1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.07解三角形的实际应用【考试要求】能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.【知识梳理】1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.【微点提醒】1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几
2、何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向.()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.【教材衍化】2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，
3、CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 m B.50 mC.25 m D. m【答案】A【解析】由正弦定理得，又ABC30，AB50(m).3.(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.【答案】a【解析】由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，ADa，所以在RtADB中，ABADa.【真题体验】4.(2018济南月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10 B.北偏西10
4、C.南偏东80 D.南偏西80【答案】D【解析】由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.5.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.【答案】【解析】如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6612sin 60.6.(2019天津和平区调研)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sin BA
5、C，AB3，AD3，则BD的长为_.【答案】【解析】因为sinBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD.【考点聚焦】考点一求距离、高度问题角度1测量高度问题【例11】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【答案】100【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).【
6、规律方法】1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A.5 B.15 C.5 D.15【答案】D【解析】在BCD中，CBD1801530135.由正弦
7、定理得，所以BC15.在RtABC中，ACB60，ABBCtan ACB1515.角度2测量距离问题【例12】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【答案】见解析【解析】在ABD中，由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1 km，因为ABD120，由正弦定理得，解得AD km，在ACD中，由AC2AD2CD2
8、2ADCDcos 150，得93CD22CD，即CD23CD60，解得CD km，BCBDCD km，两个小时小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，即2.5千米，而2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.【规律方法】1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速
9、度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时.【答案】【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.考点二测量角度问题【例2】 已知岛A南偏西38方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私
10、船？【答案】见解析【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.【规律方法】1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解
11、.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30 B.45 C.60 D.75【答案】B【解析】依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用【例3】 (2019洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角AOB，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B
12、重合).(1)若弦BC4(1)，求的长；(2)求四边形OACB面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)在OBC中，BC4(1)，OBOC4，所以由余弦定理得cosBOC，所以BOC，于是的长为4.(2)设AOC，则BOC，S四边形OACBSAOCSBOC44sin 44sin24sin 8cos 16sin，由于，所以，当时，四边形OACB的面积取得最大值16.【规律方法】1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.【训练4
13、】 (2019临沂检测)如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的长.【答案】见解析【解析】(1)在BEC中，由正弦定理，知，因为B，BE1，CE，所以sinBCE.(2)因为CEDB，所以DEABCE，所以cosDEA.因为A，所以AED为直角三角形，又AE5，所以ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.所以CD7.【反思与感悟】利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位
14、角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.【易错防范】在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. km B. km C. km D.2 km【答案】A【解析】如图，在ABC中，由已知可得ACB45，AC2(km).2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，
15、c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A. B. C. D.【答案】D【解析】对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离.3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A.10海里 B.10海里C.20海里 D.20海里【答案】A【解析】如图所示，易知，在 ABC中，AB20，CAB30
16、，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里).4.(2019深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60，则塔高为()A. m B. m C. m D. m【答案】A【解析】如图所示.在RtACD中可得CDBE，在ABE中，由正弦定理得，则AB，所以DEBC200(m).5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A.240(1)m B.180(1)mC.120(1)m D.30(1)m【答案】C【解析】如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD6
17、0(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m).二、填空题6.如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_.【答案】【解析】在ACD中，由余弦定理可得cos C，则sin C.在ABC中，由正弦定理可得，则AB.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.【答案】50【解析】连接OC，由题意知CD150米，OD100米，CDO6
18、0.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CDODcos 60，即OC50.8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.【答案】【解析】在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 3
19、0sinACBsin 30.三、解答题9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为多少米？(取1.4，1.7)【答案】见解析【解析】如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000(m).又在ABC中，所以BCsin 1510 500().因为CDAD，所以CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350(m).故山顶的海拔高度为10 0007 3502 650(m).10.在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长.【答案】见解析【解析】设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由题设知0B0).又BD，DAB，由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，AD2，AB3，sinABD.(2)ABBC，cosDBCsinABD，sinDBC，CD.19
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