1、2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若ab0，那么下列不等式中正确的是（）Aabb2Baba2CD2（4分）直线x+y50的倾斜角为（）A30B60C120D1503（4分）已知直线l1：ax+3y+10与直线l2：2x+（a+1）y+10互相平行，则实数a的值为（）A3BC2D3或24（4分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是an的前n项和，则S9等于（）A8B6C10D05（4分）已知直线l：kxy+k0被圆x2+y24
2、截得的弦长为2，点（m，n）是直线l上的任意一点，则m2+n2的最小值为（）A1B2C3D46（4分）若不等式组，表示的平面区域为直角三角形，则该三角形的外接圆面积为（）ABC或D18或457（4分）已知数列an是正项等比数列，且+1，则a5的值不可能是（）A3B4C5D68（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B，ABC的面积为3那么b的值为（）A2BC2D39（4分）如图所示，在ABC中，C，BC3，点D在边AC上，AABD，若BD，则cosA（）ABCD10（4分）已知公差为d的等差数列an前n项和为Sn，若有确定正整数n0，对任意正整数m，0恒
3、成立，则下列说法错误的是（）Aa1d0B|Sn|有最小值C0D0二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11（6分）若实数x，y满足约束条件，则z3x+2y的最小值为 ；最大值为 ，12（6分）已知点A（1，2），B（2，2），点P在直线xy10上，则当点P的坐标为 时，|PA|+|PB|取得最小值为 13（6分）已知在ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a2，c，cosA，则b ，ABC的面积是 14（6分）已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 15（4分）已知正数x，y满足x+y1，则+的
4、最小值是 16（4分）已知点P在直线x2y+10上，点Q在直线x2y+30上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且1x0+y02，则的取值范围是 17（4分）若四个数a1，a2，a3，a4成等差数列，满足|a1|+|a2|+|a3|+|a4|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+|a4+1|a12|+|a22|+|a32|+|a42|，则公差d的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18（14分）己知ABC三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）b（）求证：A，B，C成等差数列；（）若b2，求a2+
5、c2的取值范围19（15分）己知等差数列an的前n项和为Sn，且a23，S416（）求数列an的通项公式：（）若bn，求数列bn的前n项和Tn20（15分）关于x的不等式ax2|x+1|+2a0，aR（）当a时，求此不等式的解集：（）若此不等式的解集为空集，求a的取值范围21（15分）已知正项数列an、bn满足：对一切k2，kN*，ak是ak1与bk1的等差中项bk是ak1与bk1的等比中项，a19，b1l（）求a2，b2的值；（）记cn|anbn|，当n2，nN*时，指出c2+c3+cn与c1的大小关系并说明理由22（15分）如图，圆C：（x2）2+y21，点P为直线l：x4上一动点，过点P
6、引圆C的两条切线，切点分别为A，B（）求证：直线AB恒过定点，并求出该定点Q的坐标：（）若两条切线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，求QMN面积的最小值2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若ab0，那么下列不等式中正确的是（）Aabb2Baba2CD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出【解答】解：Aab0，abb2，因此A不正确；Bab0，a2ab，因此B不正确；Dab0，ab0，即，因此C不正确；C由D可知C不正确故选：D【点评】
7、本题考查了不等式的基本性质，属于基础题2（4分）直线x+y50的倾斜角为（）A30B60C120D150【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角【解答】解：由题意，直线的斜率为k，即直线倾斜角的正切值是，又倾斜角0，180），因为tan150，故直线的倾斜角为150，故选：D【点评】本题考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围特殊角的三角函数值的求法3（4分）已知直线l1：ax+3y+10与直线l2：2x+（a+1）y+10互相平行，则实数a的值为（）A3BC2D3或2【分析】利用两条直线平行，斜率相等，建
8、立等式即可求a的值【解答】解：直线l1：ax+3y+10，的斜率存在，斜率为，l2：2x+（a+1）y+10，斜率为直线l1：ax+3y+10与l2：2x+（a+1）y+10互相平行解得：a3或2当a2时，两直线重合，a3故选：A【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题4（4分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是an的前n项和，则S9等于（）A8B6C10D0【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，a1a4，a1（a1+32），化为2a116，解得
9、a18则S989+20，故选：D【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（4分）已知直线l：kxy+k0被圆x2+y24截得的弦长为2，点（m，n）是直线l上的任意一点，则m2+n2的最小值为（）A1B2C3D4【分析】根据点到直线的距离、弦长和勾股定理可求得k，可得直线l的方程，再将问题转化为原点到直线的距离的平方的最小值【解答】解：圆心（0，0）到直线的距离d，22，43，解得k，直线l：xy+0，即x+20，原点（0，0）到直线xy+20的距离为：1，所以m2+n2的最小值为1故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中
10、档题6（4分）若不等式组，表示的平面区域为直角三角形，则该三角形的外接圆面积为（）ABC或D18或45【分析】画出可行域，求出k，然后求解外接圆的半径，求解外接圆的面积【解答】解：ykx+1恒过（0，1），不等式组，表示的可行域如图：平面区域为直角三角形，所以K2，A（0，2），解得B（1，3），该三角形的外接圆的半径为：外接圆的面积为：故选：B【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查分析问题解决问题的能力7（4分）已知数列an是正项等比数列，且+1，则a5的值不可能是（）A3B4C5D6【分析】根据题意，设数列an的公比为q，由等比数列的通项公式结合基本不等式可得+（q2+），进而可得1，变
11、形可得：a54，据此分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，数列an是正项等比数列，设其公比为q，则q0，则+（q2+），当且仅当q1时，等号成立，又由+1，则有1，变形可得：a54，分析选项：A不符合；故选：A【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题8（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B，ABC的面积为3那么b的值为（）A2BC2D3【分析】根据a，b，c成等差数列，可得2ba+c，由ABC的面积为3，可得ac的值，然后利用余弦定理可进一步得到得关于b的方程，解方程可得b【解答】解：a，b，c成等差数列，2ba+
12、c，又B，ABC的面积为3，ac12，在ABC中，由余弦定理，有b2a2+c22accosB（a+c）23acb2（2b）236，b故选：C【点评】本题考查了等差中项的概念和余弦定理，考查了方程思想和消元法，属基础题9（4分）如图所示，在ABC中，C，BC3，点D在边AC上，AABD，若BD，则cosA（）ABCD【分析】由已知可得BDC2A，在BCD中，由正弦定理2sinAcosA，根据同角三角函数基本关系式可求cosA，或由BDBC，可得A，利用三角函数的图象和性质可得cosAsinA，即可得解cosA的值【解答】解：点D在边AC上，AABD，BDC2A，在BCD中，C，BC3，BD，由正
13、弦定理，可得：sinBDC，2sinAcosA，可得：sinA，又sin2A+cos2A1，代入解得：cosA，或BDBC，可得：CBDC2A，A，可得：cosAsinA，cosA故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题10（4分）已知公差为d的等差数列an前n项和为Sn，若有确定正整数n0，对任意正整数m，0恒成立，则下列说法错误的是（）Aa1d0B|Sn|有最小值C0D0【分析】利用已知及其等差数列的单调性通项公式与求和公式即可得出【解答】解：公差为d的等差数列an，有确定正整数n0，对
14、任意正整数m，0恒成立，a1与d异号，即a1d0，|Sn|有最小值，0，0因此C不正确故选：C【点评】本题考查了等差数列的单调性通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11（6分）若实数x，y满足约束条件，则z3x+2y的最小值为；最大值为13，【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最值【解答】解：实数x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由z3x+2y得yx+，平移直线yx+，则由图象可知当直线yx+，经过点A时直线yx+的截距最小，此时z最小，由，解得A（1，），此时
15、z31+2，直线yx+，经过点B时直线yx+的截距最大，此时z最大，B（3，2），此时z33+2213，故答案为：；13，【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键12（6分）已知点A（1，2），B（2，2），点P在直线xy10上，则当点P的坐标为（）时，|PA|+|PB|取得最小值为【分析】由题意画出图形，作出B关于直线xy10的对称点A，写出直线AA的方程，与直线xy10联立求得P的坐标，再由两点间的距离公式求|PA|+|PB|的最小值【解答】解：如图，设B关于直线xy10的对称点为A（m，n），B（2，2），解得，则A（3，1），连接AA，交直线x
16、y10于P，则AA：，即x+2y50联立，解得P（），|PA|+|PB|故答案为：（），【点评】本题考查点关于直线的对称点的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题13（6分）已知在ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a2，c，cosA，则b1，ABC的面积是【分析】由余弦定理可得关于b的方程，解出b，然后利用面积公式求出面积【解答】解：a2，c，cosA，由余弦定理，有a2b2+c22accosB，即4b2+2+b，b2+b20，b1，cosA，sinA故答案为：1；【点评】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，属基础题14（6分）已知aR，方程a2x2
17、+（a+2）y2+4x+8y+5a0表示圆，则圆心坐标是（2，4），半径是5【分析】由已知可得a2a+20，解得a1或a2，把a1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a2代入原方程，由D2+E24F0说明方程不表示圆，则答案可求【解答】解：方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a0表示圆，a2a+20，解得a1或a2当a1时，方程化为x2+y2+4x+8y50，配方得（x+2）2+（y+4）225，所得圆的圆心坐标为（2，4），半径为5；当a2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（2，4），5【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题15（4分）已知正数
18、x，y满足x+y1，则+的最小值是【分析】由条件可得，化简后利用基本不等式可得最大值【解答】解：正数x，y满足x+y1，当且仅当，即时取等号，+的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题16（4分）已知点P在直线x2y+10上，点Q在直线x2y+30上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且1x0+y02，则的取值范围是2，+）（，【分析】根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可【解答】解：点P在直线x2y+10上，点Q在直线x2y+30上，线段PQ的中点为M（x0，y0），直线x2y+10与x2y+30平行，点M的轨迹
19、为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x2y+20，图中直线AB即点M（x0，y0）满足x02y0+20，而且满足不等式1y0+x02，故M的轨迹是一条线段AB，如图：则，即线段AB上的点M与原点连线的斜率由，可得A（ ，）；由，可得B（，），OA的斜率为2，OB的斜率为，故则 的范围为2，+）（，故答案为：2，+）（，【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题17（4分）若四个数a1，a2，a3，a4成等差数列，满足|a1|+|a2|+|a3|+|a4|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+|a4+1|a12|+|a22|+|a3
20、2|+|a42|，则公差d的取值范围是d3或d3【分析】借助等差数列相关性质可以分析出在等式中每一个式子前两项符号相同，后两项符号相同进而求解【解答】解：|a1|+|a2|+|a3|+|a4|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+|a4+1|a12|+|a22|+|a32|+|a42|，a1，a2，a1+1，a2+1，a12，a22符号相同，a3，a4，a3+1，a4+1，a32，a42符号相同an为等差数列，或或解得：d3或d3故答案为：d3或d3【点评】本题难度较大，重点抓住某些部分符号相同来进行入手三、解答题：本大题共5小题，共74分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18（14
21、分）己知ABC三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）b（）求证：A，B，C成等差数列；（）若b2，求a2+c2的取值范围【分析】（）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sinB0，可得cosB，结合范围B（0，），可求B，A+C，由A+C2B，可得A，B，C成等差数列（）由已知利用余弦定理，基本不等式即可求得4a2+c28【解答】解：（）证明：2cosB（ccosA+acosC）b，2cosB（sinCcosA+sinAcosC）sinB，2cosBsin（A+C）2cosBsinBsinB，sinB0，cosB，B（0，），B，A+C，A+C2
22、B，可得A，B，C成等差数列（）b2a2+c22accosBa2+c2ac，a2+c2b2+ac4+ac4+，4a2+c28【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（15分）己知等差数列an的前n项和为Sn，且a23，S416（）求数列an的通项公式：（）若bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）设等差数列an的首项为a1，公差为d则，即可求解（）由题意可得bn，错位相减法求解【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d则，an1+（n1）22n1（）由题意可得bn，因此
23、Tn1+3（）2+5+（2n1）1+3（）3+5+（2n3）+（2n1）得：（2n1）+2（2n1）Tn3【点评】本题考查了等差数列的通项，错位相减法求和，属于中档题20（15分）关于x的不等式ax2|x+1|+2a0，aR（）当a时，求此不等式的解集：（）若此不等式的解集为空集，求a的取值范围【分析】（）当a时，不等式即 x2+1|x+1|，即x+1x2+1，或 x+1（ x2+1），由此求得它的解集（）若此不等式的解集为空集，即a 恒成立，利用基本不等式、分类讨论求出 的最小值，可得a的取值范围【解答】解：（）当a时，关于x的不等式ax2|x+1|+2a0，即 关于x的不等式x2|x+1|
24、+10，即 x2+1|x+1|，x+1x2+1，或 x+1（ x2+1），解得 0x2，故此不等式的解集为（0，2）（）若此不等式 ax2|x+1|+2a0 的解集为空集，则 ax2|x+1|+2a0恒成立，即a 恒成立令f（x），则af（x）min再令tx+1，则f（x）g（t）当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）；当且仅当t时，取等号；当t0时，g（t），当且仅当t时，取等号，综上，a，即a的取值范围为，+）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，求函数的最小值，属于中档题21（15分）已知正项数列an、bn满足：对一切k2，kN*，ak是ak1与bk1的等差中项bk
25、是ak1与bk1的等比中项，a19，b1l（）求a2，b2的值；（）记cn|anbn|，当n2，nN*时，指出c2+c3+cn与c1的大小关系并说明理由【分析】（）由已知结合等差中项与等比中项的概念求解a2，b2的值；（）由等差中项与等比中项的概念结合基本不等式可得bn，进一步得到an+1bn+1，即，因此，可得c2+c3+cn，代入等比数列的前n项和即可比较c2+c3+cn与c1的大小【解答】解：（）由已知，；（）nN*，n2，bn，又a1b1，cnanbn从而，即因此，又c18，c22，c2+c3+cn【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，训练了基本不等式的应用，是中档题
26、22（15分）如图，圆C：（x2）2+y21，点P为直线l：x4上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为A，B（）求证：直线AB恒过定点，并求出该定点Q的坐标：（）若两条切线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，求QMN面积的最小值【分析】（）根据圆（xa）2+（yb）2r2的切点弦所在直线方程：（x0a）（xa）+（y0b）（yb）r2可得直线AB的方程为2（x2）+ty1，由此可求出定点；（）根据韦达定理以及点到直线的距离公式、弦长公式、面积公式可得【解答】解：（）设P（4，t），则AB：2（x2）+ty1，所以直线恒过点Q（，0）（）设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，ytk（x4）与圆C相切，所以1即3k24tk+t210，所以k1，k2是上述方程的两实根，yMt4k1，yNt4k2，|MN|4|k1k2|4，（SMNQ）min所以面积的最小值为【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题
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