1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点八 平面向量一、平面向量的线性运算例1：如图，三个半径为的圆两两外切（，为圆心），且等边的每一边都与其中的两个圆相切，则 【答案】【解析】由题意易得，所以二、平面向量的坐标运算例2：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针旋转角得到点若平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】，顺时针旋转时，代入得，即，故选A三、平面向量数量积例3：如图在矩形中，点为的中点，点在上，若，则的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】选基向量和，由题意得，即，解得，点为的中点，故选B四
2、、平面向量和三角形函数，解三角形的综合例4：在中，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，根据题意知，点在以，为邻边的平行四边形内部，动点的轨迹所覆盖图形的面积为，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），又为的内心，所以内切圆半径，又，动点的轨迹所覆盖图形的面积为故答案为A五、平面向量和平面几何的综合例5：在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，圆的方程为，设点的坐标为，所以，其中，故的最大值为，故选
3、A对点增分集训一、选择题1梯形中，且，则（ ）ABCD不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得故选C2在中，是边所在直线上任意一点，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】中，是边所在直线上任意一点，存在实数，使得，即，化简得，结合平面向量基本定理，得，解之得，故选C3已知两点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，由，得，点的轨迹为一个以原点为圆心，为半径的圆，因在直线上，故圆心到直线的距离，故，故选C4已知，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示，且，又，取中点为，可得，的终点在以为圆心，为半径的圆上
4、运动，当点在点处，的最小值为；当点在的延长线时，的最大值为，的取值范围是，故选A5若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】，即，即，是等腰三角形，故选A6长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，则的最大值是（ ）ABCD【答案】B【解析】，即，即，故，（当且仅当时，等号成立）；故，故的最大值为7过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知得圆心坐标满足，即，可知圆心在直线上运动，则设，则，易知函数在上为增函数，所以故选C8如图，四边形是边长为的正方形，点为内（含边界）的
5、动点，设（，），则的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，设因为，所以，即，所以，所以，则由题意知动点的运动区域为内（含边界），因此平行于直线的直线经过点时，取得最大值，即，故选D9如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则三角形的面积为，解得，由，且，三点共线，可知，故以点为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立如图所示坐标系，则，则，则（当且仅当，即时取“”）故的最小值为故选B10已知，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】
6、由题意建立如图所示的坐标系，可得，当且仅当，即时，取等号，由可得，由可得，的最大值为，最小值为则的范围是故选D11在平面内，定点，满足，动点，满足，则的最大值是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，到，三点的距离相等，是的外心，同理可得，从而是的垂心，的外心与垂心重合，因此是正三角形，且是的中心，正三角形的边长为，以为原点建立直角坐标系，三点坐标分别为，由，设点的坐标为，其中，而，即是的中点，可以写出的坐标为，则，当时，取得最大值故选B12如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为在平面四
7、边形中，所以，设，所以，因为，所以，即，解得，即，因为在上，所以，由，得，即，因为，所以因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以所以的最小值为，故选A13已知为的重心，过点的直线与边，分别相交于点，若，则当与的面积之比为时，实数的值为 【答案】或【解析】设，则由，可得，所以又为的重心，所以结合，三点共线，得联立消去，得，解得或14已知腰长为的等腰直角三角形中，为斜边的中点，点为所在平面内一动点，若，则的最小值是 【答案】【解析】如图，以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，则，故，设，则，当时，取得最小值，其最小值为15在中，且，若，则实数的值是 【答案】【解析】设在中，三个内角，的对边分别是，则为的重心，又，则，如图，作的中线，由余弦定理得，即，由正弦定理得，再由余弦定理得，16如图，等边的边长为，顶点，分别在轴的非负半轴，轴的非负半轴上移动，为的中点，则的最大值为 【答案】【解析】设，因为，所以，则，设，因为是边长为的等边三角形，所以，解得，即，则，因为为的中点，所以，所以（其中，），所以的最大值为17
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