1、2018-2019学年江西省南昌市高一（下）期末数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）数列2，1，的一个通项公式为（）AanBanCanDan2（5分）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|，则AB（）A1，3B2，3C（2，3）D2，3）3（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y0，则输入的x为（）A0B1C0或1D0或e4（5分）在ABC中，cosA，BC，则ABC的外接圆半径为（）A1B2CD25（5分）若各项为正数的等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a6a420，则S7（）A9B14C7D186（5分
2、）在锐角ABC中，若sinA，b2，c3，则a（）AB2C2D7（5分）中国数学家刘微在九章算术注中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（）ABCD8（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3A，S6B，S9C，则（）AA+C2BBACB2CA+CBB2DA2+B2A（B+C）9（5分）一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n天的数据统计，得到如下统计图，则下
3、列说法错误的是（）An30B中位数为17C众数为17D日销售量不低于18的频率为0.510（5分）已知b1，则（）Aloga2logb2B2a+2b4Cab1Da+b211（5分）张丘建算经中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何？”根据此问题写出如下程序框图，若输出S465，则输入m的值为（）A240B220C280D26012（5分）若a，b0，ab+2a+b4，则a+b的最小值为（）A2B1C22D23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为 14（5分）如图，在ABC中，AB
4、7，AC5，点D为BC的中点，设BAD，CAD，的值为 15（5分）若不等式的解集为空集，则实数a的值为 16（5分）已知数列an的通项公式为ankN，则该数列的前1025项的和S1025 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知ABC中，A，|AC|10，点D在AB上，CDAB，并且|AD|：|DB|5：11（）求BC的长度；（）若点E为AB中点，求CE的长度18（12分）2021年广东新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后
5、四科选择没有限定（）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；（）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SABC3，6（）求角A的大小；（）若a，求ABC的周长20（12分）某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如表：售价x（元）45678周销量y（件）9085837973（I）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；（）按（I）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则微店应该将产品的售价x（xN）定为多少？参考公式：，参
6、考数据：1021（12分）己知数列an的首项a1，其前n项和为Sn满足（）数列an的通项公式；（）设bn2nan，求数列bn的前n项和Tn表达式22（12分）已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且满足mSnn，nSmm，（mn）（）证明Sm+n4；（）若sin2ap+3cos2ap+3+cos2apcos2ap+3sin2apsin2ap+3sin（ap+1+ap+2）0，d（0，1），当且仅当n9时，Sn取得最小值，求首项a1的取值范围2018-2019学年江西省南昌市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四
7、个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）数列2，1，的一个通项公式为（）AanBanCanDan【分析】根据题意，分析可得该数列的前5项可以写成（1）1、（1）2、（1）3、（1）4、（1）5，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，数列2，1，的前5项可以写成（1）1、（1）2、（1）3、（1）4、（1）5，则数列的一个通项公式可以为an（1）n，故选：C【点评】本题考查数列的通项公式的归纳，涉及归纳推理的应用，属于基础题2（5分）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|，则AB（）A1，3B2，3C（2，3）D2，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1
8、x3，Bx|2x3；AB2，3）故选：D【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，以及交集的运算3（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y0，则输入的x为（）A0B1C0或1D0或e【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y的值，若y0，则x0，或lnx0，可得：x0，或x1故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题4（5分）在ABC中，cosA，BC，则ABC的外接圆半径为（）A1B2CD2【分析】由
9、同角的平方关系可得sinA，由正弦定理可得外接圆的直径，可得所求值【解答】解：在ABC中，cosA，可得sinA，可得2R2，即R1故选：A【点评】本题考查正弦定理的运用，以及同角的平方关系，考查运算能力，属于基础题5（5分）若各项为正数的等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a6a420，则S7（）A9B14C7D18【分析】根据题意，由等差数列的性质可得2a4a420，解可得a42或a40，进而分析可得a4的值，又由S77a4，即可得答案【解答】解：根据题意，等差数列an中a2+a6a420，则有2a4a420，解可得：a42或a40，又由数列an的各项为正数，则a42，故S77a414，
10、故选：B【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题6（5分）在锐角ABC中，若sinA，b2，c3，则a（）AB2C2D【分析】由已知求得cosA，再由余弦定理求解a值【解答】解：ABC为锐角三角形，且sinA，cosA又b2，c3，a故选：D【点评】本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题7（5分）中国数学家刘微在九章算术注中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边
11、形的边界及其内部的概率为（）ABCD【分析】根据题意，设圆的半径为r，进而求出圆的面积以及圆的内接正六边形面积，由几何概型的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设圆的半径为r，则圆的面积Sr2，则圆的内接正六边形面积S6（rr）r2，故若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率P；故选：C【点评】本题考查几何概型的计算，涉及正六边形以及圆的面积的计算，属于基础题8（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3A，S6B，S9C，则（）AA+C2BBACB2CA+CBB2DA2+B2A（B+C）【分析】根据题意可得A、BA、CB成等比数列，即 （BA）2A（CB），由
12、此可得结论【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，若S3A，S6B，S9C，则由等比数列的定义、性质可得S3、S6S3S9S6，仍成等比数列，即 A、BA、CB成等比数列，（BA）2A（CB），即 A2+B2A（B+C），故选：D【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质及前n项和，属于基础题9（5分）一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（）An30B中位数为17C众数为17D日销售量不低于18的频率为0.5【分析】利用条形图的性质、中位数、众数、频率的定义直接求解【解答】解：由条形统计图得：n3+4+8+7+4+430，故A正确
13、；中位数为（17+18）17.5，故B错误；众数为17，故C正确；日销售量不低于18的频率为：0.5，故D正确故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图、中位数、众数、频率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）已知b1，则（）Aloga2logb2B2a+2b4Cab1Da+b2【分析】运用对数的运算性质，可判断A；由基本不等式可判断B；由a，b4，计算可判断C，D【解答】解：b1，可得0a1，b1，ab1，loga20，logb20，即有loga2logb2，可判断A错误；可取a，b4满足条件，但ab1，a+b2，故C，D均错；而2a+2b2224，故B正确故选：B
14、【点评】本题考查不等式的性质和函数的单调性、基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题11（5分）张丘建算经中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何？”根据此问题写出如下程序框图，若输出S465，则输入m的值为（）A240B220C280D260【分析】由程序依次写出结果，由等比数列的求和公式，计算可得所求结果【解答】解：由程序可得起初为S0，i0，第一次变为Sm，i1；第二次变为Sm+21m，i2；第三次变为Sm+21m+22m，i3；第四次变为Sm+21m+22m+23m，i4；第五次变为Sm+21m+22m+23m+24m，不满足条件，输出Sm465，解得
15、m240故选：A【点评】本题考查程序运行的结果，考查运算能力，属于基础题12（5分）若a，b0，ab+2a+b4，则a+b的最小值为（）A2B1C22D23【分析】先表示出b，再化解a+ba+1+3，利用均值不等式可求最小值【解答】解：a，bR*，ab+2a+b4，b（a+1）42a，b2+，a+ba2+a+1+3a0，b0，a+b22，当且仅当a+1即a时，故选：D【点评】本题考查利用均值不等式求最值的方法，考查均值不等式的适用条件，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为【分析】根据平均数的定义求出m
16、的值，再计算这组数的方差【解答】解：数据1，2，m，6，7的平均数为4，则（1+2+m+6+7）4，解得m4，所以这组数的方差为s2（14）2+（24）2+（44）2+（64）2+（74）2故答案为：【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题14（5分）如图，在ABC中，AB7，AC5，点D为BC的中点，设BAD，CAD，的值为【分析】由题意利用正弦定理可得：，结合BDCD，且sinADBsinADC，即可求解的值【解答】解：由题意，利用正弦定理可得：，点D为BC的中点，BDCD，且sinADBsinADC，7sin5sin，可得：故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的
17、应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题15（5分）若不等式的解集为空集，则实数a的值为【分析】由题意可得即 0恒成立，即（x2）（ax1）0 恒成立，再利用二次函数的性质，可得 ，由此求得a的范围【解答】解：不等式的解集为空集，即 0 的解集为，即 0恒成立，即（x2）（ax1）0 恒成立，求得a，故答案为：【点评】本题主要考查分式不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题16（5分）已知数列an的通项公式为ankN，则该数列的前1025项的和S10252039【分析】求得k0，1，2，10的两段的个数，结合等比数列的求和公式，计数可得所求和【解答】解：ankN，可得数列的前1025项的
18、和S102511+2（21+221+291）+211+218+221192039故答案为：2039【点评】本题考查数列的分组求和，考查分类讨论思想，以及运算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知ABC中，A，|AC|10，点D在AB上，CDAB，并且|AD|：|DB|5：11（）求BC的长度；（）若点E为AB中点，求CE的长度【分析】（）设|AD|5t，|DB|11t，分别在ACD和ABC中，应用余弦定理即可得到所求；（）在ACE中，可得|AC|10，|AE|8，A，运用余弦定理，计算可得所求值【解答】解：（）设|AD|5t，|DB|11t，在直角
19、三角形ACD中，可得|AD|AC|cos5，即有t1，|AB|16，|BC|14；（）在ACE中，可得|AC|10，|AE|8，A，可得|CE|2【点评】本题考查三角形的余弦定理和解直角三角形，考查化简运算能力，属于基础题18（12分）2021年广东新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定（）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；（）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率【分析】（）小明随机选课共
20、有12种方法，他选择偏理方向及生物学科的种数为3，由古典概率的公式可得所求；（）计算小明与小吴都准备选择偏理方向及生物学科的种数为9，而他们选得相同的有3种，由古典概率的计算公式可得【解答】解：语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有2612种选课模式（）小明随机选课，他选择偏理方向及生物学科的概率为；（）小明与小吴都准备选择偏理方向及生物学科，基本事件总数n339，他们选课相同的种数为m313，他们选课相同的概率为p【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SA
21、BC3，6（）求角A的大小；（）若a，求ABC的周长【分析】（）运用三角形的面积公式和向量数量积的定义，结合同角公式，可得所求角；（）由余弦定理，结合配方，可得所求周长【解答】解：（）SABC3，6可得bcsinA3，cbcosA6，两式相除可得tanA，可得内角A；（）若a，则a2b2+c22bccosA，即为13（b+c）23bc（b+c）2312，解得b+c7，则ABC的周长为7+【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式、向量的数量积的定义，考查运算能力和方程思想，属于中档题20（12分）某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如表：售价x（元）45678周
22、销量y（件）9085837973（I）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；（）按（I）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则微店应该将产品的售价x（xN）定为多少？参考公式：，参考数据：10【分析】（）由题意计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；（）利用回归方程写出利润函数，列出不等式求出x的取值范围，从而求得该产品的定价【解答】解：（）由题意，计算（4+5+6+7+8）6，（90+85+83+79+73）82，所以4，82（4）6106，所以y关于x的回归直线方程为4x+106；（）利用回归方程，写出利润函数为f（x）（4x+106）（x2）4
23、x2+114x212，令4x2+114x212598，化简得2x257x+4050，解得x15；又xN，所以x14，所以该产品的定价应为14元【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了二次函数与不等式的应用问题，是基础题21（12分）己知数列an的首项a1，其前n项和为Sn满足（）数列an的通项公式；（）设bn2nan，求数列bn的前n项和Tn表达式【分析】（）运用等差数列的定义和通项公式，以及数列的递推式，可得所求通项公式；（）bn2nan（2n1）2n，由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和【解答】解：（）数列an的首项a1，其前n项和为Sn满足，可得为首
24、项和公差均为的等差数列，可得+（n1），即Sn，n2时，anSnSn1，对n1也成立，则数列an的通项公式为，an；（）bn2nan（2n1）2n，前n项和Tn12+34+58+（2n1）2n，2Tn14+38+516+（2n1）2n+1，相减可得Tn2+2（4+8+2n）（2n1）2n+12+2（2n1）2n+1，化简可得Tn（2n3）2n+1+6【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，以及等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题22（12分）已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且满足mSnn，nSmm，（mn）（）证明Sm+n4；（）若s
25、in2ap+3cos2ap+3+cos2apcos2ap+3sin2apsin2ap+3sin（ap+1+ap+2）0，d（0，1），当且仅当n9时，Sn取得最小值，求首项a1的取值范围【分析】（）由等差数列的求和公式，可设Snan2+bn，（a1a+b，d2a），再由条件化简可得b0，amn1，再由基本不等式即可得证；（）利用平方差公式、正弦加法定理、等差数列性质求出sin3d1，由d（0，1），得到d，由仅当n9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，得到a90，且a100，由此能求出首项a1的取值范围【解答】解：（）证明：由等差数列的求和公式：Snna1+n（n1）d，可设Snan2+bn
26、，（a1a+b，d2a），mSnn，nSmm，（mn）即为amn2+bmnn，anm2+bmnm，化为amn+bm1amn+bn，即bmbn，由mn可得b0，amn1，Sm+na（m+n）2a（2）24amn4；（）sin2ap+3cos2ap+3+cos2apcos2ap+3sin2apsin2ap+3sin2ap+3（1sin2ap）（1cos2ap）cos2ap+3sin2ap+3cos2apsin2apcos2ap+3（sinap+3cosapcosap+3sinap）（sinap+3cosap+cosap+3sinap）sin（ap+3ap）sin（ap+3+ap）sin3dsin（
27、ap+1+ap+2）sin（ap+1+ap+2）0，可得sin3d1，d（0，1），3d，d，仅当n9时，数列an的前n项和Sn取得最小值，a90，且a100，a1+8da1+0，且a1+9da1+0，解得a1首项a1的取值范围是（，）【点评】本题考查等差数列的公差的取值范围的求法，考查平方差公式、正弦加法定理、等差数列性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/11/15 9:04:29；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463第18页（共18页）
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