相似三角形+圆相关证明与计算练习题（教师）

1、相似三角形 圆相关证明与计算练习题参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1（2014泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB=90，ACBC，AC=BC，ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）ABCD【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】计算题【分析】作FGAB于点G，由AEFG，得出=，求出RtBGFRtBCF，再由AB=BC求解【解答】解：作FGAB于点G，DAB=90，AEFG，=，ACBC，ACB=90，又BE是ABC的平分线，FG=FC，在RtBGF和RtBCF中，RtBGFRtBCF（HL），CB=GB，AC=BC

2、，CBA=45，AB=BC，=+1故选：C【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解2（2015大庆模拟）如图，在ABC中，D是BC的中点，DEBC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：BE=CE；CAD=ABE；AF=DF；SABF=3SDEF；DEFDAE，其中正确的有（）个A5B4C3D2【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE=CE，利用外角与内角的关系可以得出CAD=ABE，通过作辅

3、助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF=FH=HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF=DF，SABF=3SDEF，利用角的关系代替证明54，从而得出DEF与DAE不相似根据以上的分析可以得出正确的选项答案【解答】解：D是BC的中点，且DEBC，DE是BC的垂直平分线，CD=BD，CE=BE，故本答案正确；C=7，AD=AB，8=ABC=6+7，8=C+4，C+4=6+7，4=6，即CAD=ABE，故本答案正确；作AGBD于点G，交BE于点H，AD=AB，DEBC，2=3，DG=BG=BD，DEAG，CDECGA，BGHBDE，EH=BH，EDA=3，5=1，CD：CG=DE：AG

4、，HG=DE，设DG=x，DE=2y，则GB=x，CD=2x，CG=3x，2x：3x=2y：AG，解得：AG=3y，HG=y，AH=2y，DE=AH，且EDA=3，5=1DEFAHFAF=DF，故本答案正确；EF=HF=EH，且EH=BH，EF：BF=1：3，SABF=3SAEF，SDEF=SAEF，SABF=3SDEF，故本答案正确；1=2+6，且4=6，2=3，5=3+4，54，DEFDAE，不成立，故本答案错误综上所述：正确的答案有4个故选B【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识3（2015辽

5、宁二模）如图，在RtABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，AC=6，AB=9，则AD=（）A2B3C4D5【考点】射影定理菁优网版权所有【分析】利用射影定理得到：AC2=ADAB，把相关线段的长度代入进行解答即可【解答】解：RtABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，AC2=ADAB，AC=6，AB=9，36=9AD，则AD=4故选：C【点评】本题考查了射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项4（2015盘锦）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）mA4B5CD2【考点】圆锥的计算菁优网版权所有【分

6、析】首先连接AO，求出AB的长度是多少；然后求出扇形的弧长为多少，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可【解答】解：如图1，连接AO，AB=AC，点O是BC的中点，AOBC，又BAC=90，ABO=AC0=45，AB=（m），=2（m），将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：22=（m），圆锥的高是：=（m）故选：C【点评】此题主要考查了圆锥的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少5（2015巴彦淖尔）如图，在半径为2，圆心角为90的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A1B21C1D2【

7、考点】扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】已知BC为直径，则CDB=90，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与ADC的面积之差【解答】解：在RtACB中，AB=2，BC是半圆的直径，CDB=90，在等腰RtACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACBSADC=22（）2=1故选A【点评】本题主要考查扇形面积的计算，不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键6（2014泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的

8、面积为（）A（1）cm2B（+1）cm2C1cm2Dcm2【考点】扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q面积相等连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知AOD=BOD=45，故可得出绿色部分的面积=SAOD，利用阴影部分Q的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色，故可得出结论【解答】解：扇形OAB的圆心角为90，扇形半径为2，扇形面积为：=（cm2），半圆面积为：12=（cm2），SQ+SM =SM+SP=（cm2），SQ=SP，连接AB，OD，两半圆的直径相等，AOD=BOD=45，S绿色=SAOD=21=1（cm2），阴影部

9、分Q的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色=1=1（cm2）故选：A【点评】此题主要考查了扇形面积求法，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键7（2015兰州）如图，O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PMAB于点M，PNCD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45时，点Q走过的路径长为（）ABCD【考点】弧长的计算；矩形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式即可【解答】解：PMAB于点M，PNCD于点N，四边形

10、ONPM是矩形，又点Q为MN的中点，点Q为OP的中点，则OQ=1，点Q走过的路径长=故选A【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式二填空题（共4小题）8（2014湖州）如图，已知在RtOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD若OCDACO，则直线OA的解析式为y=2x【考点】相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三

11、角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答【解答】解：设OC=a，点D在y=上，CD=，OCDACO，=，AC=，点A（a，），点B是OA的中点，点B的坐标为（，），点B在反比例函数图象上，=，=2k2，a4=4k2，解得，a2=2k，点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x故答案为：y=2x【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键

12、，也是本题的难点9（2005绵阳）如图，若CD是RtABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=【考点】射影定理；勾股定理菁优网版权所有【分析】由三角形的性质：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项，即CD2=ADBD，可将BD的长求出，然后在RtBCD中，根据勾股定理可将BC的边求出【解答】解：若CD是RtABC斜边上的高，AD=3，CD=4CD2=ADBD，即42=3BD解得：BD=在RtBCD中，BC2=CD2+BD2，BC=故答案为：【点评】本题主要考查三角形的性质及对勾股定理的应用10（2014张家界）如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，

13、MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为【考点】垂径定理；轴对称的性质菁优网版权所有【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直AB于H根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，OE=3，OF=4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为故答案为：【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键

14、11（2014扬州）如图，以ABC的边BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若A=65，则DOE=50【考点】圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】如图，连接BE由圆周角定理和三角形内角和定理求得ABE=25，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题【解答】解：如图，连接BEBC为O的直径，CEB=AEB=90，A=65，ABE=25，DOE=2ABE=50，（圆周角定理）故答案为：50【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大三解答题（共19小题）12（2015泰安模拟）如图，在平

15、面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，APQ与AOB相似？（3）当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，当APQ=AOB时，APQAOB利用其对应边成比例解t当AQP=A

16、OB时，AQPAOB利用其对应边成比例解得t（3）过点Q作QE垂直AO于点E在RtAEQ中，QE=AQsinBAO=（102t）=8t，再利用三角形面积解得t即可【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+6；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，所以AP=t，AQ=102t，当APQ=AOB时，APQAOB所以=，解得t=（秒），当AQP=AOB时，AQPAOB所以=，解得t=（秒）；当t为秒或秒时，APQ与AOB相似；（3）过点Q作QE垂直AO于点E在RtAOB中，sinBAO=，在RtAEQ中，QE=AQsinBAO=（102t

17、）=8t，SAPQ=APQE=t（8t），=t2+4t=，解得t=2（秒）或t=3（秒）当t为2秒或3秒时，APQ的面积为个平方单位【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题13（2015岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EFAM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N（1）求证：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，B=90，ADBC，得出AMB=EAF，再由B=AFE

18、，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，B=90，ADBC，AMB=EAF，又EFAM，AFE=90，B=AFE，ABMEFA；（2）解：B=90，AB=12，BM=5，AM=13，AD=12，F是AM的中点，AF=AM=6.5，ABMEFA，即，AE=16.9，DE=AEAD=4.9【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键14（2015泰安）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC

19、边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）易证APD=B=C，从而可证到ABPPCD，即可得到=，即ABCD=CPBP，由AB=AC即可得到ACCD=CPBP；（2）由PDAB可得APD=BAP，即可得到BAP=C，从而可证到BAPBCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长【解答】解：（1）AB=AC，B=CAPD=B，APD=B=CAPC=BAP+B，APC=APD+DPC，BAP=DPC，ABPPCD，=，ABCD=CPBPAB=AC，ACCD=CPBP；（2

20、）PDAB，APD=BAPAPD=C，BAP=CB=B，BAPBCA，=AB=10，BC=12，=，BP=【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明ACCD=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C进而得到BAPBCA是解决第（2）小题的关键15（2014义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P（1）若AE=CF；求证：AF=BE，并求APB的度数；若AE=2，试求APAF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径

21、长【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题；动点型【分析】（1）证明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；【解答】（1）证明：ABC为等边三角形，AB=AC，C=CAB=60，又AE=CF，在ABE和C

22、AF中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60APB=180APE=120C=APE=60，PAE=CAF，APEACF，即，所以APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且ABP=BAP=30，AOB=120，又AB=6，OA=，点P的路径是当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：所以，点P经过的路径长为或

23、3【点评】本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用16（2015武汉）已知锐角ABC中，边BC长为12，高AD长为8（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K求的值；设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在ABC一边上，另两个顶点分别在ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据

24、EFBC，可得，所以，据此求出的值是多少即可首先根据EH=x，求出AK=8x，再根据=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可【解答】解：（1）EFBC，=，即的值是EH=x，KD=EH=x，AK=8x，=，EF=，S=EHEF=x（8x）=+24，当x=4时，S的最大值是24（2）设正方形的边长为a，当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，解得a=当正方形

25、PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，AB=AC，ADBC，BD=CD=122=6，AB=AC=，AB或AC边上的高等于：ADBCAB=81210=，解得a=综上，可得正方形PQMN的边长是或【点评】（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形（2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点

26、坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值（3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握17（2015茂名）如图，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0t），连接MN（1）若BMN与ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若ANCM，求t的值【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】（1）根据题

27、意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当BMNBAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当BMNBCA时，解得t，综上所述，BMN与ABC相似，得t的值；（2）过点M作MDCB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得CANDCM，由三角形相似的性质得，解得t【解答】解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA=10（cm），当BMNBAC时，解得：t=；当BMNBCA时，解得：t=，BMN与ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MDCB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t=（cm

28、），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，CD=（8）cm，ANCM，ACB=90，CAN+ACM=90，MCD+ACM=90，CAN=MCD，MDCB，MDC=ACB=90，CANDCM，=，解得t=【点评】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键18（2013株洲）已知在ABC中，ABC=90，AB=3，BC=4点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P（1）当点P在线段AB上时，求证：AQPABC；（2）当PQB为等腰三角形时，求AP的长【考点】相似三角形

29、的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由两对角相等（APQ=C，A=A），证明AQPABC；（2）当PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示由三角形相似（AQPABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP【解答】（1）证明：PQAQ，AQP=90=ABC，在APQ与ABC中，AQP=90=ABC，A=A，AQPABC（2）解：在RtABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5QPB为

30、钝角，当PQB为等腰三角形时，（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示QPB为钝角，当PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由（1）可知，AQPABC，即，解得：PB=，AP=ABPB=3=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示QBP为钝角，当PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQBP=BQ，BQP=P，BQP+AQB=90，A+P=90，AQB=A，BQ=AB，AB=BP，点B为线段AP中点，AP=2AB=23=6综上所述，当PQB为等腰三角形时，AP的长为或6【点评】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大第（2）问中，当PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分

31、类讨论，避免漏解19（2014泸州）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CECA（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AFCD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）求出CDECAD，CDB=DAC得出结论（2）连接OC，先证ADOC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PCPD=PBPA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明AFDACB，得，则可设FD=x，AF=，在RtAFP中，利

32、用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF【解答】（1）证明：DC2=CECA，=，CDECAD，CDB=DAC，四边形ABCD内接于O，BC=CD；（2）解：方法一：如图，连接OC，BC=CD，DAC=CAB，又AO=CO，CAB=ACO，DAC=ACO，ADOC，=，PB=OB，CD=，=PC=4又PCPD=PBPA4（4+2）=OB3OBOB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，在RtACB中，AC=2，AB是直径，ADB=ACB=90FDA+BDC=90CBA+CAB=90BDC=CAB，FDA=CBA，又AFD=ACB=90，AFDACB在RtAFP中，设FD=x，则AF=，在R

33、tAPF中有，求得DF=方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证PCOPDA，可得=，PGOPFA，可得=，可得，=，由方法一中PC=4代入，即可得出DF=【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解20（2013巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形

34、相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在RtADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，C+B=180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，ADFDEC（2）解：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=6【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错21（2015上海）已知，如图，平行四边形ABCD的

35、对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE（1）求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到CEO=CDE，推出BDECDE，即可得到结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，BO=OD，OE=OB，OE=OD，OBE=OEB，OED=ODE，OBE+OEB+OED+ODE=180，BEO+DEO=BED=90，DEB

36、E；（2）OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键22（2014眉山）如图，在RtABC中，C=90，RtBAP中，BAP=90，已知CBO=ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC（1）求证：AP=AO；（2）求证：PEAO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所

37、有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作ODAB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明APE和OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得AEP=ADO=90，从而得证；（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=104k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在RtBDO中，利用勾股定理列式求解即可【解答】（1）证明：C=90，BAP=90CBO+BOC=90，ABP+APB=90，又CBO=ABP，BOC=APB，BOC=AO

38、P，AOP=APB，AP=AO；（2）证明：如图，过点O作ODAB于D，CBO=ABP，CO=DO，AE=OC，AE=OD，AOD+OAD=90，PAE+OAD=90，AOD=PAE，在AOD和PAE中，AODPAE（SAS），AEP=ADO=90PEAO；（3）解：设AE=OC=3k，AE=AC，AC=8k，OE=ACAEOC=2k，OA=OE+AE=5k由（1）可知，AP=AO=5k如图，过点O作ODAB于点D，CBO=ABP，OD=OC=3k在RtAOD中，AD=4kBD=ABAD=104kODAP，即解得k=1，AB=10，PE=AD，PE=AD=4K，BD=ABAD=104k=6，O

39、D=3在RtBDO中，由勾股定理得：BO=3【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键23（2014牡丹江）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB于点D点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止设运动时间为t秒（1）求线段CD的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系

40、式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得SCPQ：SABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）当t为何值时，CPQ为等腰三角形？【考点】相似形综合题；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长（2）过点P作PHAC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用SCPQ：SABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t【解答】解：（1）如图1，ACB=90，AC=8，BC=6，AB=10CDAB，SABC=BCAC=ABCDCD=4.8线段CD的长为4.8（2）过点P作PHAC，垂足为H，如图2所示由题可知DP=t，CQ=t则CP=4.8tACB=CDB=90，HCP=90DCB=BPHAC，CHP=90CHP=ACBCHPBCAPH=tSCPQ