1、第八篇 平面解析几何专题8.03圆与方程【考试要求】掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.【知识梳理】1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2
2、(y0b)2r2M在圆内.【微点提醒】1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()【教材衍化】2.(必修2P124A1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，
3、C.(2，3)，13 D.(2，3)，3.(必修2P130例3改编)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24【真题体验】4.(2019日照调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A.(1，1) B.(0，1)C.(，1)(1，) D.a15.(2019荆州模拟)若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是()A.2 B.2 C.1 D.16.(2016浙江卷)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0
4、表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.【考点聚焦】考点一圆的方程【例1】 (1)(一题多解)(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_.(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为_.【规律方法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆
5、的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)若圆C：x2n的圆心为椭圆M：x2my21的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为_.(2)(2018枣庄模拟)已知圆M与直线xy0及xy40都相切，且圆心在直线yx2上，则圆M的标准方程为_.考点二与圆有关的最值问题角度1斜率型、截距型、距离型最值问题【例21】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.【规律方法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m的最值问
6、题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度2利用对称性求最值【例22】 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.54 B.1C.62 D.【规律方法】求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段
7、之和，一般要通过对称性解决.【训练2】 (1)设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_.(2)已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3
8、)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.【反思与感悟】1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.【易错防范】1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.熟练掌握配方法，能把圆的
9、一般方程化为标准方程.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019宁波调研)已知圆C的圆心为(2，1)，半径长是方程(x1)(x4)0的解，则圆C的标准方程为()A.(x1)2(y2)24 B.(x2)2(y1)24C.(x2)2(y1)216 D.(x2)2(y1)2162.(2019临沂模拟)已知圆C：(x6)2(y8)24，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A.(x3)2(y4)2100 B.(x3)2(y4)2100C.(x3)2(y4)225 D.(x3)2(y4)2253.若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则实数a的取值范围是()A
10、.(，2) B.C.(2，0) D.4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x2)2(y1)21 B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24 D.(x2)2(y1)215.已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(4，a)，C(2a2，2)，则ABC外接圆的方程是()A.x2(y3)25 B.x2(y3)25C.(x3)2y25 D.(x3)2y25二、填空题6.已知圆C：(x2)2(ym4)21，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是_.7.(2019湖州模拟)已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标
11、为_.8.已知点M(1，0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_.三、解答题9.已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程.10.已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若圆过点(0，1)，(0，5)，且被直线xy0截得的弦长为2，则圆的方程为()A.x2(y2)2
12、9或(x4)2(y2)225B.x2(y2)29或(x1)2(y2)210C.(x4)2(y2)225或(x4)2(y2)217D.(x4)2(y2)225或(x4)2(y1)21612.已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点.记d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，则d的最大值为_.13.(2017天津卷)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_.14.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.【新高考创新预测】15.(多填题)已知实数x，y满足x2y26x8y110，则的最大值为_，|3x4y28|的最小值为_.12
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