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    2017-2018学年湖南省长沙市重点中学高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

    • 资源ID:93794       资源大小:342.50KB        全文页数:19页
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    2017-2018学年湖南省长沙市重点中学高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

    1、一、选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)设集合A1,3,集合B1,2,4,5,则集合AB()A1,3,1,2,4,5B1C1,2,3,4,5D2,3,4,52(3分)已知tan,则sin的值为()ABCD3(3分)已知|4,|3,且与不共线,若向量与互相垂直,则k的值为()ABCD4(3分)如果奇函数f(x)在区间2,8上是减函数且最小值为6,则f(x)在区间8,2上是()A增函数且最小值为6B增函数且最大值为6C减函数且最小值为6D减函数且最大值为65(3分)函数f(x)2x+3x7的零点所在的区间是()A(1,0)B(

    2、0,1)C(1,2)D(2,3)6(3分)ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2c2+b2ab,则C()A30B60C120D60或1207(3分)在ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则ABC的形状是()A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形8(3分)已知集合,若AB,则实数a的取值范围是()A1a2B1a2CD1a29(3分)设是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosx,则tan()ABCD10(3分)化简的结果是()A1BsinCtanDtan11(3分)先把函数f(x)sin(x)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标

    3、不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到yg(x)的图象当x时,函数g(x)的值域为()ABCD1,0012(3分)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知x2,3时,f(x)x,则x2,0时,f(x)的解析式为f(x)()Ax+4B2xC3|x+1|D2|x+1|13(3分)若函数,0,xR,又f(x1)2,f(x2)0,且|x1x2|的最小值为,则的值为()ABCD214(3分)如图,正ABC的中心位于点G(0,1),A(0,2),动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度AGPx(0x2),向量在(1,0)方向的射影为y(O为坐标原点),则y关于x的函数yf(

    4、x)的图象是()ABCD15(3分)已知定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)则关于x的方程6f(x)2f(x)10的实数根个数为()A6B7C8D9二、填空题(每题3分,满分15分,将答案填在答题纸上)16(3分)lg2+lg5+0   17(3分)已知tan3,则   18(3分)已知向量,满足|2,与的夹角为60,则在上的投影是   19(3分)若函数f(x)2x2kx3在区间2,4上具有单调性,则实数k的取值范围是   20(3分)在ABC中,已知,P为线段AB上的一点,且,则的最小值为   三、解答题(本大题共5小题,共40分

    5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21已知集合Ax|(x+3)(x2)0,Bx|1x4(1)求AB;(2)求(RA)B22设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的大小;(2)若b2,sinC2sinA,求a,c的值23已知函数f(x)sinxcoxcos2x+(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若角,的终边不共线,且f()f(),求tan(+)的值24已知向量(cos,sin),(cos,sin),|(1)求cos()的值;(2)若0,0,且sin,求sin25已知二次函数f(x)x2+x,若不等式f(x)+f(x)2|x|的解集为C(1)求集合C;(2)若函数

    6、g(x)f(ax)ax+111(a0且a1)在集合C上存在零点,求实数a的取值范围2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)设集合A1,3,集合B1,2,4,5,则集合AB()A1,3,1,2,4,5B1C1,2,3,4,5D2,3,4,5【分析】集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起,构成集合AB,由此利用集合A1,3,集合B1,2,4,5,能求出集合AB【解答】解:集合A1,3,集合B1,2,4,5,集合AB1,2,3,4,5故选:C

    7、【点评】本题考查集合的并集及其运算,是基础题解题时要认真审题,仔细解答2(3分)已知tan,则sin的值为()ABCD【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解【解答】解:tan,解得或,sin故选:B【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题3(3分)已知|4,|3,且与不共线,若向量与互相垂直,则k的值为()ABCD【分析】由向量与互相垂直,得()()169k20,由此能求出k【解答】解:|4,|3,且与不共线,向量与互相垂直,()()169k20,解得k故选:A【点评】本题考查实数值的求法,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方

    8、程思想,是基础题4(3分)如果奇函数f(x)在区间2,8上是减函数且最小值为6,则f(x)在区间8,2上是()A增函数且最小值为6B增函数且最大值为6C减函数且最小值为6D减函数且最大值为6【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,分析可得答案【解答】解:根据题意,f(x)在区间2,8上是减函数,且最小值为6,即f(8)6,且f(x)6,又由f(x)为奇函数,则f(x)在区间8,2上是减函数,且f(8)6,则有f(x)6,故选:D【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用,注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,属于基础题5(3分)函数f(x)2x+3x7的零点

    9、所在的区间是()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【分析】判断求解端点的函数值,利用零点判定定理求解即可【解答】解:函数f(x)2x+3x7,因为y2x是增函数,y3x7是增函数,所以函数f(x)2x+3x7是增函数f(1)0f(0)170f(1)2+370f(2)4+670函数f(x)2x+3x7的零点所在的区间是:(1,2)故选:C【点评】本题考查零点判定定理的应用,是基础题6(3分)ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2c2+b2ab,则C()A30B60C120D60或120【分析】直接由已知结合余弦定理求解【解答】解:在ABC中,由a2c2+b2ab,

    10、可得cosC,0C180,C60故选:B【点评】本题考查余弦定理的应用,是基础的计算题7(3分)在ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则ABC的形状是()A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系,判断三角形的形状即可【解答】解:在ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,可得,可得sin2Asin2B可得2A2B或2A+2B,即:AB或A+B;故选:D【点评】本题考查正弦定理的应用,三角形的形状的判断,考查计算能力8(3分)已知集合,若AB,则实数a的取值范围是()A1a2B1a2CD1a2【分析】解指数

    11、不等式求得A,解对数不等式求得B,再根据AB,求得实数a的取值范围【解答】解:由 ,可得 x2x60,解得 x3,或x2,故A(,2)(3,+)由log4(x+a)1log44,可得 0x+a4,解得ax4a,B(a,4a)若AB,则有 ,解得1a2,故选:B【点评】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法,两个集合的交集的定义和运算,属于中档题9(3分)设是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosx,则tan()ABCD【分析】根据任意角的余弦的定义和已知条件可得x的值,再由tan的定义求得结果【解答】解:由题意可得x0,r|OP|,故 cos再由  可得 x3,tan,

    12、故选:D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题10(3分)化简的结果是()A1BsinCtanDtan【分析】利用诱导公式,同角三角函数基本关系式化简所求即可得解【解答】解:tan故选:C【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题11(3分)先把函数f(x)sin(x)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到yg(x)的图象当x时,函数g(x)的值域为()ABCD1,00【分析】首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式,进一步利用

    13、函数的定义域求出函数的值域【解答】解:把函数f(x)sin(x)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到f(x)sin(2x)的图象,再把新得到的图象向右平移个单位,得到yg(x)sin2(x)sin(2x)的图象x时,所以:sin(2x)故选:B【点评】本题考查的知识要点:函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用,正弦型函数的性质的应用12(3分)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知x2,3时,f(x)x,则x2,0时,f(x)的解析式为f(x)()Ax+4B2xC3|x+1|D2|x+1|【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性,结合x2,3时,f(x)x,可得答案【解答】解

    14、:f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,x2,3时,f(x)x,x2,1时,2+x0,1,4+x2,3,此时f(x)f(4+x)4+x,x1,0时,x0,1,2x2,3,此时f(x)f(x)f(2x)2x,综上可得:x2,0时,f(x)3|x+1|故选:C【点评】本题考查函数解析式的求法,函数的周期性,函数的奇偶性,难度中档13(3分)若函数,0,xR,又f(x1)2,f(x2)0,且|x1x2|的最小值为,则的值为()ABCD2【分析】利用辅助角公式化积,结合已知得到函数的最小正周期,再由周期公式求得【解答】解:,函数f(x)的最大值为2,f(x1)2,f(x2)0,且|x1x2|的最小值

    15、为,函数f(x)的周期T46,由周期公式可得T6,解得,故选:A【点评】本题考查三角函数的最值,考查了三角函数的图象和性质,是基础题14(3分)如图,正ABC的中心位于点G(0,1),A(0,2),动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度AGPx(0x2),向量在(1,0)方向的射影为y(O为坐标原点),则y关于x的函数yf(x)的图象是()ABCD【分析】由题意,可通过几个特殊点来确定正确选项,可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值,再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律,由此即可得出正确选项【解答】解:设BC边与Y轴交点为M,已知可得GM0.5,故AM1.5,正

    16、三角形的边长为连接BG,可得tanBGM,即BGM,所以BGA,由图可得当x时,射影为y取到最小值,其大小为(BC长为),由此可排除A,B两个选项;又当点P从点B向点M运动时,x变化相同的值,此时射影长的变化变小,即图象趋于平缓,由此可以排除D,C是适合的;故选:C【点评】由于本题的函数关系式不易获得,可采取特值法,找几个特殊点以排除法得出正确选项,这是条件不足或正面解答较难时常见的方法15(3分)已知定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)则关于x的方程6f(x)2f(x)10的实数根个数为()A6B7C8D9【分析】先设tf(x),求出方程6f(x)2f(x)10的解,利用函数的奇偶

    17、性作出函数在x0时的图象,利用数形结合即可得到结论【解答】解:设tf(x),则关于x的方程6f(x)2f(x)10,等价6t2t10,解得t或t,当x0时,f(0)0,此时不满足方程若2x4,则0x22,即f(x)(2|x3|1),若4x6,则2x24,即f(x)(2|x5|1),作出当x0时,f(x)的图象如图:当t时,f(x)对应3个交点函数f(x)是奇函数,当x0时,由f(x),可得当x0时,f(x),此时函数图象对应4个交点,综上共有7个交点,即方程有7个根故选:B【点评】本题主要考查函数方程根的个数的判断,利用换元法,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大二、填空题(每题

    18、3分,满分15分,将答案填在答题纸上)16(3分)lg2+lg5+02【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解【解答】解:lg2+lg5+0lg10+12故答案为:2【点评】本题考查对数式、指数式化简求值,考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题17(3分)已知tan3,则【分析】直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解:tan3,故答案为:【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题18(3分)已知向量,满足|2,与的夹角为60,则在上的投影是1【分析】根据投影的定义,应用公式|cos,求解【

    19、解答】解:根据向量的投影定义,在上的投影等于|cos,21故答案为:1【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用19(3分)若函数f(x)2x2kx3在区间2,4上具有单调性,则实数k的取值范围是(,816,+)【分析】若函数f(x)2x2kx3在区间2,4上具有单调性,则,解得答案;【解答】解:若函数f(x)2x2kx3在区间2,4上具有单调性,则解得k(,816,+)故答案为:(,816,+)【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键20(3分)在ABC中,已知,P为线段AB上的一点,且,则的最小值为【分析】设A

    20、Bc,BCa,ACb,由sinBcosAsinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C90,再由,SABC6,可求得c5,b3,a4,考虑建立直角坐标系,由P为线段AB上的一点,则存在实数使得(3,44)(01),设出单位向量 ,推出x3,y44则4x+3y12,而利用 利用基本不等式求解最小值【解答】解:ABC中设ABc,BCa,ACbsinBcosAsinCsin(A+C)sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosAsinCcosAsinAcosC0sinA0cosC0 C90,SABC6bccosA9,bcsinA6tanA,根据直角三角形可得sinA,cosA,bc1

    21、5c5,b3,a4以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0,0),A(3,0),B(0,4)P为线段AB上的一点,则存在实数使得 (3,44)(01)设 ,则|1,由(x,0)+(0,y)(x,y),x3,y44,则4x+3y12(也可以直接利用P为线段AB上的一点,三点共线,可得:,)(7+)故所求的最小值为故答案为:【点评】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解把已知所给的向量关系,建立x,y与的关系,解决本题的第二个关键点在于由x3,y44发现4x+3y12为定值,从而考虑利用基

    22、本不等式求解最小值三、解答题(本大题共5小题,共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21已知集合Ax|(x+3)(x2)0,Bx|1x4(1)求AB;(2)求(RA)B【分析】(1)求出集合A,B,由此能求出AB(2)求出UAx|x3或x2,由此能求出(RA)B【解答】解:(1)集合Ax|(x+3)(x2)0x|3x2,Bx|1x4ABx|1x2(2)UAx|x3或x2,(RA)Bx|x3或x1【点评】本题考查交集、补集、并集的求法,考查交集、补集、并集定义等基础知识,是基础题22设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的大小;(2)若b2,sinC2sinA,

    23、求a,c的值【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得tanB的值,结合范围B(0,),利用特殊角的三角函数值即可求得B的值(2)由已知及正弦定理可得c2a,利用余弦定理可求9a2+c2ac,联立即可解得a,c的值,【解答】解:(1)又由正弦定理,可得:sinB,可得:tanB,B(0,),B(2)由sinC2sinA及 正弦定理,得c2a,又b2,B,由余弦定理b2a2+c22accosB,得12a2+c2ac,由得a2,c4【点评】本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题23已知函数f(x)sinxcoxcos2x+(1)求f(x

    24、)的单调递增区间;(2)若角,的终边不共线,且f()f(),求tan(+)的值【分析】(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的单调区间(2)利用(1)的函数关系式,进一步建立和的关系式,最后求出函数的值【解答】解:(1)函数f(x)sinxcoxcos2x+,令(kZ),解得:(kZ),故函数的单调递增区间为:(kZ)(2)由于f(x),所以f(),f(),角,的终边不共线,所以,整理得,所以tan(+)【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用24已知向量(cos,sin),(cos,sin),|(1)求cos

    25、()的值;(2)若0,0,且sin,求sin【分析】(1)1,同理1利用数量积运算性质|,可得,展开即可得出;(2)由0,0,且sin,可得0,sin()再利用sinsin()+展开即可得出【解答】解:(1)1,同理1|,化为22(coscos+sinsin),cos()(2)0,0,且sin,0,sin()sinsin()+sin()cos+cos()sin【点评】本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式,考查了推理能力和技能数列,属于中档题25已知二次函数f(x)x2+x,若不等式f(x)+f(x)2|x|的解集为C(1)求集合C;(2)若函数g(x)f

    26、(ax)ax+111(a0且a1)在集合C上存在零点,求实数a的取值范围【分析】(1)直接把函数f(x)x2+x代入不等式,化简解答即可(2)先把函数f(x)x2+x代入方程f(ax)ax+15(a1),方程f(ax)ax+15(a1)在C上有解,转化为ax在某一范围上有解,利用根的存在性定理,解答即可【解答】解:(1)f (x)+f (x)2x2当 x0时,2x22x0x1,当 x0时,2x22x1x0,集合 C1,1(2)f (ax)ax+1110(ax)2(a1)ax110,令 axu则方程为 h(u)u2(a1)u110   h(0)11当 a1时,u,a,h(u)0 在,a上有解,则 a11,当 0a1时,ua,h(u)0 在a,上有解,则0a,当 0a或 a11时,方程在C上有解,且有唯一解【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键


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