1、2018-2019学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）1（5分）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（）A平行B相交C异面D垂直2（5分）已知直线l经过点P（2，5），且斜率为，则直线l的方程为（）A3x+4y140B3x4y+140C4x+3y140D4x3y+1403（5分）若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为（）A30B45C60D1204（5分）下列函数中，满足“f（xy）f（x）f（y）“的单调
2、递增函数是（）Af（x）x3Bf（x）lgxCf（x）（）xDf（x）3x5（5分）若直线11：2xay10过点（1，1），l2：x+2y0，则直线l1与l2（）A平行B相交但不垂直C垂直D相交于点（2，1）6（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD7（5分）已知函数，则（）A4BC4D8（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直9（5分）已知函数f（x）ax（a0，且a1），当x0时，f（x）1，方程yax+表示的直线是（）ABCD10（5分）如图，在四面体ABCD中，
3、截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为4511（5分）已知f（x）loga（83ax）在1，2上的减函数，则实数a的取值范围是（）A（0，1）BCD（1，+）12（5分）九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内
4、的部分）已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈10尺100寸，3.14，sin22.5）A600立方寸B610立方寸C620立方寸D633立方寸二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知直线ykx+2k+1，则直线恒经过的定点 14（5分）在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为 15（5分）已知集合Ax|log2（2x4）1，集合By|y（）x，x，则AB 16（5分）平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是 （填上所有你认为正确的序号）正三边形 正四边形 正五
5、边形 正六边形 钝角三角形 等腰梯形 非矩形的平行四边形三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知直线l的方程为x+2y60，直线l1与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l1的方程18（12分）设函数f（x）x2+2xm（1）当m3时，求函数f（x）的零点（2）当x1，+）时，f（x）0恒成立，求m的最大值19（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H（）求四面体ABCD的体积；（）证明：四边形EFGH是矩形20（12分）已知ABC的顶点A（5，
6、1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50AC边上的高BH所在直线为x2y50求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程21（12分）已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，O为AB的中点（）求证：EO平面ABCD；（）求点D到面AEC的距离22（12分）已知函数f（x）+a（aR）（1）判断并证明f（x）在（1，+）上的单调性；（2）若存在1mn使得f（x）在m，n上的值域为m，n求实数a的取值范围2018-2019学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
7、符合题日要求的）1（5分）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（）A平行B相交C异面D垂直【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项【解答】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直故选：D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三
8、垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案2（5分）已知直线l经过点P（2，5），且斜率为，则直线l的方程为（）A3x+4y140B3x4y+140C4x+3y140D4x3y+140【分析】直接弦长直线方程的点斜式，整理为一般式得答案【解答】解：直线l经过点P（2，5），且斜率为，直线l的点斜式方程为y5（x+2），整理得：3x+4y140故选：A【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题3（5分）若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为（）A30B45C60D120【分析】作AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，AB
9、C是直线与平面所成的角，由此能求出AB所在直线与平面所成的角【解答】解：如图，AC，垂足为C，ABB，则BC是AB在平面内的射影，ABC是直线与平面所成的角，线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，BCAB，ABC60AB所在直线与平面所成的角为60故选：C【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题4（5分）下列函数中，满足“f（xy）f（x）f（y）“的单调递增函数是（）Af（x）x3Bf（x）lgxCf（x）（）xDf（x）3x【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题
10、意，依次分析选项：对于A，对于f（x）x3，有（xy）3x3y3，满足f（xy）f（x）f（y），符合题意；对于B，f（x）lgx，为对数函数，不满足f（xy）f（x）f（y），不符合题意；对于C，f（x）（）x，为指数函数，不满足f（xy）f（x）f（y），不符合题意；对于D，f（x）3x，为指数函数，不满足f（xy）f（x）f（y），不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题5（5分）若直线11：2xay10过点（1，1），l2：x+2y0，则直线l1与l2（）A平行B相交但不垂直C垂直D相交于点（2，1）【分析】利用直线l1：2xay10过点（1
11、，1），求出a，求出两条直线的斜率，即可得出结论【解答】解：直线l1：2xay10过点（1，1），2a10，a1，直线l1：2xy10的斜率为2，l2：x+2y0的斜率为，直线l1与l2：x+2y0互相垂直故选：C【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础6（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面
12、上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合故选：D【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错7（5分）已知函数，则（）A4BC4D【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可【解答】解：f（）log52，f（2），故选：B【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用8（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直【分析】根据该正
13、方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则ABCE；DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60；AB，CD异面但不垂直故选：D【点评】考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图9（5分）已知函数f（x）ax（a0，且a1），当x0时，f（x）1，方程yax+表示的直线是（）ABCD【分析】判断a的范围，利用函数的图象经过的特殊点，判断求解即可【解答】解：函数f（x）ax（a0，且a1），当x0时，f
14、（x）1，0a1，方程yax+，令x0可得y，y0可得x，C选项正确故选：C【点评】本题考查函数的图象的判断，指数函数的应用，考查计算能力10（5分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQMN、QMPN，则PQ平面ACD、QM平面BDA，所以PQAC，QMBD，由PQQM可得ACBD，故A正确；由PQAC可
15、得AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；BDPN，PQAC，而当ANDN时，由PNMN，知BDAC，故C错误故选：C【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定11（5分）已知f（x）loga（83ax）在1，2上的减函数，则实数a的取值范围是（）A（0，1）BCD（1，+）【分析】先将函数f（x）loga（83ax）转化为ylogat，t83ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解【解答】解：令ylogat，t83ax，（1）若0a1，则函ylogat，是减函数，由题设知t83ax为增函数，需a0，故此时无解；（2）若a1，则函数yloga
16、t是增函数，则t为减函数，需a0且83a20，可解得1a综上可得实数a 的取值范围是（1，）故选：B【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围12（5分）九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）已知弦AB1尺，弓形高C
17、D1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈10尺100寸，3.14，sin22.5）A600立方寸B610立方寸C620立方寸D633立方寸【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案【解答】解：如图，AB10（寸），则AD5（寸），CD1（寸），设圆O的半径为x（寸），则OD（x1）（寸），在RtADO中，由勾股定理可得：52+（x1）2x2，解得：x13（寸）sinAOD，即AOD22.5，则AOB45则弓形的面积S6.33（平方寸）则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V6.33100633（立方寸）故选：D【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求
18、法，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知直线ykx+2k+1，则直线恒经过的定点（2，1）【分析】将直线化简成点斜式的形式得：y1k（x+2），可得直线的斜率为k且经过定点（2，1），从而得到答案【解答】解：将直线ykx+2k+1化简为点斜式，可得y1k（x+2），直线经过定点（2，1），且斜率为k即直线ykx+2k+1恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题给出含有参数k的直线方程，求直线经过的定点坐标着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题14（5分）在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，P
19、C4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为2【分析】要使PM的最小，只需CM最小即可，作CHAB于H，连PH，根据线面垂直的性质可知PHAB，PH为PM的最小值，在直角三角形PCH中求出PH即可【解答】解：如图，作CHAB于H，连PH，PC面ABC，PHAB，PH为PM的最小值，而CH2，PC4，PH2故答案为：2【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题15（5分）已知集合Ax|log2（2x4）1，集合By|y（）x，x，则AB，【分析】解对数不等式得：A，求指数函数值域有：B，再利用交集及其运算可得解，【解答】解：解不等式：log2（2x
20、4）1得：02x42，即：2x3，即A，由y（）x，x，求其值域得：0y，即B，即AB，故答案为：【点评】本题考查了解对数不等式、求指数函数值域及交集及其运算，属简单题16（5分）平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是（填上所有你认为正确的序号）正三边形 正四边形 正五边形 正六边形 钝角三角形 等腰梯形 非矩形的平行四边形【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得正六边形，最少与三个面相交得正三边形，因此用一个平面去截一正方体，截面可能为正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形【解答】解：画出截面图形如图：可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角
21、三角形，故正确，错误；可以画出正四边形，故正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形但此时不可能是正五边形，故错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故正确可以画出非矩形的平行四边形，故故平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形故答案为：【点评】本题考查平面截正方体的截面图形的判断，考查棱柱的结构特征等基础知识，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1
22、0分）已知直线l的方程为x+2y60，直线l1与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l1的方程【分析】由题意可设直线l1的方程为：x+2y+m0，可得与两坐标轴的交点，利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：由题意可设直线l1的方程为：x+2y+m0，可得与两坐标轴的交点分别为：（m，0），（0，）则4，解得m4直线l1的方程为：x+2y40【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、直线与坐标轴的交点、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）设函数f（x）x2+2xm（1）当m3时，求函数f（x）的零点（2）当x1，+）时，f（x）0恒成立，求
23、m的最大值【分析】（1）求得f（x）的解析式，令f（x）0，解方程可得所求零点；（2）由题意可得mx2+2x在x1的最小值，由二次函数的单调性可得最小值，即可得到所求m的最大值【解答】解：（1）m3时，f（x）x2+2x3，由f（x）0，可得x1或3，则f（x）的零点为1或3；（2）当x1，+）时，f（x）0恒成立，可得mx2+2x在x1的最小值，由yx2+2x在x1递增，可得函数y的最小值为3，即有m3，即m的最大值为3【点评】本题考查二次函数的零点和二次不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于基础题19（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分
24、别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H（）求四面体ABCD的体积；（）证明：四边形EFGH是矩形【分析】（）证明AD平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（）证明四边形EFGH是平行四边形，EFHG，即可证明四边形EFGH是矩形【解答】（）解：由题意，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V；（）证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形【点评】本
25、题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50AC边上的高BH所在直线为x2y50求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程【分析】（1）先求直线AC的方程，然后求出C的坐标（2）设出B的坐标，求出M代入直线方程为2xy50，与直线为x2y50联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程【解答】解：直线AC的方程为：y12（x5），即2x+y110，解方程组得则C点坐标为（4，3）设B（m，n），则M（，），整理得，解得则B点坐标为（1，3），y3（x4），即6x5y90【点评】本
26、题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题21（12分）已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，O为AB的中点（）求证：EO平面ABCD；（）求点D到面AEC的距离【分析】（I）连接CO，利用AEB为等腰直角三角形，证明EOAB，利用勾股定理，证明EOCO，利用线面垂直的判定，可得EO平面ABCD；（II）利用等体积，即VDAECVEADC，从而可求点D到面AEC的距离【解答】（I）证明：连接COAEB为等腰直角三角形O为AB的中点，EOAB，EO1（2分）又ABBC，ABC60，ACB是等边三角形，（4分）又EC2，EC2EO2+CO2，EOCO，ABCOOEO
27、平面ABCD（6分）（II）解：设点D到面AEC的距离为h（8分），E到面ACB的距离EO1，VDAECVEADCSAEChSADCEO（10分）点D到面AEC的距离为（12分）【点评】本题考查线面垂直，考查点到面距离的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，考查等体积的运用，属于中档题22（12分）已知函数f（x）+a（aR）（1）判断并证明f（x）在（1，+）上的单调性；（2）若存在1mn使得f（x）在m，n上的值域为m，n求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，设1x1x2，由作差法分析可得结论；（2）根据题意，结合函数的单调性可得，分析可得方程f（x）x即x2+（a+3）x+（a+
28、3）0在区间（1，+）上有两个不同的根，设g（x）x2+（a+3）x+（a+3），结合二次函数的性质分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）+a在（1，+）上为增函数；设1x1x2，则f（x1）f（x2）（+a）（+a），又由1x1x2，则（x11）0，（x21）0，（x1x2）0，则f（x1）f（x2）0，则函数函数f（x）+a在（1，+）上为增函数；（2）根据题意，由（1）的结论，函数f（x）在（1，+）上为增函数，若存在1mn使得f（x）在m，n上的值域为m，n，即，则方程f（x）x即x2+（a+3）x+（a+3）0在区间（1，+）上有两个不同的根，设g（x）x2+（a+3）x+（a+3），必有，解可得a1，即a的取值范围为（1，+）【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性，属于综合题
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