1、 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1（5分）以下说法错误的是（ ） A零向量与任一非零向量平行 B零向量与单位向量的模不相等 C平行向量方向相同 D平行向量一定是共线向量 2（5分）已知向量（1，3），（3，2），则向量2（ ） A12 B3 C3 D6 3（5分）在ABC中，BD2DC若，则（ ） A B C D 4（5分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则（ ） A2 B4 C D 5（5分）在等差数列an中，若a4+a612，Sn是数列an的前n项和，则S9的值为（ ） A
2、48 B54 C60 D66 6（5分）在等差数列an中，an0，an1+an+10（n2），若S2n138，则n（ ） A38 B20 C10 D9 7（5分）已知a1，a2，a8为各项都大于零的等比数列，公式q1，则（ ） Aa1+a8a4+a5 Ba1+a8a4+a5 Ca1+a8a4+a5 Da1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定 8（5分）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 9（5分）若数列an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立
3、的最大自然数n是 （ ） A4 005 B4 006 C4 007 D4 008 10（5分）已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足（）（+2）0，则ABC的形状一定为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C钝三角形 D等腰三角形 11（5分）定义：F（x，y）yx（x0，y0），已知数列an满足：an（nN*），若对任意正整数n，都有anak（kN*）成立，则ak的值为（ ） A B2 C D 12（5分）如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且+，则ABP与ABC的面积之比等于（ ） A B C D 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13（5分）等比数列
4、an中，已知a1+a2324，a3+a436，则a5+a6 14（5分）已知Sn是数列an的前n项和，若，则S2019的值为 15（5分）设平面内有n条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f（n）表示这n条直线交点的个数，当n4时，f（n） 16（5分）已知O是锐角ABC的外心，AB6，AC10，若x+y，且2x+10y5，则 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17（10分）设（1，1），（4，3），（5，2）， （1）求证与不共线，并求与的夹角的余弦值 （2）求在方向上的投影 18（12分）已知数列an满足an+12an+32n，a12；数列bn满足
5、bn+1bn+2n+1，b11 （1）证明：数列是等差数列 （2）求数列bn的通项公式 19（12分）设两向量e1、e2满足|2，|1，、的夹角为60，若向量2t+7与向量+t的夹角为钝角，求实数t的取值范围 20（12分）已知向量（2，2），向量与向量的夹角为，且2， （1）求向量； （2）若（1，0）且，（cosA，），其中A、C是ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|的取值范围 21（12分）设数列an满足a1+2n，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）设bn，求数列bn的前n项和Sn 22（12分）已知函数f（x）log3（ax+b）的图象经过点A（2，
6、1）和B（5，2），记an3f（n），nN* （）求数列an的通项公式； （）设bn，Tnb1+b2+bn，若Tnm（mZ），求m的最小值； （）求使不等式（1+）（1+）（1+）p对一切nN*均成立的最大实数p 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1（5分）以下说法错误的是（ ） A零向量与任一非零向量平行 B零向量与单位向量的模不相等 C平行向量方向相同 D平行向量一定是共线向量 【分析】利用零向量是模为0，方向任意；平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量对四个选项进
7、行判断 【解答】解：零向量是模为0，方向任意 A，B对 平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量 C错D对 故选：C 【点评】本题考查的是零向量的对于、平行向量的定义 2（5分）已知向量（1，3），（3，2），则向量2（ ） A12 B3 C3 D6 【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，计算即可 【解答】解：向量（1，3），（3，2）， 则向量2（2，6）， 所以223+6（2）6 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题 3（5分）在ABC中，BD2DC若，则（ ） A B C D 【分析】由题意可得，而，代入化简可得答案 【解答】解：由题意可得 故选：
8、C 【点评】本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题 4（5分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则（ ） A2 B4 C D 【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案 【解答】解：由于q2， ； 故选：C 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视 5（5分）在等差数列an中，若a4+a612，Sn是数列an的前n项和，则S9的值为（ ） A48 B54 C60 D66 【分析】等差数列的等差中项的特
9、点，由第四项和第六项可以求出第五项，而要求的结果前九项的和可以用第五项求出，两次应用等差中项的意义 【解答】解：在等差数列an中，若a4+a612， 则a56，Sn是数列的an的前n项和， 9a5 54 故选：B 【点评】观察具体的等差数列，认识等差数列的特征，更加理解等差数列的概念，对本问题应用等差中项要总结，更好培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力 6（5分）在等差数列an中，an0，an1+an+10（n2），若S2n138，则n（ ） A38 B20 C10 D9 【分析】结合等差中项的公式，an1+an+12an，得到an的值再由S2n1的公式，解出n的值 【解答】解：等差数
10、列an中，an0，an1+an+10（n2）， 因为an是等差数列，所以an1+an+12an， 由an1+an+1an20，可得：2anan20，所以an2，又S2n138， 即38， 即38，即（2n1）238，解得n10， 故选：C 【点评】本题是等差数列的性质的考查，注意到a1+a2n12an的运用，可使计算简化，属于中档题 7（5分）已知a1，a2，a8为各项都大于零的等比数列，公式q1，则（ ） Aa1+a8a4+a5 Ba1+a8a4+a5 Ca1+a8a4+a5 Da1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定 【分析】用作差法比较即可 【解答】解：a1+a8（a4+a5）
11、 a1（1+q7q3q4）a1（1q3）（1q4） a1（1+q）（q2+q+1）（q1）2（1+q2） 又a10，a1，a2，a8为各项都大于零的等比数列 q0 a1+a8（a4+a5）0 另解：a1+a8（a4+a5） a1（1+q7q3q4）a1（1q3）（1q4）， 由各项都大于零的等比数列，公式q1， 不管q1还是0q1，即可判断a1+a8（a4+a5）0 故选：A 【点评】本题考查比较法和等比数列通项公式的应用 8（5分）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由等差数列的性质和求和公式，将通项
12、之比转化为前n项和之比，验证可得 【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得： 7+， 验证知，当n1，2，3，5，11时为整数 故选：D 【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用，属基础题 9（5分）若数列an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 （ ） A4 005 B4 006 C4 007 D4 008 【分析】由题意可得a20030，a20040，再结合等差数列的前n项和得答案 【解答】解：在等差数列an中， a10，a2003+a20040，a2003a20040， a20030，a20
13、040， 则， S40074007a20040 使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4006 故选：B 【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题 10（5分）已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足（）（+2）0，则ABC的形状一定为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C钝三角形 D等腰三角形 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出 【解答】解：，（）（+2）0， 0 而一定经过边AB的中点， 垂直平分边AB，即ABC的形状一定为等腰三角形 故选：D 【点评】本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积
14、的关系、等腰三角形的定义，考查了推理能力，属于难题 11（5分）定义：F（x，y）yx（x0，y0），已知数列an满足：an（nN*），若对任意正整数n，都有anak（kN*）成立，则ak的值为（ ） A B2 C D 【分析】根据题意可求得数列an的通项公式，进而求得，根据2n2（n+1）2（n1）22，进而可知当n3时，（n1）220，推断出当n3时数列单调增，n3时，数列单调减，进而可知n3时an取到最小值求得数列的最小值，进而可知ak的值 【解答】解：F（x，y）yx（x0，y0）， an ， 2n2（n+1）2（n1）22，当n3时，（n1）220， 当n3时an+1an； 当，n3
15、时，（n1）22O，所以当n3时an+1an 当n3时an取到最小值为f（3） 故选：D 【点评】本题主要考查了数列和不等式的综合运用考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力 12（5分）如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且+，则ABP与ABC的面积之比等于（ ） A B C D 【分析】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由ABP与ABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到ABP的面积与ABC面积之比 【解答】解：连接CP并延长交AB于D， P、C、D三点共线，+，且+1 设 k，结合+，
16、得+ 由平面向量基本定理解之，得，k3且， +，可得， ABP的面积与ABC有相同的底边AB 高的比等于|与|之比 ABP的面积与ABC面积之比为， 故选：C 【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13（5分）等比数列an中，已知a1+a2324，a3+a436，则a5+a6 4 【分析】由等比数列的性质可知，a1+a2，a3+a4，a5+a6成等比数列，结合等比数列的通项公式可求 【解答】解：由等比数列的性质可知，a1+a2，a3+a4，a5+
17、a6成等比数列 a1+a2324，a3+a436， 该等比数列的公比q 则a5+a6（a3+a4）4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题 14（5分）已知Sn是数列an的前n项和，若，则S2019的值为 0 【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果 【解答】解：由于数列的通项公式为：， 当n1时， 当n2时， 当n3时， 当n4时， 当n5时， 所以：数列的周期为4， 故：a1+a2+a3+a41+01+00， 所以：S20195040+a2017+a2018+a20191+010 故答案为：0 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项
18、公式的求法及应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 15（5分）设平面内有n条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f（n）表示这n条直线交点的个数，当n4时，f（n） （n+1）（n2） 【分析】要求出n4时f（n）的值，我们要逐一给出f（3），f（4），f（n1），f（n）然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的办法进行求解 【解答】解：f（3）2， f（4）f（3）+3， f（5）f（4）+4， f（n1）f（n2）+n2， f（n）f（n1）+n1， 累加可得：f（n）2+3+（n2）+（n1） （n2）（n1+2）（
19、n+1）（n2） 故答案为：（n+1）（n2） 【点评】本题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f（3），f（4），f（n1），f（n）然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键 16（5分）已知O是锐角ABC的外心，AB6，AC10，若x+y，且2x+10y5，则 20 【分析】分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，由三角形外接圆的性质得ODAB且OEAC，由此利用直角三角形中三角函数的定义和数量积的公式，算出18且50最后在等式x+y的两边分别与、作数量积，将得到的等式与2x+10y5组成方程组联解，可得的值 【解答】解：分别取AB、AC的中点D、E，连结
20、OD、OE， O是锐角ABC的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点， ODAB，OEAC 由此可得RtAOD中，cosOAD， 18 同理可得50 x+y， 等式的两边都与作数量积，得x2+y，化简得1836x+y， 同理，等式的两边都与作数量积，化简得50x+100y， 又根据题意知2x+10y5， 联解，可得20，x且y 故答案为：20 【点评】本题着重考查了三角形外接圆的性质、锐角的三角函数在直角三角形中的定义、向量量的数量积公式和方程组的解法等知识，属于中档题 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17（10分）设（1，1），（4，3），（5，2）， （1）求证与不共线，并求
21、与的夹角的余弦值 （2）求在方向上的投影 【分析】（1）根据共线向量的判断方法易得与不共线，再结合向量的数量积的运算，可得cosa，b的值， （2）根据数量积的运算与投影的概念，可得在方向上的投影为，代入向量的坐标，计算可得答案 【解答】解：（1）（1，1），（4，3），且1314， 与不共线， 又14+131，|，|5， cos， （2）15+1（2）7， 在方向上的投影为 【点评】本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直 18（12分）已知数列an满足an+12an+32n，a12；数列bn满足bn+1bn+2n+1，b11 （1）证明
22、：数列是等差数列 （2）求数列bn的通项公式 【分析】（1）根据题意，将an+12an+32n变形可得，结合等差数列的定义分析可得答案； （2）根据题意，分析可得bnbn12（n1）+12n1，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案 【解答】解：（1）证明：根据题意，数列an满足an+12an+32n， 等式两边除以2n+1得； 故数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）根据题意，由bn+1bn+2n+1得bn+1bn2n+1，则bnbn12（n1）+12n1， 则bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1（2n1）+（2n3）+3+1n2 【点评】本题考查数列的递推公式的应用
23、，涉及等差数列的求和，关键是对数列递推公式的变形 19（12分）设两向量e1、e2满足|2，|1，、的夹角为60，若向量2t+7与向量+t的夹角为钝角，求实数t的取值范围 【分析】欲求实数t的取值范围，先根据条件，利用向量积的运算求出（2t+7）（+t）的值，由于夹角为钝角，所以计算得到的值是负值，最后解出这个不等式即可得到实数t的取值范围 【解答】解：24，21，21cos601， （2t+7）（+t）2t2+（2t2+7）+7t22t2+15t+7 2t2+15t+70 7t设2t+7（+t）（0）2t27t， 当t时，2t+7与+t的夹角为 t的取值范围是（7，）（，） 【点评】本题考查
24、平面向量积的运算，同时考查一元二次不等式的解法 20（12分）已知向量（2，2），向量与向量的夹角为，且2， （1）求向量； （2）若（1，0）且，（cosA，），其中A、C是ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|的取值范围 【分析】（1）设出向量（x，y），由向量与向量的夹角为及2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标； （2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围 【解答】解：（1）设（x，y），则2x+2y2 又 联立解得， ；
25、 （2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列， ， ， ， ， ， 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题 21（12分）设数列an满足a1+2n，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）设bn，求数列bn的前n项和Sn 【分析】（1）利用数列的前n项和与通项的关系可得an； （2）利用“裂项求和”即可得出 【解答】解：（1），nN*， 当n1时，a12 当n2时， 得， a12，适合上式， （nN*） （2）由（1）得 Snb1+b2+bn 【点评】本题考查了数列的前n项和与通项的关系
26、、“裂项求和”，属于中档题 22（12分）已知函数f（x）log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an3f（n），nN* （）求数列an的通项公式； （）设bn，Tnb1+b2+bn，若Tnm（mZ），求m的最小值； （）求使不等式（1+）（1+）（1+）p对一切nN*均成立的最大实数p 【分析】（）通过将点A（2，1）和B（5，2）代入函数f（x）log3（ax+b）计算可知f（x）log3（2x1），进而an2n1； （）通过（）可知bn，利用错位相减法计算可知Tn3，通过作商可知f（n）随着n的增大而减小，进而可得结论； （）通过变形问题转化为求F（n）（1+）（1
27、+）（1+）的最小值，通过作商可知F（n）随着n的增大而增大，进而可得结论 【解答】解：（）函数f（x）log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2）， log3（2a+b）1，log3（5a+b）2， 2a+b3，5a+b9， 解得：a2，b1， f（x）log3（2x1）， an3f（n）2n1； （）由（）得bn， Tnb1+b2+bn1+3+（2n3）+（2n1）， Tn1+3+（2n3）+（2n1）， 两式相减得：Tn+2（+）（2n1） +2（2n1） （2n1）， Tn33， +1（其中f（n）， f（n）随着n的增大而减小， Tn随着n的增大而增大，且Tn3， 又T
28、nm（mZ）， m的最小值为3； （）不等式（1+）（1+）（1+）p对一切nN*均成立， p（1+）（1+）（1+）对一切nN*均成立， 记F（n）（1+）（1+）（1+）， 则（1+）1， F（n）0，F（n+1）F（n）， F（n）随着n的增大而增大， F（n）minF（1）， p，即p的最大值为 【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:01:43；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第19页（共19页）
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