抽样: 当总体由有明显差异的几部分组成时, 将总体中各个个体按某种特征分成若 干个互不重叠的几部分, 每一部分叫做层
19、, 在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽 样或系统抽样,这种抽样方法叫做分层抽样 三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 联系 适用范围 简单随机抽 样 (1)抽样过程中每个个 体被抽到的可能性相等 (2)每次抽出个体后不 再将它放回,即不放回 抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较 少 系统抽样 将总体均分成几部分, 按预先制定的规则在各 部分抽取 在起始部分抽样时 采用简单随机抽样 总体个数较 多 分层抽样 将总体分成几层,分层 进行抽取 分层抽样时采用简 单随机抽样或系统 抽样 总体由差异 明显的几部 分组成 2用样本的频率分布估计总体的频率分布 常用频率分布表、频率分布直方图、频
20、率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数 据,观察样本数据的特征,从而估计总体的分布情况 频率分布(表)直方图的画法步骤: (1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值) (2)决定组数与组距(组数组距极差) (3)决定分点 (4)列频率分布表 (5)绘制频率分布直方图 易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率,所有小长方形面积之和等于 1 频率分布折线图: 连结频率分布直方图各个长方形上边的中点, 就得到频率分布折线图 总体密度曲线:随着样本容量的增加,分组的组距不断缩小,相应的频率分布折线图就 会越来越接近于一条光滑曲线, 这条光滑曲线就叫做总体密度曲线 总体密度曲线精确地反 映了
21、一个总体在各个区域内取值的规律 茎叶图:茎指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数在样本数据较少时,茎叶 图表示数据的效果较好它的突出优点是:统计图中没有原始数据的损失,所有的数据信息 都可以从茎叶图中得到;茎叶图可随时记录,方便表示 3用样本的数字特征估计总体的数字特征 样本数据的平均数:如果有n个数x1,x2,xn,那么 n xxx x n 21 叫做这n 个数的平均数 标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,其中 n xxxxxx s n 22 2 2 1 )()()( 方差:标准差的平方s 2叫做方差 n xxxxxx s Z n )()()( 2 2 2 1 2 4两
22、个变量间的关系 散点图: 两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来, 这些点对应的图形 叫做散点图 线性相关: 若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动, 则这两个变量 可近似看成具有线性相关关系 回归直线方程: 从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条 直线附近,则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程,记作 y bxa,其中b叫回归系 数 最小二乘法:假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组 ),( 11 yx,),( 22 yx,),( 33 yx,求得, )( )()( 22 1 1 2 1 1 xnx yxnyx xx yyxx
23、 b i n i ii n i i n i ii n i xbya ,这时离差 2 1 1 )( 2 i i bxay n Q 最小,所求回归直线方程是axby . 这种求回归直线的方法称为最小二乘法 【复习要求】【复习要求】 1会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样方法 2了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎 叶图,理解它们各自的特点 3理解样本数据标准差的意义和作用,会计算样本数据平均数、标准差,并给出合理 解释 4会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征,理解用样本估计总体的思想 5会作两个有
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