1、高中物理系列模型之实物模型7.传送带模型（1）模型界定本模型是指传送带水平放置的情形，主要涉及物体在传送带上发生相对滑动的过程中位移、时间等运动学问题及动能、热量等能量问题。模型破解1.水平传送带(I)物体所受外力（i）通常除重力、支持力外只有摩擦力当传送带匀速运动，物体与传送带间有相对运动时物体受到摩擦力的作用，无相对运动时则无摩擦力的作用。（ii）当传送带做变速运动时，无论物体与传送带之间是否有相对运动，物体都要受到摩擦力的作用。（iii）当传送带做变速运动时，物体能与传送带保持相对静止的必要条件是，其中是物体与传送带之间的动摩擦因数。(II).物体的运动性质（i）若传送带匀速运动：当物体
2、与传送带的运动方向相反时，物体一定受到与传送带运动方向相同的滑动摩擦力的作用而减速运动；当物体与传送带运动方向相同时，若，物体受到与运动方向相同的摩擦力而加速，若，物体受到与运动方向相反的摩擦力而减速，在时物体随传送带一起匀速运动。（ii）若传送带做变速运动：当物体与传送带的运动方向相反时，无论传送带运动的加速度情况如何，物体一定做加速度为的匀减速运动，直到速度减小到零为止；当物体与传送带的运动方向相同时，仍有时物体受到与运动方向相同的摩擦力而加速，时物体受到与运动方向相反的摩擦力而减速，这与传送带运动的加速度大小、方向无关，但当时，物体仍受到摩擦力的作用，其方向与传送带的加速度方向一致，此后
3、物体能否随传送带一起做变速运动需要分情况讨论：若，即时物体随传送带一起加速或减速，两者保持相对静止，否则即当时物体相对于传送带有滑动，物体与传送带分别以不同的加速度、随传送带加速或减速。(III).物体的运动过程及终态速度（i）传送带匀速运动设传送带的速度为v带，物体与传送带之间的动摩擦因数为，两传动轮之间的距离为L，物体置于传送带一端的初速度为v0。、v00，（如图1）图物体刚置于传送带上时由于受摩擦力作用，将做的加速运动。假定物体从开始置于传送带上一直加速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为，显然有: 时，物体在传送带上将先加速，后匀速，物体最终离开传送带时的速度。时，物体在传送带上将一
4、直加速，物体最终离开传送带时的速度。、 v0 0，且v0与v带同向，（如图2）图（1）v0v带时同上可知，物体刚运动到带上时，将做的加速运动，假定物体一直加速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为 ，显然有： 时，物体在传送带上将先加速后匀速，物体最终离开传送带时的速度。 时，物体在传送带上将一直加速，物体最终离开传送带时的速度。（2）v0v带时因v0v带，物体刚运动到传送带时，将做加速度大小为的减速运动，假定物体一直减速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为 ，显然：时，物体在传送带上将一直减速，物体最终离开传送带时的速度。 时，物体在传送带上将先减速后匀速，物体最终离开传送带时的速度。（3
5、）v0v带时因v0v带，物体与传送带之间无相对运动，物体不受到摩擦力的作用，物体一直随传送带匀速运动，最终离开传送带时的速度vv0v带。、 v0 0，且v0与v带反向，（如图3）图此种情形下，物体刚运动到传送带上时将做加速度大小为 的减速运动，假定物体一直减速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为 ，显然：v 0，即时，物体将一直做减速运动直到从传送带的另一端离开传送带，物体最终离开传送带时的速度。若 v不能取得实数，即时，物体将不会从传送带的另一端离开而从进入端离开，其可能的运动情形有：（1）当时，物体先沿V0方向减速到零，再反向加速直至从放入端离开传送带，物体最终离开传送带时的速度大小。（
6、2）当时，物体先沿V0方向减速到零，再沿V0反向加速到与传送带速度相等，最后匀速直至从放入端离开传送带，物体最终离开传送带时的速度大小。（ii）传送带变速运动为了简化讨论，设传送带的初速度为零，物体与传送带之间的动摩擦因数为，两传动轮之间的距离为L，物体置于传送带一端的初速度为V0，传送带的加速度为，物体的加速度为。如图4所示，物体从静止开始加速即时，有两种情况：图4（1）若，物体与传送带以相同的加速度一起加速，二者相对静止，最终物体离开传送带时的速度。（2）.若，两者间出现相对滑动，物体加速运动的加速度为，物体离开传送带时的速度，此时传送带的速度为。.当且与传送带加速方向相同时设二者刚好达到
7、共同速度共，由有，故物体在t时间内通过的位移满足：（1）.时，物体先减速到与传送带速度相等，之后再加速，而加速时同样有与中类似的两种情况，但物体的终态速度与中不同，需从两阶段的运动规律来计算。A: 若,此后物体与传送带以共同的加速度运动，离开传送带时的速度v满足，如图5。图5B：若,物体将以加速度通过剩余的路程，其终态的速度满足（2）.当时，物体一直以加速度减速运动，离开传送带时的速度为，此过程经历的时间，终态下传送带的速度为。当且与传送带加速方向反向时，如图6.图6此种情形下，物体刚运动到传送带上时将做加速度大小为 的减速运动，假定物体一直减速到离开传送带，则其离开传送带时的速度为 ，显然：
8、v 0，即v0时，物体将一直做减速运动直到从传送带的另一端离开传送带，物体最终离开传送带时的速度。若 v不能取得实数，即时，物体将不会从传送带的另一端离开而从进入端离开，其可能的运动情形有：（1）当时，。物体先沿v0方向减速到零，再沿v0反向加速到与传送带速度相等，最后随传送带直至从放入端离开传送带。设二者刚好达到共同速度v共，由有，故物体在t时间内通过的位移，物体最终离开传送带时的速度大小满足。（2）当时，物体先沿V0方向减速到零，再反向加速直至从放入端离开传送带，物体最终离开传送带时的速度大小2.斜置传送带(I)物块受力物块通常只受三个力的作用：重力、支持力、滑动摩擦力或静摩擦力(II).
9、运动分析设传送带两定滑轮间的距离为L，带与水平面的夹角为 ，物与带之间的动摩擦因数为，物体置与带的一端，初速度为v0，传送带的速度为v带。（i）如图7，物体置于传送带的上端且v0=0图7当传送带顺时针转动时若传送带足够长时，物块沿传送带从顶端A运动到底端B需经历两个阶段：第一阶段物块有相对传送带有向上的相对速度，受到滑动摩擦力方向沿传送带向下，受力如图8所示，可知 a=gsin+gcos。物体将做初速度为零的加速度a=gsin+gcos的匀加速直线运动，直到物体和传送带具有相同的速度。图8第二阶段当物体加速到与传送带有相同速度时，进入第二阶段，受力如图9所示，又存在两种情况：图9（A）.若mg
10、sinfmaxmgcos即tan时物体有相对传送带向下滑动的趋势，而不是相对滑动，摩擦力不但由滑动摩擦力突变为静摩擦力，而且方向也发生了突变。此时有mgsinf（静摩擦力），物体将保持和传送带相同的速度做匀速直线运动直到B端。（B）.若mgsinFmaxmgcos即tan时物体将相对传送带向下滑动，滑动摩擦力的方向将发生突变，滑动摩擦力的方向由原来的沿斜面向下突变为沿斜面向上。可知 a=gsingcos。物体将以第一阶段的末速度即传送带的速度为初速度，以a=gsingcos做匀加速直线运动直到B端。若传送带较短时，物体可能只经历第一个阶段，当物块匀加速运动到B端时速度恰好等于传送带的速度时，故
11、当时物块只经历第一个阶段，当时物块在整个运动过程中经历两个阶段。当传送带逆时针转动时物体有相对传送带有向下的相对速度，物体受到滑动摩擦力方向沿传送带向上，物体受力也如图9，此时物体的运动情况如下：（A）当mgsinmgcos即tan时，物体将直接从传送带上端离开传送带。（B）当mgsinmgcos即tan时，物体将相对地面静止。（C）当mgsinmgcos即tan时，可知a=gsingcos物体在全过程中做初速度为零的、加速度为a=gsingcos的匀加速直线运动直到B端。（ii）如图7，物体置于传送带的上端且V0 0、方向沿传送带向下当传送带顺时针转动时物块一定从传送带底端离开传送带，若传送
12、带足够长时，物块沿传送带从顶端A运动到底端B需经历两个阶段或一个阶段：（A） 当mgsinmgcos即tan时：若v0v带，物块受力如图9，物块将先以加速度a=gcosgsin做匀减速运动；速度减小到与传送带速度相等后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，方向不变，物块再做匀速运动。若v0v带， 物块受到如图9所示的静摩擦力，直接从传送带顶端匀速运动到底端。若v0v带，物块受力如图8，物块将先以加速度a=gcos+gsin做匀加速运动，速度增加到与传送带速度相等后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，方向改变，受力如图9，此后物块再做匀速运动。（B）当mgsinmgcos即tan时：若v0v带，物块受力如图9，物
13、块将以加速度a=gsingcos直接从传送带的顶端匀加速运动到底端。若v0v带，物块受力如图8，物块将先以加速度a=gcos+gsin做匀加速运动，速度增加到与传送带速度相等后，摩擦力仍为滑动摩擦力，但方向突变，受力如图9，此后物块再以加速度a=gsingcos做匀加速运动直到传送带底端。若传送带较短时，物体可能只经历在传送带较长时的两个阶段中的第一个阶段，其临界状态是当物块匀加速运动到B端时速度恰好等于传送带的速度时，即当物块先加速时满足物块只经历第一个阶段，满足物块在整个运动过程中经历两个阶段；当物块先减速时满足物块只经历第一个阶段，满足物块在整个运动过程中经历两个阶段。当传送带逆时针转动
14、时若传送带足够长时，物块沿传送带运动需经历两个阶段或三个阶段甚至一个阶段：（A）当mgsinmgcos即tan时：若v0v带，物块受力如图3，物块将先以加速度a=gcosgsin做匀减速运动，速度减小到零时受力完全不变，物块再向上仍以a=gcosgsin的加速度加速，速度增加到与传送带速度相等时摩擦力突变为静摩擦力，方向仍不变，物块再匀速向上运动，直到顶端离开传送带。若v0v带，物块受力仍如图9，物块将先以加速度a=gcosgsin做匀减速运动，速度减小到零受力完全不变，物块再向上仍以a=gcosgsin的加速度加速，一直回到顶端时速度增加到v0，从顶端离开传送带。若传送带较短时，物体可能只经
15、历减速运动过程从传送带下端离开，其临界状态为物块恰好减速运动到传送带底端时速度恰好为零，即当满足时物块从上端离开传送带，时物块从下端离开传送带。（B）当mgsinmgcos即tan时：此情况下物块受的摩擦力方向向上，与物块、传送带的速度大小无关，如图9所示，物块将以加速度a=gcosgsin匀加速运动到传送带的底端。（iii）如图10带顺时针转动时图10物块有相对传送带有向上的相对速度，受到滑动摩擦力方向沿传送带向下，受力如图8所示，物块直接从下端离开传送带. 传送带逆时针转动时：物块有相对传送带有向下的相对速度，受到的滑动摩擦力方向沿传送带向上，受力如图9，此时物块的运动情况如下：（A）当m
16、gsinmgcos即tan时：若传送带足够长，物块从底端运动到顶端时将经历两个阶段，第一阶段中物块受到滑动摩擦力的作用，物块以加速度度a=gcosgsin做匀加速运动，速度增加到与传送带速度相等后进入第二阶段；进入第二阶段时摩擦力突变为静摩擦力，方向仍不变，物块再匀速向上运动，直到顶端离开传送带。若传送带较短时，物体可能只经历第一个阶段，当物块匀加速运动到上端时速度恰好等于传送带的速度时，故当时物块只经历第一个阶段，当时物块在整个运动过程中经历两个阶段。（B）当mgsinmgcos即tan时，物体将相对地面静止。（C）当mgsinmgcos即tan时，物块直接从传送带下端离开传送带。（iv）如
17、图10，物体置于传送带的底端且v00、方向沿传送带向上传送带顺时针转动时物块具有相对传送带向上的相对速度，物块所受摩擦力向下，当传送带足够长时一定从传送带的下端离开传送带。（A）当mgsinmgcos即tan时：若v0v带，物块受力如图2，物块将先以加速度a=gcos+gsin做匀减速运动，速度减小到零时受力完全不变，物块再向下仍以a=gcos+gsin的加速度加速，速度增加到与传送带速度相等时摩擦力突变为静摩擦力，方向突变为向上，受力如图9，物块再匀速向下运动，直到底端离开传送带。若v0v带，物块受力仍如图8，物块将先以加速度a=gcos+gsin做匀减速运动，速度减小到零受力完全不变，物块
18、仍以a=gcos+gsin的加速度再向下加速，一直回到底端时速度增加到v0，从底端离开传送带。若传送带较短时，物体可能只经历减速运动过程从传送带顶端端离开，其临界状态为物块恰好减速运动到传送带顶端时速度恰好为零，即当满足时物块从下端离开传送带，时物块从上端离开传送带。（B）当mgsinmgcos即tan时：此情况下物块受的摩擦力方向向上，与物块、传送带的速度大小无关，如图3所示，物块将以加速度a=gcosgsin匀加速运动到传送带的底端。与（A）中不同的是，若v0v带，物块受力如图8，物块将先以加速度a=gcos+gsin做匀减速运动，速度减小到零时受力完全不变，物块再向下仍以a=gcos+g
19、sin的加速度加速，速度增加到与传送带速度相等时摩擦仍为滑动摩擦力，方向突变为向上，受力如图9所示，物块再以加速度a=gsingcos匀加速向下运动，直到底端离开传送带。当v0v带及传送带较短时，物块的运动情况与（A）中相同。传送带逆时针转动时若传送带足够长时，物块沿传送带运动需经历两个阶段或三个阶段甚至一个阶段：（A）当mgsinmgcos即tan时：若v0v带，物块具有相对传送带向上的相对速度，受力如图8，物块将先以加速度a=gcos+gsin做匀减速运动，速度减小到与传送带速度相等时，摩擦力突变为静摩擦力，方向突变为向上，受力如图9，物块再匀速向上运动，直到顶端离开传送带。若v0v带，物
20、块受到静摩擦力，直接匀速从底端运动到顶端。若v0v2，则v3= v2C、若v1 v2，物块一直匀加速到返回水平面，则v3= v2；若v1 v2，物块先加速到速度等于v1后，匀速运动到返回水平面，则v3= v1。BC正确。（解二）作出物块的速度图象如图。由图可知BC正确。例4.如图，一物块沿斜面由H高处由静止滑下，斜面与水平传送带相连处为光滑圆弧，物体滑离传送带后做平抛运动，当传送带静止时，物体恰落在水平地面上的A点，则下列说法正确的是A当传送带逆时针转动时，物体落点一定在A点的左侧B当传送带逆时针转动时，物体落点一定落在A点C当传送带顺时针转动时，物体落点可能落在A点D当传送带顺时针转动时，物
21、体落点一定在A点的右侧答案：BC例5.如图甲所示,水平传送带的长度L=5 m,皮带轮的半径R =0.1 m,皮带轮以角速度顺时针匀速转动.现有一小物体(视为质点)以水平速度v0从A点滑上传送带,越过B点后做平抛运动,其水平位移为 s.保持物体的初速度v0不变,多次改变皮带轮的角速度,依次测量水平位移 s,得到如图乙所示的s-图象.回答下列问题: (1)当0 10 rad/s时,物体在A、B之间做什么运动?(2)B端距地面的高度h为多大?(3)物块的初速度v0多大?答案：（1）见解析（）m（）解析：（1）由图乙可以看出，当0 10 rad/s时物体离开传送带后外地人平抛运动的水平位移不变，即物体
22、到达B端时的速度一定，与传送带的速度无关。同理可知10 rad/s 30 rad/s物体到达B端时的速度又与传送带的速度无关。而物体到达B端时的速度除了与其初速度有关外，还与物体在摩擦力作用下通过的距离有关。物体与传送带之间有无摩擦力的作用取决于物体与传送带间有无相对运动。物体到达B端时的速度与传送带速度无关只有两种情况：一是物体物体在摩擦力的作用下一直做匀减速运动，到达B端时的速度不小于传送带的速度；二是物体在摩擦力的作用下一直做匀加速运动，加速到B端时的速度不大于传送带的速度。则可知在0 10 rad/s时对应于，物体在AB间一直做匀减速运动。（2）当10 rad/s时物体匀减速运动到B端
23、时速度恰与传送带速度相等，此时。由平抛运动知识知：、再由乙图知此时s=1m，以上各式联立可得h=5m.例6.一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。答案：解析：（解一）根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿运动定律，可得设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静
24、止加速到v，有 由于aa0，故vv0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t，煤块的速度由v增加到v0，有 此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有 传送带上留下的黑色痕迹的长度 由以上各式得 （解二）第一阶段：传送带由静止开始加速到速度v0，设经历时间为t，煤块加速到v，有v v 传送带和煤块的位移分别为s1和s2， 第二阶段：煤块继续加速到v0，设经历时间为，有v 传送带和煤块的位移分别为s3和s4 ，有 传送带上留下的黑色痕迹的长度由以上各式得（解三）传送带加速到v0 ，
25、有 传送带相对煤块的速度 传送带加速过程中，传送带相对煤块的位移【相对初速度为零，相对加速度是】传送带匀速过程中，传送带相对煤块的位移【相对初速度为t，相对加速度是】整个过程中传送带相对煤块的位移即痕迹长度 由以上各式得（解四）用图象法求解画出传送带和煤块的Vt图象，如图26所示。其中，黑色痕迹的长度即为阴影部分三角形的面积，有：例7.如图所示，一质量为的小物 体从足够高的光滑曲面上自由滑下，然后滑上一水平传送带。已知物体与传送带之间的动摩擦因数为，传送带水平部分的长度，两端的传动轮半径为，在电动机的带动下始终以的角速度沿顺时针匀速转运，传送带下表面离地面的高度不变。如果物体开始沿曲面下滑时距
26、传送带表面的高度为，初速度为零，取。求：(1)当时，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能。(2)当时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕的长度。(3) 在什么范围内时，物体离开传送带后的落地点在同一位置。答案：（）.（）m（）相对滑动时间 物块对地位移 传送带前进位移 上述过程中电动机多消耗的电能 (2)当时，物块滑上传送带的速度为 物块减速时间 物块前进距离 时间内传送带前进 划痕长度 例8.一质量为M2.0 kg的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，如图所示地面观察者记录了小物块被击中后的速度随时间变化的关系如图所示(图中取向右运动的方向为正方向)已知传送带的速度保持不变，g10 m/s2.例8题图(1)指出传送带速度v的方向及大小，说明理由(2)计算物块与传送带间的动摩擦因数.(3)计算传送带对外做了多少功？子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？答案：（）2.0m/s，见解析（）.（），（3）由速度图象可知，传送带与物是存在摩擦力 的时间只有3秒，远道而来中在这段时间内的位移所 以传送带所做的功在物块获得速度到传送带一起匀速运动的过程中，物块少的动能所以转化的内能22
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