1、2017-2018学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知角终边上一点坐标为（3，4），则cos的值为（）ABCD2（5分）已知向量（2，4），（1，x），且，则x的值为（）A1B2C1D23（5分）已知向量，满足|1，+，则（）A2B1ClD24（5分）已知变量x和y的统计数据如表：根据该表可得回归直线方程0.7x+a，据此可以预测当x15时，y（）A7.8B8.2C9.6D8.55（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数
2、相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，76（5分）若将函数y2sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Ax（kZ）Bx+（kZ）Cx（kZ）Dx+（kZ）7（5分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n（）A5B4C3D28（5分）若tan，则cos2+2sin2（）ABC1D9（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞
3、行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）ABCD10（5分）已知函数f（x）sinx+cosxa在区间0，2上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3（）ABCD11（5分）平行四边形ABCD中，AB4，AD2，4，点P在边CD上，则的取值范围是（）A1，8B1，+）C0，8D1，012（5分）已知函数f（x）sin（x+），其中0，0且，且满足f（0）f（），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的值为（）AB或CD或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13（5分）sin 14（5分）设样本数据x1，x2，x201
4、8的方差是4，若y1xil（i1，2，2018），则y1，y2，y2018的方差是 15（5分）在平面四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD的面积为 16（5分）已知扇形AOB半径为1，AOB60，弧上的点P满足，则+的最大值是 ；最小值是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A，B的俯角分别是，又测得ADB已知h50，45，60，30，求AB的长18（12分）如图函数f（x）Asin（x+）的一段图象，已知A0，0，（）求函数f（x）的解析式；（）若f（），（0，），求cos219（12分）
5、已知函数f（x）2sin）cos（其中0）的最小正周期为（） 求的值；（） 将函数yf（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象求函数g（x）在，上零点20（12分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：累积净化量（克） （3，5 （5，8 （8，1212以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台
6、机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14中，按照（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，（12，14，均匀分组，其中累积净化量在（4，6的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图（）求n的值及频率分布直方图中的x值；（）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（）从累积净化量在（4，6的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率21（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（2ba）cos（A+B）ccosA（I）求角C的大小；（）若c3，ABC的面积
7、S，求ABC的周长L22（12分）已知f（x）（sinx+cosx）2cos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（）0且a1，求ABC面积的最大值，2017-2018学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知角终边上一点坐标为（3，4），则cos的值为（）ABCD【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos的值【解答】解：角终边上一点坐标为（3，4），x3，y4，r5，cos，故选：C【点评】本
8、题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题2（5分）已知向量（2，4），（1，x），且，则x的值为（）A1B2C1D2【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，2x4（1）0，解得x2故选：B【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知向量，满足|1，+，则（）A2B1ClD2【分析】由已知可得，（），代入可求【解答】解：|1，+，（）1+0，1，故选：B【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质及向量数量积的基本运算，属于基础试题4（5分）已知变量x和y的统计数据如表：x681012y2356根据该表可得回归直线方程0.7x+a，据此可以预测当x15
9、时，y（）A7.8B8.2C9.6D8.5【分析】根据表中数据，求出、，利用回归方程过样本中心点（，）求出a的值，再利用回归方程预测x15时，y的值【解答】解：（6+8+10+12）9，（2+3+5+6）4，将（9，4）代入0.7x+a，解得：a2，3，故0.7x2.3，故x15时，0.7152，38.2，故选：B【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目5（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，7【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，
10、可得x，y的值【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y5，则乙组数据的平均数为：66，故x3，故选：A【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题6（5分）若将函数y2sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Ax（kZ）Bx+（kZ）Cx（kZ）Dx+（kZ）【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律得到平移后图象对应的函数解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得平移后图象的对称轴【解答】解：将函数y2sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y2sin（2x）的图象，令2xk+，求得x+，kZ，故
11、选：B【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7（5分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n（）A5B4C3D2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n1时，a，b4，满足进行循环的条件，当n2时，a，b8满足进行循环的条件，当n3时，a，b16满足进行循环的条件，当n4时，a，b32不满足进
12、行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8（5分）若tan，则cos2+2sin2（）ABC1D【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将“弦”化“切”即可得到答案【解答】解：tan，cos2+2sin2故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题9（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）ABCD【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个
13、正方体的中心为中心且边长为1的正方体内这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p故选：D【点评】本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内10（5分）已知函数f（x）sinx+cosxa在区间0，2上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3（）ABCD【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角
14、函数图象的交点，在0，2上，当m时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可【解答】解：sinx+cosx2（sinx+cosx）2sin（x+）m，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当m时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+），x+2k+，即x2k，或x+2k+，即x2k+此时x10，x2，x32，x1+x2+x30+2故选：B【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题，是中档题11（5分）平行四边形ABCD中，AB4，AD2，4，点P在边CD上，则的取值范围是（）A1，8B1，+）C0，8
15、D1，0【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A60，再建立坐标系，得到x（x4）+3x24x+3（x2）21，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决【解答】解：AB4，AD2，4，|cosA4，cosA，A60，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1x5，（x，），（4x，），x（x4）+3x24x+3（x2）21，设f（x）（x2）21，f（x）在1，2）上单调递减，在2，5上单调递增，f（x）minf（2）1，f（x）maxf（5）8，的取值范围是1，8，故选：A【
16、点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的坐标的数量积和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题12（5分）已知函数f（x）sin（x+），其中0，0且，且满足f（0）f（），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的值为（）AB或CD或【分析】由题意求得4k+2，kZ，根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得+m，mZ，结合的范围，可得的值【解答】解：函数f（x）sin（x+），其中0，0且，且满足f（0）f（），sinsin（+），2k+，或者+2k如果：2k+，将f（x）sin（x+）的图象向左平移个单位后，所得函数的解析式为ysin（x+），它的图象
17、关于原点对称，+m，mZ，（，），m1，10，此时，如果：+2k，又f（x）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称，有：+k，即有：k1且k2，其中k1、k2Z，故不存在这样的k1、k2满足题意，舍去综上可得，只有m1，10，此时，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，诱导公式，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13（5分）sin【分析】直接利用特殊角的三角函数求值即可【解答】解：sin故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，基本知识的考查14（5分）设样本数据x1，x2，x2018的方差是4，
18、若y1xil（i1，2，2018），则y1，y2，y2018的方差是4【分析】根据题意，设数据x1，x2，x2017的平均数为，由方差公式可得Sx2（x1 ）2+（x2 ）2+（x3）2+（x2018）24，进而对于数据yi2xi1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，x2017的平均数为，又由其方差为4，则Sx2（x1 ）2+（x2 ）2+（x3）2+（x2018）24，对于数据y1xil（i1，2，2018），其平均数（y1+y2+y2018）（x11）+（x21）+（x20181）1，其方差Sy2（y1 ）2+（y2）2+（y3 ）2+
19、（y2018）2（x1 ）2+（x2 ）2+（x3）2+（x2018）24，故答案为：4【点评】本题考查数据的方差的计算，关键是掌握数据的方差的计算公式15（5分）在平面四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD的面积为15【分析】由已知得|，|3，由此能求出四边形ABCD的面积【解答】解：在平面四边形ABCD中，990，且|，|3，四边形ABCD的面积为S15故答案为：15【点评】本题考查四边形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量性质及运算法则的合理运用16（5分）已知扇形AOB半径为1，AOB60，弧上的点P满足，则+的最大值是；最小值是【分析】建立坐标系，设BOP，用表示出
20、P点坐标，得出+及关于的表达式，根据的范围和三角函数的性质得出答案【解答】解：以O为原点，以OB为x轴建立平面直角坐标系，设BOP，则P（cos，sin），B（1，0），A（，），即+cos+sinsin（+），P在上，0，当时，+取得最大值（，sin），（1cos，sin），（）（1cos）+（sin）（sin）cossinsin（+）0，当时，取得最小值故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A，B的俯角分别是，又测得ADB已知h50
21、，45，60，30，求AB的长【分析】先由勾股定理确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长【解答】解：如图根据已知，CDh，在ACD中，CAD45，CD：ADh：ADtan1，ADh，同理，在BCD中，CBD60，BDh，在BDA中，由余弦定理得，AB2AD2+BD22ADBDcosADBh2+h22hhcos，故AB2h2，故AB的长为h【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理和学生的计算能力，属于中档题18（12分）如图函数f（x）Asin（x+）的一段图象，已知A0，0，（）求函数f（x）的解析式；（）若f（），（0，），求cos2【分析】（）由函数的图象的顶点坐标求
22、出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数f（x）的解析式（）由f（），求得sin（2+）的值，进而求得cos（2+）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2cos（2+）的值【解答】解：（）函数f（x）Asin（x+）的一段图象，可得A1，+，2再根据五点法作图可得2（）+0，故f（x）sin（2x+）（）若f（）sin（2+），（0，），2+（，），2+（，），cos（2+），cos2cos（2+）cos（2+）cos+sin（2+） sin+【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，两角差的余弦公
23、式的应用，属于基础题19（12分）已知函数f（x）2sin）cos（其中0）的最小正周期为（） 求的值；（） 将函数yf（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象求函数g（x）在，上零点【分析】（）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，在另一栋正弦函数的周期性，得出结论（）利用yAsin（x+）的图象变换规律求得函数g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求得函数g（x）的零点【解答】解：（）函数 由最小正周期，得1（） 由（）知，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到图象的解析式，将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得
24、到由，得，故当x，时，函数g（x）的零点为和【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性，yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题20（12分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：累积净化量（克） （3，5 （5，8 （8，1212以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净
25、化量都分布在区间（4，14中，按照（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，（12，14，均匀分组，其中累积净化量在（4，6的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图（）求n的值及频率分布直方图中的x值；（）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（）从累积净化量在（4，6的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率【分析】（）先求出在（4，6之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6之间的频率为0.0320.06，由此能求出n的值及频率分布直方图中的x值（）由频率分布直方图可知：落在（6，
26、8之间共24台，在（5，6之间共4台，从而落在（5，8之间共28台，由此能估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台（）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6中随机抽取2台，基本事件总数n，事件B包含的基本事件个数m8，由此能求出恰好有1台等级为P2的概率【解答】解：（）在（4，6之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6之间的频率为0.0320.06，n100，由频率分布直方图的性质得：（0.03+x+0.12+0.14+0.15）21，解得x0.06（）由频率分布直方图可知：落在（6，8之间共
27、：0.12210024台，又在（5，6之间共4台，落在（5，8之间共28台，估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台（）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6中随机抽取2台，基本事件总数n，事件B包含的基本事件个数m8，恰好有1台等级为P2的概率P（B）【点评】本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用21（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（2ba）cos（A+B）ccosA（I）求角C的大小；（）若c3，AB
28、C的面积S，求ABC的周长L【分析】（I）根据题意，由三角函数的恒等变形公式可得（2ba）cosCccosA，即2bcosCacosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosCsinB，即cosC，由C的范围，分析可得答案；（）根据题意，由三角形面积公式可得SabsinC，则ab，又由余弦定理可得a2+b2，又由（a+b）2a2+b2+2ab，计算即可得答案【解答】解：（I）根据题意，ABC中，（2ba）cos（A+B）ccosA，则有（2ba）cosCccosA，变形可得：2bcosCacosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosCsinB，即cosC，又由0C，则C；（）若
29、c3，ABC面积SabsinC，则ab，又由c2a2+b22abcosC，则9a2+b2，即a2+b2，则有（a+b）2a2+b2+2ab25，即a+b5可得ABC的周长La+b+c8【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，关键是掌握正弦、余弦定理的形式22（12分）已知f（x）（sinx+cosx）2cos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（）0且a1，求ABC面积的最大值，【分析】（）利用三角函数的有关公式将函数化为yAsin（x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单
30、调增减区间；（）根据，求解A角大小，利用余弦定理建立关系，根据基本不等式求解ABC面积的最大值【解答】解：（）函数f（x）（sinx+cosx）2cos2（x+）（1+sin2x）sin2xsin2x，令2k2x2k+，kZ，则kxk+，Z，即f（x）的递增区间为k，k+，kZ，令2k+2x2k+，kZ，则k+xk+，Z，即f（x）的递减区间为k+，k+，kZ，（）f（）0，sinA0，即sinA，ABC是锐角三角形，A，由余弦定理得 a2c2+b22bccosA，将a1，代入得1+bcc2+b2，由基本不等式得即bc2+且当bc时取等号，因此SbcsinA，即ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，同时考查余弦定理，基本不等式求解最大值问题属于中档题
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