1、 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（下）期中数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1（5分）数列，的一个通项公式是（ ） A B C D 2（5分）数列an满足，则a5等于（ ） A27 B81 C81 D27 3（5分）已知（2，1），（k，3），（1，2），若（2），则|（ ） A B3 C D 4（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B），a3，c4，则sinA（ ） A B C D 5（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 6（5分）
2、设D为ABC所在平面内一点，+，若（R），则（ ） A2 B3 C2 D3 7（5分）如图在矩形ABCD中，AB，BC4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（ ） A B C D 8（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2，c2，cosA且bc，则b（ ） A B2 C2 D3 9（5分）已知数列an，a11，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上，则（ ） A B C D 10（5分）O为ABC内一点，且2+，t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ） A B C D 11（5分）在锐角ABC中，已知BC1，B2A，则AC的取值范围
3、是（ ） A B C D 12（5分）甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A分钟 B分钟 C21、5分钟 D2.15分钟 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13（5分）已知|4，与的夹角为，则在方向上的投影为 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，c2，cosC，则ABC的面积为 15（5分）如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是 16（5分）已知数列an的前n项和为Snn2，
4、某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17（10分）在等差数列an中，a24，a4+a715 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求b1+b2+b3+b10的值 18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA （1）求B； （2）已知cosA，求sinC的值 19（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acosB（2cb）cosA （1）求角A的大小； （2）求ABC周长的最大值 20（12分）数列an中，a13，an+12an+2 （I）求证：an+2是等比
5、数列，并求数列an的通项公式； （II）设bn，求Snb1+b2+bn，并证明：nN*，Sn 21（12分）已知函数f（x），其中（2cosx，sin2x），（cosx，1），xR （1）求函数yf（x）的最小正周期和单调递增区间： （2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）2，a且sinB2sinC，求ABC的面积 22（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+n2an（nN*） （1）证明：数列an+1为等比数列，并求数列an的通项公式； （2）若bnnan+n，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高
6、一（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1（5分）数列，的一个通项公式是（ ） A B C D 【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可 【解答】解；数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3， 故选：B 【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律 2（5分）数列an满足，则a5等于（ ） A27 B81 C81 D27 【分析】由已知可得数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案 【解答
7、】解：由an+13an，得， 又a11，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列， 则 故选：C 【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，是基础题 3（5分）已知（2，1），（k，3），（1，2），若（2），则|（ ） A B3 C D 【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的性质求出k，由此能求出结果 【解答】解：（2，1），（k，3），（1，2）， （22k，7）， （2）， （2）22k+140，解得k6， （6，3）， |3 故选：A 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用 4（5分）在ABC中
8、，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B），a3，c4，则sinA（ ） A B C D 【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）sinC，再利用正弦定理求解 【解答】解：A+B+C， sin（A+B）sinC， 又a3，c4， ， 即， sinA， 故选：B 【点评】本题考查了三角形内角和定理及诱导公式，正弦定理的综合应用 5（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差 【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，
9、a4+a524，S648， ， 解得a12，d4， an的公差为4 故选：C 【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 6（5分）设D为ABC所在平面内一点，+，若（R），则（ ） A2 B3 C2 D3 【分析】若（R），可得，化简与+比较，即可得出 【解答】解：若（R）， 化为：+， 与+比较，可得：，解得3 则3 故选：D 【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7（5分）如图在矩形ABCD中，AB，BC4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（ ） A B C D 【分析】
10、由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值 【解答】解：选基向量和，由题意得，4， ， +， 即cos0，解得1， 点E为BC的中点，1， ， （）（） 5+， 故选：B 【点评】本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示 8（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2，c2，cosA且bc，则b（ ） A B2 C2 D3 【分析】运用余弦定理：a2b2+c22bccosA，解关于b的方程，结合bc，即可得到b2 【
11、解答】解：a2，c2，cosA且bc， 由余弦定理可得， a2b2+c22bccosA， 即有4b2+124b， 解得b2或4， 由bc，可得b2 故选：B 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题 9（5分）已知数列an，a11，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上，则（ ） A B C D 【分析】由“P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和 【解答】解：点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上 anan+1+1
12、0 数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列 ann 故选：C 【点评】本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题，来考查数列的通项公式及前n项和的求法 10（5分）O为ABC内一点，且2+，t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ） A B C D 【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点2+，可得22，因此点O是直线AE的中点可得B，O，D三点共线，t，点D是BO与AC的交点过点O作OMBC交AC于点M，点M为AC的中点利用平行线的性质即可得出 【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为B
13、C的中点 2+，22， 点O是直线AE的中点 B，O，D三点共线，t，点D是BO与AC的交点 过点O作OMBC交AC于点M，则点M为AC的中点 则OMECBC， ， ， ADAMAC，t， t 另解：由2+，点O是直线AE的中点 B，O，D三点共线，存在实数k使得k+（1k）k+（1k）t， k，（1k）t，解得t 故选：B 【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题 11（5分）在锐角ABC中，已知BC1，B2A，则AC的取值范围是（ ） A B C D 【分析】根据正弦定理和B2A及二倍角的正弦公式化简得到AC2co
14、sA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角ABC和B2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可 【解答】解：ABC是锐角三角形，C为锐角， A+B，由B2A得到A+2A，且2AB， 解得：A， 2cosA， 根据正弦定理，B2A， 得到，即AC2cosA， 则AC的取值范围为（.） 故选：C 【点评】此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B2A变换角得到角的范围，属于中档题 12（5分）甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速
15、度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A分钟 B分钟 C21、5分钟 D2.15分钟 【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案 【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示 可知BC104x，BD6X，CBD120 CD2BC2+BD22BCBDcosCBD（104x）2+36x2+2（104x）6x 28x220x+100 当x小时即分钟时距离最小 故选：A 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象属基础题 二、填空题（本大题共4小
16、题，每小题5分，共20分） 13（5分）已知|4，与的夹角为，则在方向上的投影为 2 【分析】根据投影公式计算 【解答】解：在方向上的投影为|cos4cos2 故答案为2 【点评】本题考查了平面向量的投影计算，属于基础题 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，c2，cosC，则ABC的面积为 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据余弦定理可求b的值，利用三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解：a1，c2，cosC， sinC， 由余弦定理可得：41+b22，解得：b2，（负值舍去）， SABCabsinC 故答案为： 【点评】本题主要
17、考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 15（5分）如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是 an23n 【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出 【解答】解：当n1时，解得a16； 当n2时，anSnSn1，化为 数列an是以6为首项，3为公比的等比数列， 故答案为 【点评】熟练掌握及等比数列的通项公式是解题的关键 16（5分）已知数列an的前n项和为Snn2，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为 120 【分析】由数列an的前n项和为Snn2可以求得a2，a3，a3，再利用余弦定理即可求得该
18、三角形最大角 【解答】解：由Snn2得a2s2s1413，同理得a35，a47， 3，5，7作为三角形的三边能构成三角形， 可设该三角形三边为3，5，7，令该三角形最大角为， ， 又 0180 120 故答案为：120 【点评】本题考查余弦定理，关键是利用等差数列的前n项和公式求得三角形三边之比为a2：a3：a4，为容易题 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17（10分）在等差数列an中，a24，a4+a715 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求b1+b2+b3+b10的值 【分析】（1）利用已知条件求出等差数列的首项与公差，然后求解通项公式 （2）化简数列的通项公式，然后利用等
19、比数列求和求解即可 【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d， 由已知得 解得（4分） an3+（n1）1，即ann+2（6分） （2）由（1）知， b1+b2+b3+b1021+22+210（10分） 2046（12分） 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力 18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA （1）求B； （2）已知cosA，求sinC的值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB； （2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算 【解答】解：（1）asin2BbsinA， 2sinAsi
20、nBcosBsinBsinA， cosB，B （2）cosA，sinA， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB 【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题 19（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acosB（2cb）cosA （1）求角A的大小； （2）求ABC周长的最大值 【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC2sinCcosA，结合sinC0，可求cosA由范围0A，可求A的值 （2）由余弦定理，基本不等式可求b+c4，即可得解 【解答】解：（1）由已知，得acosB+bcosA2ccosA
21、 由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA2sinCcosA， 即sin（A+B）2sinCcosA，（2分） 因为sin（A+B）sinC， 所以sinC2sinCcosA 因为sinC0， 所以cosA（4分） 因为0A， 所以A（6分） （2）由余弦定理a2b2+c22bccosA， 得bc+4b2+c2， 即（b+c）23bc+4（8分） 因为bc（）2，（10分） 所以（b+c）2（b+c）2+4即b+c4（当且仅当bc2 时等号成立） 所以a+b+c6（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转
22、化思想，属于基础题 20（12分）数列an中，a13，an+12an+2 （I）求证：an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （II）设bn，求Snb1+b2+bn，并证明：nN*，Sn 【分析】（）把原数列递推式变形，可得an+2是等比数列，求出其通项公式后可求数列an的通项公式； （）把数列an的通项公式代入，整理后利用错位相减法求Snb1+b2+bn，然后放缩得答案 【解答】（）证明：由an+12an+2，得an+1+22（an+2）， a1+250， an+2是首项为5，公比为2的等比数列， 则， ； （）解：， 得： ； ， Sn单调递增，则， 【点评】本题考查数列递推式，考查
23、了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查放缩法证明数列不等式，属中档题 21（12分）已知函数f（x），其中（2cosx，sin2x），（cosx，1），xR （1）求函数yf（x）的最小正周期和单调递增区间： （2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）2，a且sinB2sinC，求ABC的面积 【分析】（1）求出f（x）2sin（2x+）+1，由此能求出函数yf（x）的最小正周期和函数yf（x）的单调增区间 （2）由f（A）2，求出A，由，利用余弦定理得b2c由此能求出ABC的面积 【解答】解：（1）（2cosx，sin2x），（cosx，1），xR， f（x
24、） 2sin（2x+）+1， 函数yf（x）的最小正周期为T， 单调递增区间满足+2k+2k，kZ 解得+kx+k，kZ 函数yf（x）的单调增区间是+k，kZ （2）f（A）2，2sin（2A+）+12，即sin（2A+）， 又0A，A， ，由余弦定理得a2b2+c22bccosA（b+c）23bc7， sinB2sinC，b2c 由得c2， 【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间的求法，考查三角形面积的求法，考查同角三角函数、三角函数的最小正周期、三角函数的增区间、作弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 22（12分）已
25、知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+n2an（nN*） （1）证明：数列an+1为等比数列，并求数列an的通项公式； （2）若bnnan+n，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值 【分析】（1）当n1时，求得a11当n2时，Sn1+n12an1，与原递推式联立得：an+12an2an1，即an2an1+1，可得an+12（an1+1），得到数列an+1为以2为首项，2为公比的等比数列，由此可得数列an的通项公式； （2），然后利用错位相减法求数列bn的前n项和为Tn，代入，可得，设，可知数列cn为递增数列，结合c101009，c111009得答案 【解答】（1）证明：当n1时
26、，a1+12a1，a11 Sn+n2an，nN*， 当n2时，Sn1+n12an1， 两式相减得：an+12an2an1，即an2an1+1， an+12（an1+1）， 数列an+1为以2为首项，2为公比的等比数列， ， 则，nN*； （2）解：， ， ， 两式相减得：， ， 由，得， 设， 0， 数列cn为递增数列， ， 满足不等式的n的最小值为11 【点评】本题考查数列递推式，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:06:46；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第17页（共17页）
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