1、【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数函数最值；直接化为最值分类讨论；缩小范围证明不等式；分离函数数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这
2、种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。【典例指引】例1 己知函数.（1）若函数在处取得极值，且，求；（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.法二（直接化为最值分类讨论）：令，.令，当时，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.当时，则开口向上(方案一）：.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.若，即时，此时，不合题意.来源:Zxxk.Com法三（缩小范围证明不等式）
3、：令，则.另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.学科&网例2. (2016全国新课标文20)己知函数.（）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.（2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.学科&网法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数
4、的取值范围为法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.综上，实数的取值范围为.学科&网点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.当时，在上单减，上单增，而，矛盾；综上，.法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成
5、立）设，令来源:学科网ZXXK在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；学科&网综上，实数的取值范围为点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：法则
6、1 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么.法则2 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.法则3 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：将上面公式中的换成洛必达法则也成立。洛必达法则可处理型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。【新
7、题展示】1【2019江西上饶联考】已知函数当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；若，且对任意，都有，求实数a的最小值【思路引导】把代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数的单调增区间；求原函数的导函数，由函数在上是增函数，说明其导函数在上大于等于0恒成立，在导函数中x与恒大于0，只需对恒成立，则a可求；由知，当时在上是增函数，任取，且规定，则不等式可转化为恒成立，引入函数，说明该函数为增函数，则其导函数在上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值【解析】当时，则令，得，即，解得：或因为函数的定义域为，所以函数的单调增区间为因为，由知函数在上是
8、增函数因为，不妨设，所以由恒成立，可得，即恒成立令，则在上应是增函数所以对恒成立即对恒成立即对恒成立因为当且仅当即时取等号，所以所以实数a的最小值为2【2019安徽安庆上学期期末】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）对于任意且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）对f（x）求导，分和，确定导函数的正负，从而判断函数的单调性；（2）由题意原不等式可变形为恒成立，构造函数，原题转化为在上为单调增函数，即对恒成立，分离参数得到，利用导数研究不等式右边函数的最值即可【解析】（2）恒成立，恒成立，令题意即为恒成立，而，故上述不等式转化为在上为单调增函数，即对恒成立；，题意即为不等式
9、对恒成立，即对恒成立，则令，在上为增函数，且；于是在上有，在上有，即函数在上为减函数，在上为增函数，所以在处取得最小值，因此，故实数的范围为3【2019黑龙江大庆二模】已知函数.（）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数对应图像上与平行的切线方程，利用两平行线间的距离公式求得到直线距离的最小值.（II）（1）构造函数，利用的导函数，对分类讨论函数的单调性，结合求得的取值范围. （2）将分类常数，转化为，利用导数求得的最小值，由此求得的范围.结合（1）（2）可求得的的
10、取值范围.来源:Z。xx。k.Com【解析】（）（1）当，恒成立时，设， .当即时，所以，即在上是增函数.又，即，时满足题意.当即时，令.因为，所以存在，使.当时，即，在上是减函数，时，不恒成立；4【2019江西宜春上学期期末】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值.【思路引导】（1）将函数代入中，并对求导，讨论导函数的正负即可得到的单调性；（2）参变分离，可将不等式转化为对任意恒成立，令，则，求出即可。【解析】（1）依题意可得，若,在单调递增；若令则，当时，在单调递增，当时，在单调递减，（2）当时，原不等式可化为，即对任意恒成立令，要使其恒成立，则，则
11、，【同步训练】1已知函数.（1）若，求证：当时，；（2）若存在，使，求实数的取值范围.来源:学.科.网Z.X.X.K【思路引导】(1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.设h（x）=（xe），则h（x）=u=lnx-，u=在e，+）递增。x=e时，u=1-0，所以u0在e,+00）恒成立，h（x）0，在e,+00）恒成立，所以h（x）e,+）递增xe，时h（x）min=h（e）=ee需eaeeae学科&网2已知， 是的导函数（）求的极值；来源:学科网（）若在时恒成立，求实数的取值范围【思路引导】（）
12、求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g(x),即可求出的极值；（）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围【详细解析】当时，由（）可得（）.，故当时， ，于是当时， ， 不成立.综上， 的取值范围为学科&网3已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若对于任意，都有成立，求实数的取值范围【思路引导】() 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（）讨论三种情况，分别令得增区间， 得减区间； （）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.【详细解析】（3）当，即时， 在上恒成
13、立，所以函数的增区间为，无减区间. 综上所述：当时，函数的增区间为， ，减区间为；当时，函数的增区间为， ，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间. 因为当时， ，所以在上单调递增.所以. 所以. 所以. 4已知函数，.()当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；()当时，求实数的取值范围.【思路引导】(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；(2) 易得当时，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；法二：(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；(2)同法一.【详细解
14、析】 ()当时，即当时，当时，学科&网设，则，设，则.(1)当时，从而(当且仅当时，等号成立)在上单调递增，又当时，从而当时，在上单调递减，又，从而当时，即于是当时， 在上单调递增，又，从而当时，即学科&网于是当时，综合得的取值范围为.当变化时，变化情况如下表：极大值极小值恰有三个根，故过点有三条直线与曲线相切.()同解法一. 5已知函数（）.（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）【思路引导】(1)考查函数的定义域，且 ，由，得.分类讨论：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为.(2)构造新函数，令 ，则 ，分类讨论：当时，
15、可得.当时， .综上所述，.【详细解析】当时，令，得.当时，单调递增；当时，单调递减.所以当时，取得最大值.故只需，即 ，化简得 ，所以在上单调递增，又，所以，所以在上单调递减，在上递增，而， ，所以上恒有，即当时， .综上所述，.学科&网6已知函数在点处的切线方程为,且.()求函数的极值；()若在上恒成立，求正整数的最大值.【思路引导】()由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得，无极大值.()由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.【详细解析】 .在区间上递增，在区间上递减，又当时，恒有；当时，恒有；使命题成立的正整数的最大值为.学科&网7已知函数， ，其中， .（1）若的一个
16、极值点为，求的单调区间与极小值；（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围.【思路引导】（1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;（2）当时， ，求导,酒红色的单调性可得,进而得到.又， ，分类讨论,可得或时， 在上无极值.若，通过讨论的单调性，可得 ，或 ，可得的取值范围.【详细解析】 的单调递增区间为，单调递减区间为， .的极小值为. 8已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设， ，证明： .【思路引导】(1) 求导,易得结果为;(2) 原不等式等价于,令,令,分, ,三种情况讨论函数的单调
17、性,则可得结论;(3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当时, ,则, 令, ,求导并判断函数的单调性,求出, 即在上恒成立, 令,则结论易得.【详细解析】且时， ，递增， (不符合题意)综上： . 9已知函数， 为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性；(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1) ，分、两种情况讨论的符号，则可得结论；(2) 当时，原不等式可化为，令，则，令，则，进而判断函数的单调性，并且求出最小值，则可得结论.【详细解析】 (1) 若， ， 在上单调递增；若，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增10设函数.（1）当时,求函数在点处的切线方程；（2）
18、对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围.【详细解析】（1）当时,由，则 函数在点处的切线方程 为 即 来源:学科网 11设函数，其中， 是自然对数的底数.（）若是上的增函数，求的取值范围；（）若，证明： .【思路引导】（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两
19、类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.【详细解析】（） .令（），以下证明当时， 的最小值大于0.求导得 .当时， ， ；当时， ，令，则 ，又 ，取且使，即，则 ， 12已知函数（）与函数有公共切线（）求的取值范围；（）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围【思路引导】（1）函数与有公共切线， 函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x0,继续求导，令，得。可知的最小值为0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。【详细解析】来源:Z#xx#k.Com（），函数与有公共切线，函数与的图象相切或无交点当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，（）等价于在上恒成立，令，因为，令，得，极小值所以的最小值为，令，因为，令，得，且来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com极大值所以当时，的最小值，当时，的最小值为 ，所以综上得的取值范围为13已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，求实数的取值范围.【思路引导】（1）即证恒成立，令求导可证；（2），又 ，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。【详细解析】当时，来源:学科网ZXXK
浙公网安备33030202001339号