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    2018-2019学年江西省赣州市南康区高一(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

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    2018-2019学年江西省赣州市南康区高一(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

    1、 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一(下)期中数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1(5分)已知(2,1),(k,3),(1,2),若(2),则|( ) A B3 C D 2(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B),a3,c4,则sinA( ) A B C D 3(5分)记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524,S648,则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 4(5分)设D为ABC所在平面内一点,+,若(R),则( ) A2 B3 C2 D3 5(5分)如图在矩形ABCD中,AB,BC4,点E为B

    2、C的中点,点F在CD上,若,则的值是( ) A B C D 6(5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a2,c2,cosA且bc,则b( ) A B2 C2 D3 7(5分)已知数列an,a11,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(nN*)在直线xy+10上,则( ) A B C D 8(5分)O为ABC内一点,且2+,t,若B,O,D三点共线,则t的值为( ) A B C D 9(5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c若cacosB(2ab)cosA,则ABC的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 10(5分

    3、)在锐角ABC中,已知BC1,B2A,则AC的取值范围是( ) A B C D 11(5分)甲船在岛B的正南方A处,AB10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) A分钟 B分钟 C21、5分钟 D2.15分钟 12(5分)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2019积数列”,且a11,则当其前n项的乘积取最大值时n的值为( ) A1010 B1009 C1009或1010 D1008或1009 二、填空题(本大题

    4、共4小题,每小题5分,共20分) 13(5分)已知|4,与的夹角为,则在方向上的投影为 14(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a1,c2,cosC,则ABC的面积为 15(5分)已知数列an的前n项和为Snn2,某三角形三边之比为a2:a3:a4,则该三角形最大角为 16(5分)已知等比数列an的首项为,公比为,其前n项和为Sn,若对任意nN*恒成立,则BA的最小值为 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17(10分)已知等差数列an满足a32,前3项和S3 ()求an的通项公式; ()设等比数列bn满足b1a1,b4a15,求bn前n项和Tn 18(12分)在

    5、ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2BbsinA (1)求B; (2)已知cosA,求sinC的值 19(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2,acosB(2cb)cosA (1)求角A的大小; (2)求ABC周长的最大值 20(12分)数列an中,a13,an+12an+2 (I)求证:an+2是等比数列,并求数列an的通项公式; (II)设bn,求Snb1+b2+bn,并证明:nN*,Sn 21(12分)已知函数f(x),其中(2cosx,sin2x),(cosx,1),xR (1)求函数yf(x)的最小正周期和单调递增区间: (2)

    6、在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)2,a且sinB2sinC,求ABC的面积 22(12分)已知数列an中,a11,an+1 (1)求a2,a3,a4的值; (2)求证:数列a2n是等比数列; (3)求数列an的前n项和Sn,并求满足Sn0的所有正整数n的值 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一(下)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1(5分)已知(2,1),(k,3),(1,2),若(2),则|( ) A B3 C D 【分析】利用平面向量坐标运算法则求出,再由向量垂直的性质求出k,由此能求出结果

    7、 【解答】解:(2,1),(k,3),(1,2), (22k,7), (2), (2)22k+140,解得k6, (6,3), |3 故选:A 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用 2(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B),a3,c4,则sinA( ) A B C D 【分析】由内角和定理及诱导公式知sin(A+B)sinC,再利用正弦定理求解 【解答】解:A+B+C, sin(A+B)sinC, 又a3,c4, , 即, sinA, 故选:B 【点评】本题考查了三角形内角和定理及诱导公式

    8、,正弦定理的综合应用 3(5分)记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524,S648,则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出an的公差 【解答】解:Sn为等差数列an的前n项和,a4+a524,S648, , 解得a12,d4, an的公差为4 故选:C 【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用 4(5分)设D为ABC所在平面内一点,+,若(R),则( ) A2 B3 C2 D3 【分析】若(R),可得,化简与+比较,即可得出 【解答】解:若(R

    9、), 化为:+, 与+比较,可得:,解得3 则3 故选:D 【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 5(5分)如图在矩形ABCD中,AB,BC4,点E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值是( ) A B C D 【分析】由题意得选择基向量和,求出它们的长度和,由向量加法的三角形法则求出,代入式子由数量积运算求出,同理求出和,代入进行化简求值 【解答】解:选基向量和,由题意得,4, , +, 即cos0,解得1, 点E为BC的中点,1, , ()() 5+, 故选:B 【点评】本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用,以及向量加法的三角形

    10、法则,关键是根据题意选基向量,其他向量都用基向量来表示 6(5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a2,c2,cosA且bc,则b( ) A B2 C2 D3 【分析】运用余弦定理:a2b2+c22bccosA,解关于b的方程,结合bc,即可得到b2 【解答】解:a2,c2,cosA且bc, 由余弦定理可得, a2b2+c22bccosA, 即有4b2+124b, 解得b2或4, 由bc,可得b2 故选:B 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用,主要考查运算能力,属于中档题和易错题 7(5分)已知数列an,a11,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(nN*)在直线xy+

    11、10上,则( ) A B C D 【分析】由“P(an,an+1)(nN*)在直线xy+10上”可得到数列的类型,再求其通项,求其前n项和,进而得到新数列的规律,选择合适的方法求新数列的和 【解答】解:点P(an,an+1)(nN*)在直线xy+10上 anan+1+10 数列an是以1为首项,以1为公差的等差数列 ann 故选:C 【点评】本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题,来考查数列的通项公式及前n项和的求法 8(5分)O为ABC内一点,且2+,t,若B,O,D三点共线,则t的值为( ) A B C D 【分析】以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF与 BC相交于

    12、点E,E为BC的中点2+,可得22,因此点O是直线AE的中点可得B,O,D三点共线,t,点D是BO与AC的交点过点O作OMBC交AC于点M,点M为AC的中点利用平行线的性质即可得出 【解答】解:以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF与 BC相交于点E,E为BC的中点 2+,22, 点O是直线AE的中点 B,O,D三点共线,t,点D是BO与AC的交点 过点O作OMBC交AC于点M,则点M为AC的中点 则OMECBC, , , ADAMAC,t, t 另解:由2+,点O是直线AE的中点 B,O,D三点共线,存在实数k使得k+(1k)k+(1k)t, k,(1k)t,解得t 故选:B 【点

    13、评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题 9(5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c若cacosB(2ab)cosA,则ABC的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式,可得cosA(sinBsinA)0,从而可得A或BA或BA(舍去) 【解答】解:cacosB(2ab)cosA,C(A+B), 由正弦定理得:sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA, sinAcosB+cosAsinBsinAcosB

    14、2sinAcosAsinBcosA, cosA(sinBsinA)0, cosA0,或sinBsinA, A或BA或BA(舍去), 故选:D 【点评】本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力,属于中档题 10(5分)在锐角ABC中,已知BC1,B2A,则AC的取值范围是( ) A B C D 【分析】根据正弦定理和B2A及二倍角的正弦公式化简得到AC2cosA,要求AC的范围,只需找出2cosA的范围即可,根据锐角ABC和B2A求出A的范围,然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可 【解答】解:ABC是锐角三角形,C为锐角, A+B,由B2A得到A+2A,且2AB

    15、, 解得:A, 2cosA, 根据正弦定理,B2A, 得到,即AC2cosA, 则AC的取值范围为(.) 故选:C 【点评】此题考查了正弦定理,以及二倍角的正弦公式化简求值,本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B2A变换角得到角的范围,属于中档题 11(5分)甲船在岛B的正南方A处,AB10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) A分钟 B分钟 C21、5分钟 D2.15分钟 【分析】设经过x小时距离最小,然后分别表示出甲乙距离B岛的距离,再由余弦定理表示出两船的距离,

    16、最后根据二次函数求最值的方法可得到答案 【解答】解:假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D如图示 可知BC104x,BD6X,CBD120 CD2BC2+BD22BCBDcosCBD(104x)2+36x2+2(104x)6x 28x220x+100 当x小时即分钟时距离最小 故选:A 【点评】本题主要考查余弦定理的应用,关键在于画出图象属基础题 12(5分)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2019积数列”,且a11,则当其前n项的乘积取最大值时n的值为( ) A1010 B1009 C1009或1010 D10

    17、08或1009 【分析】根据题意得a1a2a3a1008a1009a1010a2016a2017a20181,根据等比数列的性质得到a1a2018a2a2017a3a2016a1009a10101,由a10,q0,得到该数列为递减的等比数列,从而a10091,0a10101,由此能求出当其前n项的乘积取最大值时n的值 【解答】解:各项均为正数的等比数列an是一个“2019积数列”,且a11, 由题意得a1a2a3a1008a1009a1010a2016a2017a20181, 根据等比数列的性质得到: a1a2018a2a2017a3a2016a1009a10101, a10,q0,该数列为递

    18、减的等比数列, a10091,0a10101, 当其前n项的乘积取最大值时n的值为1009 故选:B 【点评】本题考查等比数列的前n项积取最大值时项数n的值的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13(5分)已知|4,与的夹角为,则在方向上的投影为 2 【分析】根据投影公式计算 【解答】解:在方向上的投影为|cos4cos2 故答案为2 【点评】本题考查了平面向量的投影计算,属于基础题 14(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a1,c2,cosC,则ABC的面积为 【分析】由已知利用同角三角

    19、函数基本关系式可求sinC的值,根据余弦定理可求b的值,利用三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解:a1,c2,cosC, sinC, 由余弦定理可得:41+b22,解得:b2,(负值舍去), SABCabsinC 故答案为: 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题 15(5分)已知数列an的前n项和为Snn2,某三角形三边之比为a2:a3:a4,则该三角形最大角为 120 【分析】由数列an的前n项和为Snn2可以求得a2,a3,a3,再利用余弦定理即可求得该三角形最大角 【解答】解:由Snn2得a2s2s14

    20、13,同理得a35,a47, 3,5,7作为三角形的三边能构成三角形, 可设该三角形三边为3,5,7,令该三角形最大角为, , 又 0180 120 故答案为:120 【点评】本题考查余弦定理,关键是利用等差数列的前n项和公式求得三角形三边之比为a2:a3:a4,为容易题 16(5分)已知等比数列an的首项为,公比为,其前n项和为Sn,若对任意nN*恒成立,则BA的最小值为 【分析】先利用等比数列的求和公式求出Sn,求出Sn的范围,确定ySn,求出最小值、最大值,即可求出BA的最小值 【解答】解:等比数列an的首项为,公比为, Sn 令t,则,Sn1t, Sn的最小值为,最大值为, 对任意nN

    21、*恒成立,则BA的最小值为 故答案为: 【点评】本题考查等比数列的求和公式,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17(10分)已知等差数列an满足a32,前3项和S3 ()求an的通项公式; ()设等比数列bn满足b1a1,b4a15,求bn前n项和Tn 【分析】(I)设等差数列an的公差为d,由a32,前3项和S3可得a1+2d2,3a1+3d,解得a1,d即可得出 (II)b1a11,b4a158,可得等比数列bn的公比q满足q38,解得q利用求和公式即可得出 【解答】解:(I)设等差数列an的公差为d,a32,前3项和S3 a

    22、1+2d2,3a1+3d,解得a11,d an1+(n1) (II)b1a11,b4a158,可得等比数列bn的公比q满足q38,解得q2 bn前n项和Tn2n1 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 18(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2BbsinA (1)求B; (2)已知cosA,求sinC的值 【分析】(1)利用正弦定理将边化角即可得出cosB; (2)求出sinA,利用两角和的正弦函数公式计算 【解答】解:(1)asin2BbsinA, 2sinAsinBcosBsinBsinA, c

    23、osB,B (2)cosA,sinA, sinCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinB 【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题 19(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2,acosB(2cb)cosA (1)求角A的大小; (2)求ABC周长的最大值 【分析】(1)由已知及正弦定理,两角和的正弦函数公式得sinC2sinCcosA,结合sinC0,可求cosA由范围0A,可求A的值 (2)由余弦定理,基本不等式可求b+c4,即可得解 【解答】解:(1)由已知,得acosB+bcosA2ccosA 由正弦定理,得sinAcosB+

    24、sinBcosA2sinCcosA, 即sin(A+B)2sinCcosA,(2分) 因为sin(A+B)sinC, 所以sinC2sinCcosA 因为sinC0, 所以cosA(4分) 因为0A, 所以A(6分) (2)由余弦定理a2b2+c22bccosA, 得bc+4b2+c2, 即(b+c)23bc+4(8分) 因为bc()2,(10分) 所以(b+c)2(b+c)2+4即b+c4(当且仅当bc2 时等号成立) 所以a+b+c6(12分) 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 20(12分)

    25、数列an中,a13,an+12an+2 (I)求证:an+2是等比数列,并求数列an的通项公式; (II)设bn,求Snb1+b2+bn,并证明:nN*,Sn 【分析】()把原数列递推式变形,可得an+2是等比数列,求出其通项公式后可求数列an的通项公式; ()把数列an的通项公式代入,整理后利用错位相减法求Snb1+b2+bn,然后放缩得答案 【解答】()证明:由an+12an+2,得an+1+22(an+2), a1+250, an+2是首项为5,公比为2的等比数列, 则, ; ()解:, 得: ; , Sn单调递增,则, 【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法

    26、求数列的和,考查放缩法证明数列不等式,属中档题 21(12分)已知函数f(x),其中(2cosx,sin2x),(cosx,1),xR (1)求函数yf(x)的最小正周期和单调递增区间: (2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)2,a且sinB2sinC,求ABC的面积 【分析】(1)求出f(x)2sin(2x+)+1,由此能求出函数yf(x)的最小正周期和函数yf(x)的单调增区间 (2)由f(A)2,求出A,由,利用余弦定理得b2c由此能求出ABC的面积 【解答】解:(1)(2cosx,sin2x),(cosx,1),xR, f(x) 2sin(2x+)+1, 函数

    27、yf(x)的最小正周期为T, 单调递增区间满足+2k+2k,kZ 解得+kx+k,kZ 函数yf(x)的单调增区间是+k,kZ (2)f(A)2,2sin(2A+)+12,即sin(2A+), 又0A,A, ,由余弦定理得a2b2+c22bccosA(b+c)23bc7, sinB2sinC,b2c 由得c2, 【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间的求法,考查三角形面积的求法,考查同角三角函数、三角函数的最小正周期、三角函数的增区间、作弦定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题 22(12分)已知数列an中,a11,an+1 (

    28、1)求a2,a3,a4的值; (2)求证:数列a2n是等比数列; (3)求数列an的前n项和Sn,并求满足Sn0的所有正整数n的值 【分析】(1)直接由数列递推式求得a2,a3,a4的值; (2)设,由结合数列递推式证得数列是以,即为首项,以为公比的等比数列; (3)由(2)求出a2n,并进一步得到a2n1,从而得到a2n1+a2n,求得S2n,再由S2n1S2na2n求得S2n1,得到满足Sn0的所有正整数n的值 【解答】(1)解:由a11,an+1, 得,; (2)证明:设, , 数列是以,即为首项,以为公比的等比数列; (3)解:由(2)得, 即, 由,得, , S2n(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n1+a2n) 显然当nN*时,S2n单调递减, 又当n1时,0,当n2时,0, 当n2时,S2n0; , 同理,当且仅当n1时,S2n10, 综上,满足Sn0的所有正整数n为1和2 【点评】本题考查数列的函数特性,考查等比关系的确定,考查逻辑思维能力和运算推理能力,属难题 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/11/15 9:00:34;用户:17746823402;邮箱:17746823402;学号:28261463 第18页(共18页)


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