1、2018-2019学年湖南省益阳市箴言中学高一（下）5月月考数学试卷一选择题本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求1（5分）sin等于（）ABCD2（5分）在等差数列an中，a1+a910，则a5的值为（）A5B6C8D103（5分）若扇形的半径为1，面积为，则该扇形的圆心角为（）ABCD4（5分）已知向量，且，则sin2+cos2的值为（）A1B2CD35（5分）设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为（）ABCD16（5分）将函数ycosx+sinx（xR）的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（）对称Ay轴B原点（0，0
2、）C直线xD点（，0）7（5分）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）Ab10，A45，B60Ba60，c48，B120Ca7，b5，A75Da14，b16，A458（5分）已知函数ysin（x+）（0，0），且此函数的图象如图所示，由点P（，）的坐标是（）A（2，）B（2，）C（4，）D（4，）9（5分）若数列an满足：a119，an+1an3（nN*），而数列an的前n项和最大时，n的值为（A6B7C8D910（5分）设向量与的夹角为，且，则cos（）ABCD11（5分）在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2acosBc，且满足 sinAsinB（2
3、cosC）sin2+，则ABC为（）A锐角非等边三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形12（5分）某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A15米B5米C10米D12米二填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数的单调增区间是 14（5分）设向量满足及，则的值为 15（5分）已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 16（5分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l
4、1，2，3，且ij，kl，则的最小值是 三解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）计算：sin（2）化简sin50（1+tan10）18（10分）已知向量和，其中，kR（1）当k为何值时，有；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围19（12分）已知如图：平行四边形ABCD中，BC6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点（1）求证：GH平面CDE；（2）若CD2，DB4，求四棱锥FABCD的体积20（12分）已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55，（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和21
5、（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若锐角ABC的三个角A，B，C满足，求f（A）的取值范围22（14分）已知aR，函数f（x）x|xa|（1）当a2时，求函数yf（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）f（x）1的零点个数2018-2019学年湖南省益阳市箴言中学高一（下）5月月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求1（5分）sin等于（）ABCD【分析】运用诱导公式即可化简求值【解答】解：sinsin（3）sin故选：A【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，特殊角的三角函数值等基
6、本知识，属于基础题2（5分）在等差数列an中，a1+a910，则a5的值为（）A5B6C8D10【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用，用求出结果【解答】解：由等差数列的性质得a1+a92a5，a55故选：A【点评】给出等差数列的两项，若两项中间有奇数个项，则可求出这两项的等差中项，等比数列也有这样的性质，等比中项的求解时注意有正负两个结果3（5分）若扇形的半径为1，面积为，则该扇形的圆心角为（）ABCD【分析】利用扇形的面积公式，即可求得结论【解答】解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为、半径为1，12，故选：B【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题4（5分）已
7、知向量，且，则sin2+cos2的值为（）A1B2CD3【分析】由题意可得 0，即解得tan2，再由 sin2+cos2，运算求得结果【解答】解：由题意可得 sin2cos0，即 tan2sin2+cos21，故选：A【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题5（5分）设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为（）ABCD1【分析】先利用等比数列的通项公式分别表示出a2，a3，a4，代入原式化简整理，进而利用公比求得答案【解答】解：根据题意，故选：A【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用考查了学生对等比数列基础
8、知识的掌握和灵活利用6（5分）将函数ycosx+sinx（xR）的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（）对称Ay轴B原点（0，0）C直线xD点（，0）【分析】先利用两角和公式对函数的解析式化简，进而根据三角函数图象平移的法则求得平移后函数解析式，进而利用三角函数的性质求得答案【解答】解：ycosx+sinx2sin（x+），函数的图象向左平移个长度单位后得f（x）2sin（x+）2cosx，函数的图象关于y轴对称，故选：A【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质解题的关键是求得函数的解析式7（5分）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）Ab10
9、，A45，B60Ba60，c48，B120Ca7，b5，A75Da14，b16，A45【分析】由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，判断ABC解的个数【解答】解：若b10，A45，B60，则由正弦定理可得，求得a，故ABC有一解；若a60，c48，B120，则由余弦定理可得b2a2+c22accosB8784，求得b只有一解，故ABC有一解；若a7，b5，A75，则由正弦定理可得，求得sinB，再根据ba，可得B为锐角，故角B只有一个，故ABC有一解；若a14，b16，A45，则由正弦定理可得 ，求得sinB，再根据ba，可得BA，B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故ABC有两解
10、，故选：D【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，大边对大角，属于基础题8（5分）已知函数ysin（x+）（0，0），且此函数的图象如图所示，由点P（，）的坐标是（）A（2，）B（2，）C（4，）D（4，）【分析】先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得的值，再将点（，0）代入函数解析式，利用五点作图法则及的范围求得值，最后即可得点P（，）的坐标【解答】解：由图象可得函数的周期T2（），得2，将（，0）代入ysin（2x+）可得sin（+）0，+2k （注意此点位于函数减区间上）+2k，kZ由0可得，点（，）的坐标是（2，），故选：B【点评】本题主要考查了yAsin（x+）型
11、函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用9（5分）若数列an满足：a119，an+1an3（nN*），而数列an的前n项和最大时，n的值为（A6B7C8D9【分析】先由题设条件求出an19+（n1）（3）223n，再由an223n0，得n，由此得到数列an的前n项和数值最大时，n的值【解答】解：a119，数列an是首项为19，公差为3的等差数列，an19+（n1）（3）223n，由an223n0，得n，数列an的前n项和数值最大时，n的值是7故选：B【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10（5分）设向量与的夹角为，且
12、，则cos（）ABCD【分析】由条件求得， 的坐标，再根据cos 计算求得它的值【解答】解：向量与的夹角为，且，（2，1），则cos，故选：A【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积的定义，属于基础题11（5分）在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2acosBc，且满足 sinAsinB（2cosC）sin2+，则ABC为（）A锐角非等边三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到AB，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二
13、倍角的余弦函数公式化简，将A+BC，AB0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状【解答】解：将已知等式2acosBc，利用正弦定理化简得：2sinAcosBsinC，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，2sinAcosBsinAcosB+cosAsinB，即sinAcosBcosAsinBsin（AB）0，A与B都为ABC的内角，AB0，即AB，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2cosC）（1cosC）+1cosC，cos（A+B）cos（AB）（2cosC）1cosC，（cosC1）（2cosC）1cosC，即（cosC+1）（
14、2cosC）2cosC，整理得：cos2C2cosC0，即cosC（cosC2）0，cosC0或cosC2（舍去），C90，则ABC为等腰直角三角形故选：C【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题12（5分）某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30，则塔高为（）A15米B5米C10米D12米【分析】先设出塔高为h，进而在RtAOC中求得OCOA，在RtAOD中根据ADO30表示出OD最后在OCD中，利用余弦定理求得关于h的一元二次方程进而
15、求得h【解答】解：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh在RtAOD中，ADO30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2+CD22OCCDcosOCD，即（h）2h2+1022h10cos120，h25h500，解得h10或h5（舍）；故选：C【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是将实际问题转化为解三角形的问题解答；考查了学生综合分析问题和解决问题的能力二填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数的单调增区间是（，3）【分析】欲求函数的单调递增区间，先考虑x2x12的单调递减区间即可，但必须考虑真数大于0这个范围才行
16、【解答】解：由x2x120得x3或 x4令g（x）x2x12，则当x3时，g（x）为减函数，当 x4时，g（x）为增函数函数又 是减函数，故 在（，3）为增函数故答案为：（，3）【点评】本小题主要考查对数函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题14（5分）设向量满足及，则的值为【分析】利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可【解答】解：向量满足及，可得，可得，则故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法考查计算能力15（5分）已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为1
17、5【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x4，根据余弦定理表示出cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：设三角形的三边分别为x4，x，x+4，则cos120，化简得：x164x，解得x10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC的面积S610sin12015故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题16（5分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为
18、起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l1，2，3，且ij，kl，则的最小值是5【分析】如图建立直角坐标系不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，如图建立坐标系（1）当i1，j2，k1，l2时，则（1，0）+（1，1）（1，0）+（1，1）5；（2）当i1，j2，k1，l3时，则（1，0）+（1，1）（1，0）+（0，1
19、）3；（3）当i1，j2，k2，l3时，则（1，0）+（1，1）（1，1）+（0，1）4；（4）当i1，j3，k1，l2时，则（1，0）+（0，1）（1，0）+（1，1）3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，5，4，或3则的最小值是5故答案为：5【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力三解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）计算：sin（2）化简sin50（1+tan10）【分析】利用三角恒等变换化简求值即可【解答】解：（1）sin1
20、；（2）sin50（1+tan10）【点评】本题主要考查了三角函数中恒等变换的应用，涉及同角三角函数的基本关系式，倍角公式，属基础题18（10分）已知向量和，其中，kR（1）当k为何值时，有；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围【分析】（1）根据题意，设，则有，结合向量、的坐标，可得tk2+t0，解可得k的值，即可得答案；（2）根据题意，若向量与的夹角为钝角，则有0，由数量积的计算公式可得，结合向量不共线分析可得答案【解答】解：（1）由，设，所以，即，又，得与不共线，所以tk2+t0，解得k2，（2）因向量与的夹角为钝角，所以，又，得，所以，即k8，又向量与不共线，由（1）知k2，所
21、以k8且k2【点评】本题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系19（12分）已知如图：平行四边形ABCD中，BC6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点（1）求证：GH平面CDE；（2）若CD2，DB4，求四棱锥FABCD的体积【分析】（1）证明GH平面CDE，利用线面平行的判定定理，只需证明HGCD；（2）证明FA平面ABCD，求出SABCD，即可求得四棱锥FABCD的体积【解答】（1）证明：EFAD，ADBC，EFBC且EFADBC四边形EFBC是平行四边形，H为FC的中点（2分）又G是FD的中点HGCD（4分）HG
22、平面CDE，CD平面CDEGH平面CDE（7分）（2）解：平面ADEF平面ABCD，交线为AD且FAAD，FA平面ABCD（9分）BC6，FA6又CD2，DB4，CD2+DB2BC2BDCD（11分）SABCDCDBD8VFABCDSABCDFA616（14分）【点评】本题考查线面平行，考查四棱锥的体积，解题的关键是正确运用线面平行的判定，属于中档题20（12分）已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55，（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的前n项和公式及其通项公式即可得出；（2）由于，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（
23、1）设等差数列an的公差为d，前n项和Sn满足S30，S55，解得a11，d1an1（n1）2n（2），数列的前n项和【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若锐角ABC的三个角A，B，C满足，求f（A）的取值范围【分析】（1）把已知函数解析式变形，降幂后利用辅助角公式化积，再由复合函数的单调性求函数f（x）的单调增区间；（2）由求得角B，进一步得到A的范围，则f（A）的取值范围可求【解答】解：（1）令，函数f（x）的单调增区间，kZ；（2）由（1）可知，在锐角ABC中
24、：于是：由锐角三角形ABC知，故0f（A）的取值范围是【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是中档题22（14分）已知aR，函数f（x）x|xa|（1）当a2时，求函数yf（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）f（x）1的零点个数【分析】（1）求出a2的函数解析式，讨论x2时，x2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）f（x）1的零点个数即为yf（x）与y1的交点个数画出图象，讨论a0，a0，a2，0a2a2，及a0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数【解答】解：（1）当a2时，f（x）x|x2|，当x2时，f（x
25、）x22x，对称轴为x1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+）；当x2时，f（x）x2+2x，对称轴为x1，所以，f（x）的单调递增区间为（，1）（2）令g（x）f（x）10，即f（x）1，f（x），求函数g（x）的零点个数，即求yf（x）与y1的交点个数；当xa时，f（x）x2ax，对称轴为x，当xa时，f（x）x2+ax，对称轴为x，当a0时，f（x）x|x|，故由图象可得，yf（x）与y1只存在一个交点当a0时，a，且f（），故由图象可得，1当a2时，f（）1，yf（x）与y1只存在两个交点；2当0a2时，f（）1，yf（x）与y1只存在一个交点；3当a2时，f（）1，yf（x）与y1只存在三个交点当a0时，a，故由图象可得，yf（x）与y1只存在一个交点综上所述：当a2时，g（x）存在三个零点；当a2时，g（x）存在两个零点；当a2时，g（x）存在一个零点【点评】本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题
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