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    专题1.2 常用逻辑用语 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)

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    专题1.2 常用逻辑用语 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)

    1、第一篇 集合与不等式专题1.02常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与

    2、存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p,读作“非p”) 名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记xM,p(x)x0M,p(x0)否定x0M,p(x0)xM,p(x)【微点提醒】1.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA),与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的

    3、否定规律是“改量词,否结论”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知p:x1和q:x1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.【教材衍化】2.(选修21P26A3改编)命题“xR,x2x0”的否定是()A.x0R,x02x00 B.x0R,x02x00C.xR,x2x0 D.xR,x2x2n,则p为()A.nN,n22n B.

    4、nN,n22nC.nN,n22n D.nN,n22n【答案】C【解析】命题p的量词“”改为“”,“n22n”改为“n22n”, p:nN,n22n.5.(2018天津卷)设xR,则“”是“x31”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由,得0x1,所以0x31;由x31,得x1,不能推出0x1.所以“”是“x31是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1)|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2,又|a|b|

    5、1,ab0ab,因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件.(2)当m1时,f f(1)f f(2)22m14,当f f(1)4时,f f(1)f f(2)22m1422,2m12,解得m.故“m1”是“f f(1)4”的充分不必要条件.【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练1】 (2018浙江卷)已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m,n,mn,由线面平行的判定定理知m.若

    6、m,m,n,不一定推出mn,直线m与n可能异面,故“mn”是“m”的充分不必要条件.考点二充分条件、必要条件的应用典例迁移【例2】 (经典母题)已知Px|x28x200,非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由x28x200,得2x10,Px|2x10.xP是xS的必要条件,则SP.解得m3.又S为非空集合,1m1m,解得m0.综上,m的取值范围是0,3.【迁移探究1】 本例条件不变,若xP是xS的必要不充分条件,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知,SP,或解得0m3或0m3,0m3,故m的取值范围是0,3.【迁移探究2】 本例条件不

    7、变,若xP的必要条件是xS,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知Px|2x10,若xP的必要条件是xS,即xS是xP的必要条件,PS,解得m9.故m的取值范围是9,).【迁移探究3】 本例条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?并说明理由.【答案】见解析【解析】由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件,则PS,这样的m不存在.【规律方法】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集

    8、合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练2】 (2019临沂月考)设p:实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】由p得(x3a)(xa)0,当a0时,3ax0,则2x3或x2,则x4或x2.设p:A(3a,a),q:B(,4)2,),又p是q的充分不必要条件.可知AB,a4或3a2,即a4或a.又a0,a4或a0,即实数a的取值范围为(,4.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31】 (1)命题“nN*,f(n)N

    9、*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*,f(n)N*且f(n)nB.nN*,f(n) N*或f(n)nC.n0N*,f(n0) N*且f(n0)n0D.n0N*,f(n0) N*或f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()A.xR,1f(x)2B.x0R,12D.xR,f(x)1或f(x)2【答案】(1)D(2)D【解析】(1)全称命题的否定为特称命题,命题的否定是:n0N*,f(n0) N*或f(n0)n0.(2)特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“xR,f(x)1或f(x)2”.角度2含有量词(、)的参数取值问题【例32】 (经典母

    10、题)已知f(x)ln(x21),g(x)m,若对x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】当x0,3时,f(x)minf(0)0,当x1,2时,g(x)ming(2)m,对x10,3,x21,2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)min,得0m,所以m.【迁移探究】 若将“x21,2”改为“x21,2”,其他条件不变,则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】当x1,2时,g(x)maxg(1)m,对x10,3,x21,2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)max,得0m,m.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定

    11、与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.【训练3】 (2019衡水调研)已知命题p:xR,log2(x2xa)0恒成立,命题q:x02,2,2a2x0,若命题p和q都成立,则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】当命题p成立时,x2xa1恒成立,即x2xa10恒成立,14(a1).当命题q成立时,2a(2x0)max,x02,2,a2.故a2,a的取值范围是.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充

    12、要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断:设Ax|p(x),Bx|q(x);若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;若AB,则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2.注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定.【核心素养提升】逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的

    13、关键要素是:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1A,都存在x2B,使得g(x2)f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x,g(x)x,若对任意x11,1,总存在x20,2,使得f(x1)2ax1g(x2)成立,求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】由题意知,g(x)在0,2上的值域为.令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2),则h(x)6x2,由h(

    14、x)0得x.当x时,h(x)0,所以h(x)minha22a.又由题意可知,h(x)的值域是的子集,所以解得实数a的取值范围是2,0.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B,使得f(x1)g(x2)成立”【例2】 已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0),若存在x10,1及x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数k的取值范围.【答案】见解析【解析】由题意,易得函数f(x)的值域为0,1,g(x)

    15、的值域为,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即22k1或2k0,解得k,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是.【评析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A,都存在x2B,使得f(x1)0B.不存在xZ,使x22xm0C.xZ,使x22xm0D.xZ,使x22xm0【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题.故选D.2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是

    16、()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数【答案】D【解析】因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”,所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是:“至少有一个实数的平方不是正数”.3.设xR,则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2x0,得x2,由|x1|1,得0x2.当x2时不一定有0x2,而当0x2时一定有x2,“2x0”是“|x1|1”的必要不充分条件.4.(2019焦作模拟)命题p:cos ,命题q:tan 1,则p是q

    17、的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由cos ,得2k,kZ,则tan 1,故pq,p是q的不充分条件;由tan 1,得k,kZ,则cos ,故qp,p是q的不必要条件;所以p是q的既不充分也不必要条件.5.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由S4S62S5S6S5(S5S4)a6a5d,所以S4S62S5等价d0,所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.6.已知命题

    18、p:“x0,1,aex”,命题q:“x0R,x024x0a0”.若命题p和q都成立,则实数a的取值范围是()A.(4,) B.1,4 C.e,4 D.(,1)【答案】C【解析】对于p成立,a(ex)max,ae.对于q成立,知x24xa0有解,则164a0,解得a4.综上可知ea4.7.(2017北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数,使得mn,则mnnn|n|20;反之mn|m|n|cosm,n0cosm,n0m,n,当m,n时,m,n不共线.故“存在

    19、负数,使得mn”是“mn1 C.a4 D.a4【答案】D【解析】命题成立的充要条件是x1,2),ax2恒成立,即a4.命题成立的一个充分不必要条件可以是a4.二、填空题9.直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.【答案】1k3【解析】直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于,解之得1k3(xm)”是“q:x23x4m3或xm,q:4xb”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为f(x)3x3x,所以f(x)3xln 33xln 3(1)3xln 33xln 3,易知f(x)0

    20、,所以函数f(x)3x3x为(,)上的单调递增函数,从而由“ab”可得“f(a)f(b)”,由“f(a)f(b)”可得“ab”,即“ab”是“f(a)f(b)”的充要条件.15.设p:实数x满足x24ax3a20时,A(a,3a);当a0时,有解得1a2;当a0时,显然AB,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,2.16.设数列an是等比数列,求证:“an是递增数列”的充要条件为“a1a2a3”.【答案】见解析【解析】证明充分性:设数列an的公比为q,则通项公式为ana1qn1.由a1a2a3,得a1a1q1,a10或0q1,a10,所以数列an为递增数列.必要性:若数列an是递增数列,则必有a1a2a3.综上“a1a2b,则b,但是,故答案可以为1,1(答案不唯一,满足a0,b0即可).13


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