1、2018-2019学年江苏省南通市通州区、海门市、启东市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1（5分）在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，绕坐标原点O按逆时针方向旋转3弧度后所得角的终边在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知集合Ax|x2k1，kZ，B1，0，1，3，6，则AB中的元素个数为（）A1B2C3D43（5分）在下列区间上，方程x33x1无实数解的是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）4（5分）下列函数是周期函数
2、的是（）Ayx0Bysin|x|Cycosx（x0）Dy5（5分）对于定义在R上的函数f（x），给出下列四种说法：若f（0）0，则函数f（x）是奇函数；若f（2）f（2），则函数f（x）是偶函数；若f（2）f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数；若函数f（x）在（一，0上是单调增函数，在（0，+）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数其中，正确说法的个数是（）A0B1C2D36（5分）要得到函数ycos2x的图象，只需要把函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度7（5分）已知函数f（x）为幂函数、指数函数、对数函数中的一种
3、，下列图象法表示的函数f（x）中，分别具有性质f（x+y）f（x）+f（y）、f（xy）f（x）+f（y）、f（x+y）f（x）f（y）、f（xy）f（x）f（y）的函数序号依次为（）A，B，C，D，8（5分）在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，+（R，R），给出下列四组等式，其中，能使，为常数的组数是（）A1B2C3D4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.请把答案填写在答题卡相应位置上）9（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知幂函数yx的图象过点（8，），则的值为 10（5分）已知，均为锐角，tan，tan，则+的值为 11（5分）已知关于实数x的不等
4、式2x2bx+c0的解集为（1，），则b+c的值为 12（5分）已知lg2a，lg3b，则lg15 （用a，b表示）13（5分）九章算术中记载了弧田（逆弧和其所对弦围成的弓形）的面积公式S弧田，其中“弦”指逆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差已知一块弦长为6m的弧田按此公式计算所得的面积为（9+）m2，则该弧田的实际面积为 m214（5分）如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，点A，B分别在直线m，n上，且|5，则的最大值为 三、解答题（本大题共6小題，共计80分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已
5、知函数f（x）sincossin2+1（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间，0上的最大值和最小值以及相应的x的值16（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量（，1），（，）（1）求证：|2|且（2）设向量+（t3），+t，且，求实数t的值17（13分）在ABC中，已知cosA，cos（AB），且AB（1）求tanA的值；（2）求证：A2B18（13分）图为大型观览车主架示意图点O为轮轴中心，距地面高为32m（即OM32m）巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM2m），巨轮转动一周需15min某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3
6、周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M（1）试建立点M距地面的高度h（m）关于转动时间t（min）的函数关系，并写出定义域；（2）求转动过程中点M超过地面45m的总时长19（15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）ax+ax（a0，且a1）（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+）上的单调性；（3）若对任意的x1，x2（0，+），f（2x1）+f（2x2）mf（x1+x2），求实数m的最大值20（15分）设a为实数，函数f（x）（x+1）|xa|，xR（1）若a0，求不等式f（x）2的解集；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在
7、区间（a1，a+1）上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）写出函数yf（x）+a在R上的零点个数（不必写出过程）2018-2019学年江苏省南通市通州区、海门市、启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1（5分）在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，绕坐标原点O按逆时针方向旋转3弧度后所得角的终边在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接由3得答案【解答】解：3，3弧度角的终边在第二
8、象限故选：B【点评】本题考查象限角与轴线角，是基础题2（5分）已知集合Ax|x2k1，kZ，B1，0，1，3，6，则AB中的元素个数为（）A1B2C3D4【分析】利用交集定义先求出AB，由此能求出AB中的元素个数【解答】解：集合Ax|x2k1，kZ奇数，B1，0，1，3，6，AB1，1，3，AB中的元素个数为3故选：C【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）在下列区间上，方程x33x1无实数解的是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【分析】构造函数f（x）x33x+1，从而利用零点的判定定理证明即可【解答】解：令f（x）
9、x33x+1，易知f（x）在R上连续，f（1）1+3130，f（2）8+6+110且f（0）00+110，f（1）13+110，f（2）86+110，故f（x）在（2，1），（0，1），（1，2）上有零点，故方程x3+3x10在区间（1，0）上没有零点故选：B【点评】本题考查了函数与方程的关系应用及零点的判定定理的应用4（5分）下列函数是周期函数的是（）Ayx0Bysin|x|Cycosx（x0）Dy【分析】直接利用排除法，对周期函数的定义进行分析，进一步求出结果【解答】解：对于选项：A，函数：yx0（x0），故函数为常量函数，错误对于选项：B，函数为偶函数，图象关于y轴对称，错误对于选项：D
10、，函数为分段函数，错误以上选项都不满足f（x+A）f（x），只有选项：C满足cos（x+2k）cosx故选项C正确故选：C【点评】本题考查的知识要点：函数的性质周期性定义的考察和应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型5（5分）对于定义在R上的函数f（x），给出下列四种说法：若f（0）0，则函数f（x）是奇函数；若f（2）f（2），则函数f（x）是偶函数；若f（2）f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数；若函数f（x）在（一，0上是单调增函数，在（0，+）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数其中，正确说法的个数是（）A0B1C2D3【分析】利用函数的奇偶性判断的
11、正误；利用函数的单调性判断的正误；【解答】解：若f（0）0，则函数f（x）不一定是奇函数；不一定满足奇函数的定义所以不正确若f（2）f（2），则函数f（x）不一定是偶函数；不一定满足偶函数的定义所以不正确所以不正确若f（2）f（1），不一定满足函数的单调减函数的定义，则函数f（x）在R上不是单调减函数也可能是减函数，所以不正确；若函数f（x）在（一，0上是单调增函数，在（0，+）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数不正确，反例y，所以不正确；故选：B【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力6（5分）要得到函数ycos2x的图象，只需要把函数的图
12、象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】已知函数 即ycos（2x），再根据函数yAcos（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：把函数cos（2x）cos（2x）的图象向左平移个单位长度，可得函数ycos2（x+）cos2x的图象，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数yAcos（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题7（5分）已知函数f（x）为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数f（x）中，分别具有性质f（x+y）f（x）+f（y）、f（xy）f（x）+f（y）、f（x
13、+y）f（x）f（y）、f（xy）f（x）f（y）的函数序号依次为（）A，B，C，D，【分析】由函数图象可得函数类型，结合函数的性质得答案【解答】解：由图可知，对应于指数函数，对应于对数函数，对应于幂指数为正偶数的幂函数，对应于幂函数中的一次函数由f（x）x，可得f（x+y）f（x）+f（y）；由f（x）logax（a0且a1），可得f（xy）f（x）+f（y）；由f（x）ax（a0且a1），可得f（x+y）f（x）f（y）；由f（x）x2k（kN*），可得f（xy）f（x）f（y）分别具有性质f（x+y）f（x）+f（y）、f（xy）f（x）+f（y）、f（x+y）f（x）f（y）、f（xy
14、）f（x）f（y）的函数序号依次为，故选：D【点评】本题考查基本初等函数的图象与性质，是基础题8（5分）在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，+（R，R），给出下列四组等式，其中，能使，为常数的组数是（）A1B2C3D4【分析】设x，结合平面向量的线性运算有：+y+y（）x（1y）+（yx）+y，由题意有：xy0，即xy，逐一检验即可【解答】解：设x，则+y+y（）x（1y）+（yx）+y，又+（R，R），为常数，则xy0，即xy，满足题意的只有，故选：A【点评】本题考查了平面向量的基本定理及向量共线，属简单题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.请把答案填
15、写在答题卡相应位置上）9（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知幂函数yx的图象过点（8，），则的值为【分析】由幂函数yx的图象过点（8，），得f（8）8，由此能求出的值【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，幂函数yx的图象过点（8，），f（8）8，解得，故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5分）已知，均为锐角，tan，tan，则+的值为【分析】直接利用两角的和的正切关系式求出结果【解答】解：已知，均为锐角，tan，tan，则：0+，所以：1，故：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，两
16、角和的正切关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型11（5分）已知关于实数x的不等式2x2bx+c0的解集为（1，），则b+c的值为2【分析】由不等式的解集得到不等式所对应的方程的根，在由根与系数关系列式求得b，c的值，则b+c可求【解答】解：一元二次不等式2x2bx+c0的解集是（1， ），1，是方程2x2bx+c0的两根，由根与系数关系得：，即b1，c3b+c2故答案为：2【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程根与系数关系，是基础的计算题12（5分）已知lg2a，lg3b，则lg15ba+1（用a，b表示）【分析】推导出lg15lg3+lg5lg3+
17、1lg2，由此能求出结果【解答】解：lg2a，lg3b，lg15lg3+lg5lg3+1lg2ba+1故答案为：ba+1【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13（5分）九章算术中记载了弧田（逆弧和其所对弦围成的弓形）的面积公式S弧田，其中“弦”指逆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差已知一块弦长为6m的弧田按此公式计算所得的面积为（9+）m2，则该弧田的实际面积为129m2【分析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的半径和圆心角，再计算弓形的面积【解答】解：如图所示，弦长AB6，设矢CDx，则弧田的面积为S弧田（6x+
18、x2）9+，即x2+6x18+9，18（+2），9，解得x3或x63（不合题意，舍去）；设OAR，则ODR3，R2（R3）2+，解得R6，AOB，该弧田的实际面积为SS扇形SAOB6263129故答案为：129【点评】本题考查了扇形的面积与弓形的面积计算问题，也考查了方程的解法与应用问题，是中档题14（5分）如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，点A，B分别在直线m，n上，且|5，则的最大值为4【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由|5，求得a+b2，利用二次函数的性质求得的最大值【解答】解：平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距
19、离分别为1，2可得平行线m、n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示：则由题意可得点P（0，1），直线n的方程为y3，设点A（a，0）、点B（b，3），（a，1）、（b，2），+（a+b，1）|5，（a+b）2+125，a+b2，或a+b2（舍去）当a+b2时，ab2a（2a）2a2+2a2（a）2+4，当a时，取得最大值，最大值为4故答案为：4【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质，属于中档题三、解答题（本大题共6小題，共计80分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15
20、（12分）已知函数f（x）sincossin2+1（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间，0上的最大值和最小值以及相应的x的值【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数对称轴方程（2）利用（1）的函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值【解答】解：（1）函数f（x）sincossin2+1，令（kZ），整理得：（kZ），所以函数的对称轴方程为：（kZ）（2）由（1）得：由于：x，0，所以：，则：，所以：当x时，函数的最小值为当x0时，函数的最大值为1【点评】本题考查的知识要点：
21、三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量（，1），（，）（1）求证：|2|且（2）设向量+（t3），+t，且，求实数t的值【分析】（1）根据向量的坐标即可求出，从而得出，而进行向量坐标的数量积运算即可求出，从而得出；（2）根据即可得出，根据（1）进行数量积的运算即可求出，从而解t23t40即可解出t的值【解答】解：（1）证明：；（2）；由（1）得：4+0+t23tt23t4；t23t40；解得t1，或4【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及向
22、量的数量积运算17（13分）在ABC中，已知cosA，cos（AB），且AB（1）求tanA的值；（2）求证：A2B【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而可求tanA的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos（AB）cosB，由于ycosx在（0，）单调递减，且0AB，0B，即可证明A2B【解答】（本题满分为13分）解：（1）cosA，A（0，），sinA，3分tanA5分（2）证明：AB，可得：0AB，sin（AB），8分cosBcosA（AB）cosAcos（AB）+sinAsin（AB）+，11分又cos（AB），cos（AB）cosB，ycosx在（0，）
23、单调递减，且0AB，0B，ABB，即A2B得证13分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦函数的单调性在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（13分）图为大型观览车主架示意图点O为轮轴中心，距地面高为32m（即OM32m）巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM2m），巨轮转动一周需15min某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M（1）试建立点M距地面的高度h（m）关于转动时间t（min）的函数关系，并写出定义域；（2）求转动过程中点M超过地面45m的总时长【分析】（1）以
24、O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，以Ox为始边，按逆时针方向转动至终边OP，写出点P的纵坐标，计算M点距地面的高度；（2）利用点M超过地面45m时得出不等式，求出时间t的取值范围即可【解答】解：（1）如图所示，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间t（min）转动至终边OP所形成的角为t，则点P的纵坐标为30sin（t），所以M点距地面的高度为h30sin（t）+32230（1cost），t0，45；（2）当点M超过地面45m时，h30（1cost）45，即cost，所以+2kt+2k，kZ，即5+15kt10+15k，kZ；因为t0，45，所以t
25、（5，10）（20，25）（35，40），所以总时长为15分钟，即点M超过地面45m的总时长为15分钟【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题19（15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）ax+ax（a0，且a1）（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+）上的单调性；（3）若对任意的x1，x2（0，+），f（2x1）+f（2x2）mf（x1+x2），求实数m的最大值【分析】（1）由函数的奇偶性和整体思想可得函数解析式；（2）根据函数单调性的定义和指数函数的性质即可证明，（3）根据指数函数的性质和基本不等式即可求出m的最大值【解答】
26、解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）f（x），f（0）0，设x0，则x0，f（x）ax+ax，f（x）axax，f（x）（2）f（x）在（0，+）上单调递增，理由如下：设x1，x2（0，+），且x1x2，f（x1）f（x2）+a（）（a），当a1时，0，a0，则（）（a）0，当0a1时，0，a0，则（）（a）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在（0，+）上单调递增，（3）对任意的x1，x2（0，+），f（2x1）+f（2x2）mf（x1+x2），0，0，0，0f（2x1）+f（2x2）+a+a+a（+a）+（a+a）2a+22（a+）2f（x1+x2），
27、当且仅当x1x2时取等号，m2，即m的最大值为2【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性基本不等式，函数恒成立等问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20（15分）设a为实数，函数f（x）（x+1）|xa|，xR（1）若a0，求不等式f（x）2的解集；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间（a1，a+1）上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）写出函数yf（x）+a在R上的零点个数（不必写出过程）【分析】（1）代入a的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，得到关于a的不等式组，解
28、出判断即可；（3）通过讨论a的范围，判断函数的零点个数即可【解答】解：（1）a0时，f（x）（x+1）|x|，当x0时，x（x+1）2，即x2+x20，故不存在这样的实数x，当x0时，x（x+1）2，即x2+x20，解得：x1，故不等式f（x）2的解集是x|x1；（2）f（x）（x+1）|xa|，（i）若a1，则f（x）在（，递增，在，a递减，在a，+）递增，函数f（x）在（a1，a+1）上既有最大值又有最小值，f（x）maxf（），f（x）minf（a）0，从而，即，解得：，故不存在这样的实数a；（ii）若a1，则f（x）在（，a递增，在a，递减，在，+）递增，函数f（x）在区间（a1，a+1）上既有最大值又有最小值，故f（x）maxf（a）0，f（x）minf（），从而，即，解得：，故不存在这样的实数a；（iii）若a1，则f（x）为R上的递增函数，故f（x）在（a1，a+1）上不存在最大值又有最小值，综上，不存在这样的实数a；（3）当a23或a0时，函数yf（x）+a的零点个数为1，当a23或a0时，函数yf（x）+a的零点个数为2，当23a0时，函数yf（x）+a的零点个数为3【点评】本题考查了不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是一道综合题
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