1、2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一（下）期末数学试卷一、选择题：选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）sin15cos15（）ABCD2（3分）设Sn12+48+（2）n1，nN“，则S5（）A33B5C11D333（3分）已知实数a，b满足ab0且ab，则下列命题成立的是（）A|a|b|Ba2b2Ca3b3D4（3分）已知an为等差数列，a13，a55，则a4（）A3B4CD5（3分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2b2+ac，则B（）ABCD6（3分）已知函数f（x）（ax1）（x+b
2、），如果不等式f（x）0的解集是（1，3），则不等式f（2x）0的解集是（）A（，）（，+）B（，）C（，）（，+）D（，）7（3分）若（，），且3cos2sin（），则sin2的值为（）ABCD8（3分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，A60，则BC边上的高为（）A1B+1CD9（3分）设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则（）+（）+（）的值等于（）A2017B2018C4034D403610（3分）已知正实数x，y满足x+y+3xy，若对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）2a（x+y）+10恒成立，则实数a的取值范围为（）A
3、（，B（，C，+）D（，+）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分11（3分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 12（3分）已知等比数列bn中，b18，b224，则bn的前n项和Sn 13（3分）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距l5海里的C处，现甲船以35海里时的速度沿CB方向去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为 小时14（3分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2且（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC，则ABC面积的最大值为
4、; 15（3分）函数f（x）|13x|+|+1|的最小值是 16（3分）已知实数x，y满足，则|x2y1|3|xy|的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（8分）已知cos，cos（），0（1）求cos2的值；（2）求cos的值18（10分）在数列an中，a11，an+1an+C（C为常数，nN*）且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列（1）求C的值；（2）设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn19（10分）已知在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足sinB、sinA、sinC成等比数列（
5、1）求角A的最大值；（2）设函数f（x）sinxcosxcos2，求f（A）的值域20（12分）已知实数x，y满足，目标函数Z2xy，设Z的最大值为n，最小值为m（1）求m，n的值（2）对于任意实数am，n4，函数f（t）t2+（a4）t+42a的值恒大于0，求实数t的取值范围21（12分）设数列an满足：2n+11（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bnan，数列bn的前n项和为Tn，求Tn；（3）设cn4n+（1）n1（nN*），问：是否存在非零整数，使数列cn为递增数列？若存在，求出的值：若不存在，说明理由2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一（下）期末数学试卷参考答案与
6、试题解析一、选择题：选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）sin15cos15（）ABCD【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之【解答】解：因为sin22sincos，所以sin15cos15sin30故选：A【点评】本题考查正弦的倍角公式2（3分）设Sn12+48+（2）n1，nN“，则S5（）A33B5C11D33【分析】利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：S511，故选：C【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（3分）已知实数a，b满足ab0且ab，则下列命题成立的是（）A|a|
7、b|Ba2b2Ca3b3D【分析】A、B、D选项可利用特殊值法判断为假，C选项利用函数yx3在R上为增函数判断为真【解答】解：对于A选项，取a2，b1，则|a|b|，A选项错误；对于B选项，取a1，b2，则a2b2，B选项错误；对于C选项，由于函数yx3在R上是增函数，且ab，则a3b3，C选项正确；对于D选项，取a1，b2，则，D选项错误故选：C【点评】本题考查不等式的基本性质，灵活利用不等式的基本性质与特殊值法，是解本题的关键，属于基础题4（3分）已知an为等差数列，a13，a55，则a4（）A3B4CD【分析】由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求a4【解答】解：在等差数列a
8、n中，由a13，a55，得故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题5（3分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2b2+ac，则B（）ABCD【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：a2+c2b2+ac，cosB，B（0，）B故选：B【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（3分）已知函数f（x）（ax1）（x+b），如果不等式f（x）0的解集是（1，3），则不等式f（2x）0的解集是（）A（，）（，+）B（，）C（，）（，+）D（，）【分析】由不等式的解集是（1，3），得出a0，从而求出a，b的值，再代入f（2x
9、）0，解出即可【解答】解：不等式f（x）0的解集是（1，3），（ax1）（x+b）0，（ax+1）（x+b）0，a1，b3，f（2x）（2x）1（2x）30，解得：x，或x，故选：A【点评】本题考察了二次函数的性质，一元二次不等式和二次函数的关系，是一道基础题7（3分）若（，），且3cos2sin（），则sin2的值为（）ABCD【分析】由已知可得sin0，cos0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cos+sin，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2的值【解答】解：（，），sin0，cos0，3cos2sin（），3（cos2sin2）（cossin），cos+sin，两边
10、平方，可得：1+2sincos，sin22sincos故选：D【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题8（3分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，A60，则BC边上的高为（）A1B+1CD【分析】由余弦定理求得c值，利用ABC的面积公式，可求BC边上的高【解答】解：由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，即32+c22c，解得c由ABC的面积等于bcsinAah，（h为BC边上的高）可得h，故选：D【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，考查三角形面积的计算，属于中档题9（3
11、分）设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则（）+（）+（）的值等于（）A2017B2018C4034D4036【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，可得q1，计算可得所求和【解答】解：数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，可得anqn1，由是等差数列，可得q1，即an1，即有（）+（）+（）2+2+2220174034故选：C【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式，以及数列的求和，考查运算能力，属于基础题10（3分）已知正实数x，y满足x+y+3xy，若对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）2a（x+y）+10恒成立，则实数
12、a的取值范围为（）A（，B（，C，+）D（，+）【分析】运用xy，由二次不等式的解法可得x+y6，由题意可得a（x+y）+的最小值，运用对勾函数的单调性，可得最小值，进而得到所求范围【解答】解：x+y+3xy，可得（x+y）24（x+y）120，由x0，y0，解得x+y6，对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）2a（x+y）+10恒成立，可得a（x+y）+的最小值，可令tx+y，则t+在t6递增，可得t+的最小值为，则a，故选：B【点评】本题考查基本不等式的运用和不等式恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分11（3分）在平面直角坐
13、标系中，不等式组表示的平面区域的面积是【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合阴影部分的图形进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为三角形ABC，其中A（0，2），B（1，2），C（1，1），则三角形ABC的面积S11，故答案为：【点评】本题主要考查三角形面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键12（3分）已知等比数列bn中，b18，b224，则bn的前n项和Sn4（13n）【分析】求出q3，由此能求出bn的前n项和Sn【解答】解：等比数列bn中，b18，b224，q3，bn的前n项和Sn4（13n）故答案为：4（13n）【点评】本题考查等比数列的前n
14、项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题13（3分）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距l5海里的C处，现甲船以35海里时的速度沿CB方向去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为1小时【分析】先根据余弦定理求出CB的长度，再除以速度可得时间【解答】解：由题意，对于CB的长度可用余弦定理求解，得CB2CO2+OB2|CO|OB|cos120225+625+3751225，因此|CB|35，因此甲船需要的时间为1，故答案为：1【点评】本题主要考查余弦定理的应用属基础题14（3分）已知a，b，c分别为AB
15、C的三个内角A，B，C的对边，a2且（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【分析】由正弦定理化简已知可得2ab2c2bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC（2+b）（ab）（cb）c2a2b+abb2c2bc，又因为：a2，所以：，ABC面积，而b2+c2a2bcb2+c2bca2b2+c2bc4bc4所以：，即ABC面积的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想
16、，属于中档题15（3分）函数f（x）|13x|+|+1|的最小值是【分析】运用绝对值不等式的性质和基本不等式，注意等号成立的条件，计算可得所求最小值【解答】解：函数f（x）|13x|+|+1|13x1|3x|+2，当且仅当|3x|，即x时，上式取得等号，则f（x）的最小值为，故答案为：【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题16（3分）已知实数x，y满足，则|x2y1|3|xy|的取值范围是3，【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：|x2
17、y1|的几何意义是可行域内的点与直线x2y10的距离的倍；3|xy|的几何意义是可行域内的点与直线xy0距离的倍由图形可知，|x2y1|3|xy|取得最值的点在线段AB上，由，解得A（1，0），代由，解得B（2，3），y3x3代入z|x2y1|3|xy|化简可得：z|x2y1|3|xy|，当x1，1.5时，z的最小值为3，最大值为当x（1.5，2时，z的最小值为：2，最大值为，即|x2y1|3|xy|的取值范围是：3，故答案为：3，【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法三、解答题：本大题共5小题，共52分解答应写出文字说
18、明、证明过程或演算步骤17（8分）已知cos，cos（），0（1）求cos2的值；（2）求cos的值【分析】（1）由题意利用二倍角公式，求得cos2的值（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin、sin（）的值，再利用两角差的余弦公式，求得coscos（）的值【解答】解：（1）已知cos，cos22cos21（2）由（1）可得，sin，cos（），0，sin（），coscos（）coscos（）+sinsin（）+【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题18（10分）在数列an中，a11，an+1an+C（C为常数，nN*）且a1，a2，a5成公比不
19、等于1的等比数列（1）求C的值；（2）设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式，（1+C）21+4C，进一步确定C的值（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果【解答】解：（1）数列an中，a11，an+1an+C（C为常数，nN*），则：an+1anC（常数），所以数列an为等差数列，则：ana1+（n1）C1+（n1）C，所以：a21+C，a51+4C，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列则：（1+C）21+4C，解得C0或2，当C0时，数列为常数列，故舍去则：C2证明：（2）由（
20、1）得：an1+2（n1）2n1，由于，故：，所以：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（10分）已知在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足sinB、sinA、sinC成等比数列（1）求角A的最大值；（2）设函数f（x）sinxcosxcos2，求f（A）的值域【分析】（1）利用等差数列的性质，正弦定理可得a2bc，由余弦定理可得cosA，结合范围0A，可求A的最大值（2）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）sin（3x），由（1）可知0A，可得范围3A（，根据正弦函数的性质可求值
21、域【解答】（本题满分为10分）解：（1）sinB、sinA、sinC成等比数列，sin2AsinBsinC，1分由正弦定理可得：a2bc，2分由余弦定理可得：cosA，4分0A，Amax5分（2）f（x）sinxcosxcos2sin3xcos3xsin（3x），7分由（1）可知0A，可得：3A（，8分可得：sin（3A）（，1，9分f（A）（，110分【点评】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题20（12分）已知实数x，y满足，目标函数Z2xy，设Z的最大值为n，最小值为m（1）求m，n的值（2）对于任
22、意实数am，n4，函数f（t）t2+（a4）t+42a的值恒大于0，求实数t的取值范围【分析】（1）画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解Z的最大值为n，最小值为m（2）写出a的范围，利用函数恒成立，列出不等式组，求解即可【解答】解：（1）实数x，y满足，的可行域如图，目标函数Z2xy，经过A点时，Z的最小值为n21+11，经过B时最大值为m22+15（2）设g（a）t2+（a4）t+42a，a1，1，g（a）0恒成立，即，解得t1或t3【点评】本题考查详细规划的简单应用，函数恒成立条件的应用，考查计算能力21（12分）设数列an满足：2n+11（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设
23、bnan，数列bn的前n项和为Tn，求Tn；（3）设cn4n+（1）n1（nN*），问：是否存在非零整数，使数列cn为递增数列？若存在，求出的值：若不存在，说明理由【分析】（1）直接已知条件和递推关系式求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和（3）利用（1）的结论，首先假设存在实数，进一步利用数列的单调性求出参数的取值范围，从而假设成立【解答】解：（1）数列an满足：2n+12（nN*），则：当n2时，2n2（nN*），得：2n，所以：ann当n1时，a11所以：ann（2）由于：ann，所以：bnann2n，数列bn的前n项和为Tn，2，得：Tn121+122+12nn2n+1，整理得：（3）存在非零整数1，使数列cn为递增数列理由：由于cn4n+（1）n1（nN*），则：，如果存在非零整数，使数列cn为递增数列，则：cn+1cn，即：，所以：34n3（1）n12n+10恒成立整理得：4n（1）n12n+10，当n为奇数时，2n1恒成立，则：1，当n为偶数时，2n1恒成立，则2所以：21故存在1，使数列cn为递增数列【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
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