鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法二课件
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1、8.7 立体几何中的向量方法(二) 求空间角和距离,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则,知识梳理,ZHISHISHULI,2.直线与平面所成角的求法,设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为, a与n的夹角为,则sin |cos | .,
2、3.求二面角的大小,(1)如图,AB,CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则 二面角的大小 .,(2)如图,n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos | ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1,n2|,1.利用空间向量如何求线段长度?,【概念方法微思考】,2.如何求空间点面之间的距离?,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是
3、这两个平面所成的角.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,(5)若二面角a的两个半平面,的法向量n1,n2所成角为,则二面角 a的大小是.( ),1,2,3,4,5,题组二 教材改编,2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角为 A.45 B.135 C.45或135 D.90,1,2,3,4,5,两平面所成二面角为45或18045135.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角,,1,2,3,4,5,4.在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,B
4、CCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.,设BCCACC12, 则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n ,则l与所成的角为_.,090, 30.,30,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 求异面直线所成的角,师生共研,例1 如图,四边形ABCD为菱形,ABC120,E
5、,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE2DF,AEEC.,(1)证明:平面AEC平面AFC;,证明 如图所示,连接BD,设BDACG,连接EG,FG,EF.,在菱形ABCD中,不妨设GB1. 由ABC120,,由BE平面ABCD,ABBC2,可知AEEC.,从而EG2FG2EF2,所以EGFG. 又ACFGG,AC,FG平面AFC, 所以EG平面AFC. 因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系; (2)确定异面直线上两个点的坐
6、标,从而确定异面直线的方向向量; (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值; (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.,跟踪训练1 三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为等边三角形,AA1平面ABC,AA1AB,N,M分别是A1B1,A1C1的中点,则AM与BN所成角的余弦值为,解析 如图所示,取AC的中点D,以D为原点,BD,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,,题型二 求直线与平面所成的角,例2 (2018全国)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.,师生共研,
7、(1)证明:平面PEF平面ABFD;,证明 由已知可得BFPF,BFEF, PFEFF,PF,EF平面PEF, 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.,(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,解 如图,作PHEF,垂足为H.,由(1)得,PH平面ABFD.,由(1)可得,DEPE. 又DP2,DE1,,又PF1,EF2,所以PEPF.,设DP与平面ABFD所成的角为,,(1)证明:PO平面ABC;,跟踪训练2 (2018全国)如图,在三棱锥PABC中,ABBC ,PAPBPCAC4,O为AC的中点.,证明 因为PAPCAC4,O为AC的中点,,如图,连接OB
8、.,所以ABC为等腰直角三角形,,由OP2OB2PB2知POOB. 因为OPOB,OPAC,OBACO,OB,AC平面ABC, 所以PO平面ABC.,(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.,解 由(1)知OP,OB,OC两两垂直,则以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.,设平面PAM的法向量为n(x,y,z).,题型三 求二面角,师生共研,例3 (2018济南模拟)如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中,ABCD,且CD6,AB12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O平面BCO1O
9、.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQOB.,(1)证明:OD平面PAQ;,证明 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m, 则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).,(2)若BE2AE,求二面角CBQA的余弦值.,设平面CBQ的法向量为n1(x,y,z),,令z1,则y2,x1,则n1(1,2,1), 易知平面ABQ的一个法向量为n2(0,0,
10、1), 设二面角CBQA的平面角为,,利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量,求法向量的方法主要有两种:求平面的垂线的方向向量;利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零,列方程组求解.,(1)证明:平面AMD平面BMC;,证明 由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,又DM平面CMD, 故BCDM.,所以DMCM. 又BCCMC,BC,CM平面BMC, 所以DM平面BMC. 又DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.,(2)当三棱锥MABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.,当三棱锥MABC体积最大时
11、,M为 的中点.由题设得D(0,0,0), A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),,设n(x,y,z)是平面MAB的法向量,,可取n(1,0,2),,例 (12分)如图,四棱锥SABCD中,ABD为正三角形,BCD120,CBCDCS2,BSD90.,答题模版,DATIMUBAN,利用空间向量求空间角,(1)求证:AC平面SBD;,证明 设ACBDO,连接SO, 如图,因为ABAD,CBCD,,所以AC是BD的垂直平分线, 即O为BD的中点, 且ACBD. 1分 在BCD中, 因为CBCD2,BCD120,,在RtSBD中,因为BSD90,O为BD的中点,,所
12、以SO2CO2CS2,所以SOAC. 4分 因为BDSOO,BD,SO平面SBD, 所以AC平面SBD. 5分,(2)若SCBD,求二面角ASBC的余弦值.,解 方法一 过点O作OKSB于点K,连接AK,CK,如图,,由(1)知AC平面SBD,所以AOSB. 因为OKAOO,OK,AO平面AOK,所以SB平面AOK. 6分 因为AK平面AOK,所以AKSB. 同理可证CKSB. 7分 所以AKC是二面角ASBC的平面角. 因为SCBD, 由(1)知ACBD,且ACSCC,AC,SC平面SAC,,所以BD平面SAC. 而SO平面SAC,所以SOBD.,方法二 因为SCBD,由(1)知,ACBD,
13、且ACSCC,AC,SC平面SAC,所以BD平面SAC. 而SO平面SAC,所以SOBD. 6分 由(1)知,AC平面SBD,SO平面SBD, 所以SOAC. 因为ACBDO,AC,BD平面ABCD, 所以SO平面ABCD. 7分,设平面SAB的法向量n(x1,y1,z1),,因为二面角ASBC是钝角,,答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系,确定点的坐标; 第二步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标; 第三步:计算向量的夹角(或函数值),并转化为所求角.,3,课时作业,PART THREE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
14、16,基础保分练,1.已知两平面的法向量分别为m(1,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角为 A.60 B.120 C.60或120 D.90,即m,n120. 两平面所成二面角为120或18012060.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设CA2,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,
15、1),,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,,设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n1(1,2,2). 平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),,1,
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