1、2018-2019学年浙江省宁波市慈溪市六校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合Ax|1，Bx|2x1，则（RA）B（）A1，0）B（1，0）C（，0）D（，1）2（4分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+）上为增函数的是（）AByx24xCy|x2|Dy3（4分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）Af（x）x，g（x）（）2B与g（x）x+2Cf（x）1，g（x）x0Df（x）|x|，g（x）4（4分）函数yln（x2+2x3）的单调递减区间是（）A（，3）B（，1）C
2、（1，+）D（1，+）5（4分）若0ab1，则的大小关系为（）6（4分）若直角坐标平面内两相异点A、B两点满足：点A、B都在函数 f （x） 的图象上；点A、B关于原点对称，则点对 （A，B） 是函数 f （x） 的一个“姊妹点对”点对 （A，B） 与 （B，A） 可看作是同一个“姊妹点对”已知函数 f （x），则 f （x） 的“姊妹点对”有（）A0 个B1 个C2 个D3 个7（4分）已知函数f（x），当x1x2时，0，则a的取值范围是（）A（0，B，C（0，D，8（4分）已知对数函数f（x）logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）ABCD9（4分）已知f（x）是定义域为
3、（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x）若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）（）A50B2C0D201810（4分）已知函数f（x）|x22ax+b|（xR），给出下列命题：f（x）必是偶函数；当f（0）f（2）时，f（x）的图象关于直线x1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；若a0，在区间a，a上f（x）有最大值|a2b|其中正确的命题序号是（）ABCD二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分）11（6分）设函数f（x），则f（f（2） ，方程f（x）2的解为 12（6分）已知ab1，若logab+lo
4、gba，abba，则a ，b 13（6分）（1）函数f（x）ax+12（a0且a1）的图象必过定点，定点坐标为 （2）已知函数yf（x21）的定义域为，则函数yf（x）的定义域为 14（6分）若指数函数f（x）的图象过点（2，4），则f（3） ；不等式f（x）+f（x）的解集为 15（4分）设任意实数abc0，要使2018恒成立，则m的最小值为 16（4分）定义在R上的偶函数f（x）在（，0上是增函数，且f（2）0，则使得不等式（2x2）f（x）+f（x）0成立x的取值范围是 17（4分）定义区间（a，b）、a，b）、（a，b、a，b的长度d均为dba，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度
5、之和例如，（1，2）3，5）的长度d（21）+（53）3用x表示不超过x的最大整数，例如22，3.73，1.22记xxx，其中xR设f（x）xx，g（x）x1，若用d1，d2，d3分别表示不等式f（x）g（x），方程f（x）g（x），不等式f（x）g（x）解集区间的长度，则当0x2018时，d1d2d3 三、解答题（本大题共5小题，共74分，其中18题14分，19-22题每题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）（1）（2）已知a+a15，求a2+a2和的值19（15分）已知集合Ax|33x27，Bx|log2x1（1）分别求AB，R（AB）；（2）已知集合Cx|1xa
6、，若CAA，求实数a的取值范围20（15分）已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x1）2x24x，求f（x）的不等式（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）f（2x）m2x+1，其中x0，1，m为常数且mR，求函数g（x）的最小值21（15分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（，+）上的单调性；（3）若对任意实数tR，不等式f（kt2kt）+f（2kt）0恒成立，求k的取值范围22（15分）已知函数f（x）|x21|+x2+kx，且定义域为（0，2）（1）求关于x的方程f（x）kx+3在（0，2）上的解；（2）若f（x）是定义域（
7、0，2）上的单调函数，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，求k的取值范围2018-2019学年浙江省宁波市慈溪市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合Ax|1，Bx|2x1，则（RA）B（）A1，0）B（1，0）C（，0）D（，1）【分析】可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可【解答】解：Ax|x1，或x1，Bx|x0；RAx|1x1；（RA）Bx|1x01，0）故选：A【点评】考查描述法的定义，分式不等式
8、的解法，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算2（4分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+）上为增函数的是（）AByx24xCy|x2|Dy【分析】根据函数在（0，+）上为增函数即可判断选项A，C都错误，而根据函数是奇函数即可判断B错误，只能选D【解答】解：Ayx在（0，1）上单调递减，不满足在（0，+）上为增函数，该选项错误；Byx24x为非奇非偶函数，该选项错误；C.0x2时，yx+2，为减函数，该选项错误；D.为奇函数，且yx和y在（0，+）都为增函数；在（0，+）上为增函数；该选项正确故选：D【点评】考查奇函数、增函数的定义，反比例函数和一次函数的单调性，并熟悉的单调性3（4分）下列
9、各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）Af（x）x，g（x）（）2B与g（x）x+2Cf（x）1，g（x）x0Df（x）|x|，g（x）【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数【解答】解：对于A，函数f（x）x（xR），与g（x）x（x0）的定义域不同，所以不是相同函数；对于B，函数f（x）x+2（x2），与g（x）x+2（xR）的定义域不同，所以不是相同函数；对于C，函数f（x）1，与g（x）x01（x0）的定义域不同，所以不是相同函数；对于D，函数f（x）|x|（xR），与g（x）|x|（xR）的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数故选：D【点评
10、】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目4（4分）函数yln（x2+2x3）的单调递减区间是（）A（，3）B（，1）C（1，+）D（1，+）【分析】由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，再求出内函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案【解答】解：由x2+2x30，得x3或x1，函数f（x）ln（x2+2x3）的定义域为（，3）（1，+），又内层函数tx2+2x3的对称轴方程为x1，则内函数在（，3）上为减函数，在（1，+）上为增函数，且外层函数对数函数ylnt为定义域内的增函数，故复合函数数f（x）ln（x2+2x3）的单调递减区间为（，3）故选：A【点评】本题考查复合函
11、数的单调性，以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题5（4分）若0ab1，则的大小关系为（）ABCD【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0ab1，取a，b，得：2，a01（）0，0，的大小关系为：logba故选：D【点评】本题考查四个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（4分）若直角坐标平面内两相异点A、B两点满足：点A、B都在函数 f （x） 的图象上；点A、B关于原点对称，则点
12、对 （A，B） 是函数 f （x） 的一个“姊妹点对”点对 （A，B） 与 （B，A） 可看作是同一个“姊妹点对”已知函数 f （x），则 f （x） 的“姊妹点对”有（）A0 个B1 个C2 个D3 个【分析】设点A（x，y）（x0）在f（x）的图象上，则点B（x，y）也在f（x）的图象上，ex2+（2e1）x+10，令g（x）ex2+（2e1）x+1，判定方程ex2+（2e1）x+10负实根个数即可【解答】解：设点A（x，y）（x0）在f（x）的图象上，则点B（x，y）也在f（x）的图象上，ex2+（2e1）x+10，令g（x）ex2+（2e1）x+1，二次函数g（x）的对称轴x，g（0）
13、10，（2e1）24e0，方程ex2+（2e1）x+10有两个负实根，故函数 f （x），则 f （x） 的“姊妹点对”有2个故选：C【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力及导数的综合应用，同时考查了零点个数的判断，属于中档题7（4分）已知函数f（x），当x1x2时，0，则a的取值范围是（）A（0，B，C（0，D，【分析】由题意可得，函数是定义域内的减函数，故有，由此解得a的范围【解答】解：当x1x2时，0，f（x）是R上的单调减函数，f（x），0a，故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和单调性的性质，属于中档题8（4分）已知对数函数f（x）logax是增函数，则函数f（|x|+1
14、）的图象大致是（）ABCD【分析】先导出再由函数f（x）logax是增函数知，a1再由对数函数的图象进行判断【解答】解：由函数f（x）logax是增函数知，a1故选：B【点评】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力这类试题经常出现，要高度重视9（4分）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x）若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）（）A50B2C0D2018【分析】由题意可得f（0）0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和【解答】解：f（x）是定义域为（，+）的奇函数，可得f（x）f（x）
15、，f（1x）f（1+x）即有f（x+2）f（x），即f（x+2）f（x），进而得到f（x+4）f（x+2）f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）2，可得f（3）f（1）f（1）2，f（2）f（0）0，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，可得f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）5040+2+02故选：B【点评】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题10（4分）已知函数f（x）|x22ax+b|（xR），给出下列命题：f（x）必是偶函数；当f（0）f（2）时，f（x）的图象关于直线x1对称；若
16、a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；若a0，在区间a，a上f（x）有最大值|a2b|其中正确的命题序号是（）ABCD【分析】a0时，f（x）|x22ax+b|不是偶函数；a0，b2时，f（x）满足f（0）f（2），但f（x）的图象不关于x1对称；a2b0时，f（x）在区间a，+）上是增函数；a0时，f（x）在区间a，a上的最大值不一定是|a2b|【解答】解：对于，当a0时，f（x）|x22ax+b|不是偶函数，错误；对于，当a0，b2时，函数f（x）|x22ax+b|化为f（x）|x22|，满足f（0）f（2），但f（x）的图象不关于x1对称，错误；对于，若a2b0，则f（x）|（x
17、a）2+ba2|（xa）2+ba2在区间a，+）上是增函数，正确；对于，若a0，f（x）在区间a，a上的最大值不一定是|a2b|，如4a24b0时，f（x）的图象在x轴上方，错误综上，正确的命题序号是故选：A【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质的应用问题，也考查了绝对值的函数应用问题，是中档题二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分）11（6分）设函数f（x），则f（f（2）1，方程f（x）2的解为4或2【分析】推导出f（2）（2）2+（2）2，f（f（2）f（2）log221；由f（x）2，当x0时，f（x）log2x2，当x0时，f（x）x
18、2+x2，由此能求出结果【解答】解：函数f（x），f（2）（2）2+（2）2，f（f（2）f（2）log221f（x）2，当x0时，f（x）log2x2，解得x4，当x0时，f（x）x2+x2，解得x2，或x1（舍），综上，x4或x2故答案为：1；4或2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（6分）已知ab1，若logab+logba，abba，则a4，b2【分析】设tlogba并由条件求出t的范围，代入logab+logba化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入abba化简后列出方程，求出a、b的值【解答】解：设tlogba，由ab1知t1，代
19、入logab+logba得，即2t25t+20，解得t2或t（舍去），所以logba2，即ab2，因为abba，所以b2bba，则a2bb2，解得b2，a4，故答案为：4；2【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题13（6分）（1）函数f（x）ax+12（a0且a1）的图象必过定点，定点坐标为（1，1）（2）已知函数yf（x21）的定义域为，则函数yf（x）的定义域为1，2【分析】（1）由题意，令x+10，即x1时，y121；从而求得（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可【解答】解：（1）由题意，令x+10，即x1时，y121；故数f（x）ax+12（a0
20、且a1）的图象必过定点，定点坐标为（1，1），（2）函数yf（x21）的定义域为，x，即0x23，1x212，即函数yf（x）的定义域为1，2，故答案为：（1，1），1，2【点评】本题主要考查函数的定义域的求解和指数函数的定点问题，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系14（6分）若指数函数f（x）的图象过点（2，4），则f（3）；不等式f（x）+f（x）的解集为（1，1）【分析】设出指数函数解析式，将点的坐标代入，求参数a，然后将不等式具体化，换元得到一元二次不等式解之，然后还原求解集【解答】解：设指数函数解析式为yax，因为指数函数f（x）的图象过点（2，4），所以4a2，解得a，所以指数函
21、数解析式为y，所以f（3）；不等式f（x）+f（x）为，设2xt，不等式化为，所以2t25t+20解得t2，即2x2，所以1x1，所以不等式的解集为（1，1）故答案为：；（1，1）【点评】本题考查了待定系数法求指数函数解析式以及解指数不等式；采用了换元的方法15（4分）设任意实数abc0，要使2018恒成立，则m的最小值为9【分析】分离m后，另一边利用对数公式变形后，再用基本不等式求出最大值可得m的取值范围，再得m的最大值【解答】解：因为abc，所以 2018+ 2018m 2018m+lg（+）lg（+）（lg+lg）（+）（5+）恒成立，（5+）（5+2）（5+4）9，（当且仅当lg2lg
22、时取等）m9，即m的最小值为9故答案为：9【点评】本题考查了对数的换底公式以及基本不等式，属难题16（4分）定义在R上的偶函数f（x）在（，0上是增函数，且f（2）0，则使得不等式（2x2）f（x）+f（x）0成立x的取值范围是（2，1）（2，+）【分析】根据题意，由偶函数的性质分析可得f（x）在0，+）上为减函数，结合f（2）f（2）0可得在区间（2，2）上，f（x）0，在区间（，2）和（2，+）上，f（x）0，又由（2x2）f（x）+f（x）0（2x2）f（x）0或，分析可得答案【解答】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）在（，0上是增函数，则f（x）在0，+）上为减函数，又由f（2）
23、0，则有f（2）0，在区间（2，2）上，f（x）0，在区间（，2）和（2，+）上，f（x）0，则（2x2）f（x）+f（x）0（2x2）f（x）0或，解可得：2x1或x2，即x的取值范围为（2，1）（2，+）；故答案为：（2，1）（2，+）【点评】本题考查关于抽象函数的不等式问题，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题17（4分）定义区间（a，b）、a，b）、（a，b、a，b的长度d均为dba，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和例如，（1，2）3，5）的长度d（21）+（53）3用x表示不超过x的最大整数，例如22，3.73，1.22记xxx，其中xR设f（x）xx，g（x）x1
24、，若用d1，d2，d3分别表示不等式f（x）g（x），方程f（x）g（x），不等式f（x）g（x）解集区间的长度，则当0x2018时，d1d2d32016【分析】分不等式f（x）g（x），方程f（x）g（x），不等式f（x）g（x）三种情况，由x0，1），x1，2），x2，2018分类讨论分别求出d1，d2，d3，即可求出所求的值【解答】解：f（x）xxx（xx）xxx2，g（x）x1，（i）由f（x）g（x），得到xxx2x1，即（x1）xx21，当x0，1）时，x0，上式可化为x1，此时x0，1）；当x1，2）时，x1，上式可化为00，此时x；当x2，2018时，x10，上式可化为xx1，
25、此时x；综上，x0，1），即d11；（ii）由f（x）g（x），得到xxx2x1，即（x1）xx21，当x0，1）时，x0，上式化为x1，此时x，当x1，2）时，x1，上式化为00，此时x1，2），当x2，2018时，可得x10，上式可化为xx1，此时x，f（x）g（x）在0x2018的解集为1，2），即d21；（iii）由f（x）g（x），得到xxx2x1，即（x1）xx21，当x0，1）时，x0，上式可化为x1，此时x，当x1，2）时，x1，上式化为00，此时x，当x2，2018时，x10，上式化为xx1，此时x2，2018），f（x）g（x）在0x2018时的解集为2，2018，即d32
26、016，则d1d2d32016，故答案为：2016【点评】此题考查了交集及其运算，利用了分类讨论的思想，弄清题中的新定义是解本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共74分，其中18题14分，19-22题每题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）（1）（2）已知a+a15，求a2+a2和的值【分析】（1）根据指数的运算性质，可得答案；（2）由已知利用平方法，可得a2+a2（a+a1）22及，进而得到答案【解答】解：（1）原式（3分）5+2+30（7分）（2）a2+a2（a+a1）2223（10分）由得（14分）【点评】本题考查的知识点是有理数指数幂的化简与求值，难度不大，
27、属于基础题19（15分）已知集合Ax|33x27，Bx|log2x1（1）分别求AB，R（AB）；（2）已知集合Cx|1xa，若CAA，求实数a的取值范围【分析】（1）可解出A，B，再求出交集，和并集，然后进行补集的运算即可；（2）根据CAC可得CA，从而可讨论C是否为空集：C时，得出a1；C时，得出1a3，从而得出实数a的取值范围【解答】解：（1）由33x27，即33x33，1x3，A1，3，由log2x1，可得0x2，B（0，2），AB1，2），AB（0，3，R（AB）（，0（3，+），（2）由CAA，所以CA，当C为空集时，a1，当C为非空集合时，可得 1a3，综上所述：a的取值范围是a
28、3【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，交集和补集的运算，以及子集的定义20（15分）已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x1）2x24x，求f（x）的不等式（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）f（2x）m2x+1，其中x0，1，m为常数且mR，求函数g（x）的最小值【分析】（1）用待定系数法，设出f（x）的解析式，代入f（x+1）+f（x1）2x24x中，求出系数即可（2）设t2x，t1，2即可得到g（t）t2（2m+2）t1t（m+1）2（m2+2m+2），再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出最小值【解答】解：（1）设f（x）ax2+bx+c，因为f（x+1）+f（x1）
29、2x24x，所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x1）2+b（x1）+c2x24x，所以2ax2+2bx+2a+2c2x24x故有，即a1，b2，c1，所以f（x）x22x1；（2）g（x）f（2x）m2x+1（2x）2（2+2）2x1，设t2x，t1，2，g（t）t2（2m+2）t1t（m+1）2（m2+2m+2），当m+12，即m1时，g（t）t2（2m+2）t1在1，2为减函数，当t2时，g（t）min4m1，当m+11，即m0时，g（t）t2（2m+2）t1在1，2为增函数，当t1时，g（t）min2m2，当0m1时，当tm+1时，g（t）min（m2+2m+2），综上所述：g（
30、x）min【点评】本题考查了求二次函数的解析式的问题，以及二次函数的性质，属于中档题21（15分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（，+）上的单调性；（3）若对任意实数tR，不等式f（kt2kt）+f（2kt）0恒成立，求k的取值范围【分析】（1）由奇函数的条件可得即可得到a，b；（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；（3）不等式f（kt2kt）+f（2kt）0，由奇函数f（x）得到f（x）f（x），f（kt2kt）f（2kt）f（kt2），再由单调性，即可得到kt22kt+20对tR恒成立，讨论k0或k0，0解出即可【解
31、答】解：（1）由于定义域为R的函数f（x）是奇函数，则即，解得，即有f（x），经检验成立；（2）f（x）在（，+）上是减函数证明：设任意x1x2，f（x1）f（x2），由于x1x2，则2x12x2，则有f（x1）f（x2），故f（x）在（，+）上是减函数；（3）不等式f（kt2kt）+f（2kt）0，由奇函数f（x）得到f（x）f（x），f（kt2kt）f（2kt）f（kt2），再由f（x）在（，+）上是减函数，则kt2ktkt2，即有kt22kt+20对tR恒成立，k0或即有k0或0k2，综上：0k2【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和运用，单调性的判断和运用，考查运算能力，
32、属于中档题22（15分）已知函数f（x）|x21|+x2+kx，且定义域为（0，2）（1）求关于x的方程f（x）kx+3在（0，2）上的解；（2）若f（x）是定义域（0，2）上的单调函数，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，求k的取值范围【分析】（1）对x分0x1与1x2两种情况讨论，使函数f（x）|x21|+x2+kx中的绝对值符号去掉，从而可求得f（x）kx+3在（0，2）上的解；（2）将f（x）|x21|+x2+kx化为：f（x）|，对k与二次函数的对称轴分与两种情况讨论，都可满足f（x）是定义域（0，2）上的单调函数，从而求得k的取
33、值范围；（3）解法一：当0x1时，kx1，当1x2时，2x2+kx10，对于再分k0与k0讨论解决；解法二：f（x）0）|x21|+x2kx，|x21|+x2，从而k，再分析函数的单调情况及取值，从而得到答案【解答】解：（1）f（x）|x21|+x2+kx，f（x）kx+3即|x21|+x23当0x1时，|x21|+x21x2+x21，此时该方程无解（1分）当1x2时，|x21|+x22x21，原方程等价于：x22，此时该方程的解为综上可知：方程f（x）kx+3在（0，2）上的解为（3分）（2）f（x）|x21|+x2+kx，f（x）（4分）k1+121+k1，（5分）可得：若f（x）是单调递
34、增函数，则此时k0（6分）若f（x）是单调递减函数，则此时k8，（7分）综上可知：f（x）是单调函数时k的取值范围为（，8（0，+）（8分）（3）解法一：当0x1时，kx1，当1x2时，2x2+kx10，若k0则无解，的解为x（1，2）故k0不合题意 （9分）若k0则的解为x，（）当（0，1时，k1时，方程中k2+80，故方程中一根在（1，2）内另一根不在（1，2）内，（10分）设g（x）2x2+kx1，而x1x20则， 又k1，故k1，（11分）（）当（0，1时，即1k0或k0时，方程在（1，2）须有两个不同解，12分而x1x20，知道方程必有负根，不合题意13分综上所述，故k1，14分解法二：f（x）0|x21|+x2kx，9分|x21|+x2，10分k12分分析函数的单调情况及取值情况易得解，用图象法须作图，再用必要文字说明13分利用分段函数的图象得：k1，14分【点评】本题考查带绝对值的函数，解决的关键是通过分类讨论去绝对值符号，难点在于复杂的讨论与转化，考查学生综合分析与运算的能力，考查化归思想，分类讨论思想、属性结合思想，属于难题
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